Burgers方程的奇攝動初值問題的激波解

杜冬青, 劉樹德

(1.江蘇省徐州財經高等職業技術學校,江蘇 徐州221008; 2.安徽信息工程學院,安徽 蕪湖 241000)

0 引言

Burgers方程是模擬激波傳播和反射的非線性偏微分方程,具體表達式為

它是Navier-Stokes方程中忽略壓力項后的簡化形式,被廣泛應用于流體力學、非線性聲學、氣體動力學等工程科學領域[1-3].取Burgers方程中的ν為小參數(記作ε),考慮如下初值問題:

(1)

(2)

其中u1,u2為常數,且u1>u2.由于方程(1)中小參數ε與最高階導數相乘,故(1)、(2)為奇攝動初值問題,初始條件的突變使得該問題的解在過渡層產生激波[4].

具有激波結構的解稱為激波解.一些學者利用匹配漸近展開法[5-8]尋求激波解的漸近展開式,但這種方法需要進行內、外展開式匹配的討論過程,且此過程相對比較復雜.為此,本文利用合成漸近展開法[9-15]構造問題(1)、(2)的激波解:首先,在激波位置兩側分別尋求具有邊界層性質的近似式;再使用銜接法將對應的曲面光滑地銜接,構成激波解的形式近似;最后,運用漸近展開理論分析解的漸近性質,得到一致有效的漸近展開式.

1 構造形式近似式

為簡單起見,只構造激波解的零次近似.根據激波結構性質,作變換

y=x-Ut,

(3)

代入問題(1)、(2),得

(4)

(5)

(4)式的退化方程為

(6)

變換(3)使得問題的解在y=0產生激波,任取y1<0和y2>0,在(6) 式兩邊對y從y1到y2積分,并利用邊界條件(5),得

由此解出激波的傳播速度

在變換(3)下,先將外展開式

代入問題(4)、(5),取零次近似,得

解得

(7)

其中每個vj(ξ,t)(j=0,1,2,…)滿足

(8)

和

(9)

將

u=W(y,t,ε)+V(ξ,t,ε)

代入(4) 式,取零次近似,得

(10)

由于u1>u2,故沿y增大的方向激波傳播速度減小,突變的條件使得校正項滿足

v0(0+,t)=-v0(0-,t)=a,

(11)

其中

當y<0時,方程(10)轉化為

(12)

(12)式兩邊從-∞到ξ積分,利用(8) 式,得

分離變量并兩邊積分,利用(11) 式,得

于是

(13)

類似地,當y>0時,方程(10)轉化為

(14)

(14)式兩邊從ξ到+∞積分,利用(9) 式,得

再由(11) 式,得

于是

所得結果與(13) 式相同.由(7)、(11)式,可得

w0(0-,t)+v0(0-,t)=w0(0+,t)+v0(0+,t)

利用銜接法,定義

在-∞

(15)

2 解的一致有效性

利用Cole-Hopf變換,可求得問題(1)、(2)的精確解[1]為

其中

按照以上形式的構造,知

u(x,t)=u0(x,t)+O(ε),ε→0.

(16)

下面分析(16)式的一致有效性.令

故當t→+∞時,

從而

類似地,令

故當t→+∞時,

從而

綜上可得以下結論:

h(x,t)→1,t→+∞.

ii)若方程(1)中ε>0,且ε為小參數,則問題(1)、(2)為奇攝動初值問題.此時,對任意常數T>0,在u2T

h(x,t)→1,ε→0.

進一步研究奇攝動初值問題,分x-Ut>0和x-Ut<0兩種情況討論.

u0(x,t)=u2+EST,u(x,t)=u2+EST,

從而有

u(x,t)=u0(x,t)+EST,ε→0.

u0(x,t)=u1+EST,u(x,t)=u1+EST.

從而有

u(x,t)=u0(x,t)+EST,ε→0.

可見,無論x-Ut>0還是x-Ut<0,總有

u2t0.

因此,得到如下結果.

定理1設u(x,t)是奇攝動初值問題(1)、(2)的解,則對任給的常數T>0,在u2T

u(x,t)=u0(x,t)+O(ε),ε→0,

3 示例

例1考慮奇攝動初值問題

(17)

(18)

易得a=1,U=0,代入(15) 式,得

故對任給的常數T>0,問題(17)、(18)的解

在-T

例2考慮奇攝動初值問題

(19)

(20)

令z=uet,則問題轉化為

此為問題(1)、(2)的類型,且a=1,U=1.代入(15) 式,得

從而

故對任意常數T>0,問題(19)、(20)的解

在0

4 結語

Burgers方程用于研究激波的一個原型問題,應用領域極其廣泛.本文取Burgers方程中的常數為小參數,研究具有初值間斷的奇攝動問題.奇異攝動方法包括匹配漸近展開法、合成展開法、多重尺度法等經典方法,在于尋求一致有效的漸近解,把非一致有效的展開式變為一致有效的展開式.需要指出的是,這里所說的一致有效性具有應用數學的特征,沒有嚴格證明.由于本問題已經求出精確解,故運用漸近展開理論容易證明形式近似解的一致有效性,使得嚴密性分析得以簡化.