初中數學解題中數形結合的應用

汪振宇

［摘 要］初中數學主要研究數量關系和圖形關系，極具邏輯性和抽象性，學生在學習過程中通常會遇到不少困難，尤其是在解題環節更是深受困擾。在初中數學解題訓練中，為處理一些難題，教師可指導學生應用數形結合思想，讓他們學會通過數形結合的方式解答問題。文章對初中數學解題中如何應用數形結合進行深入研究，并羅列了一些應用實例。

［關鍵詞］初中數學；數形結合；解題方法

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0032-03

初中數學課程主要由代數與幾何兩大部分構成，前者屬于“數”，后者屬于“形”，兩者是存在一定聯系的，這種聯系就叫作數形結合，在一定條件下數和形能夠相互轉化。在初中數學解題訓練中，教師需要求學生以認真閱讀題目內容與審清題意為前提，根據實際情況與解題需求靈活應用數形結合，使其通過以數解形或以形助數的方式找準解題的切入點，確定解題思路、制訂解題方案，進而在數形結合的助力下迅速完成解題，提高做題的正確率。

一、應用數形結合解決絕對值問題

絕對值是學生步入初中階段后學習的第一個比較抽象的知識點，指的是一個數在數軸上所對應點同原點的距離，一般用符號“[]”來表示。學生剛剛接觸絕對值時學習和理解起來難度較大。而且數軸是一個把數和形結合到一起的新型工具，學生缺乏對其的應用經驗，在解題時極易遇到困境。在初中數學絕對值問題解題教學中，教師可指導學生借助數軸清晰準確地看到點到原點之間的距離，應用數形結合的方式順暢完成問題解答。

［例1］已知[x<0]，[y>0]，且[x]的絕對值小于[y]的絕對值，則[x+y]的值是（ ）。

A.正數 B.負數? ? C. 0? ? D.難以確定

分析：這道題目難度一般，不過初中生比較缺乏解答有關絕對值題目的經驗，如果僅僅憑空想象是難以快速、精準解答的。此時教師可提示學生應用數形結合的方法，根據題干描述把[x]與[y]的位置在同一個數軸上標出來，使其在直觀觀察中即可輕松判斷出[x+y]的值。

解：根據題意在圖1數軸上標出[x]與[y]的位置，由圖可以看出[x]點到原點之間的距離明顯小于[y]點到原點之間的距離，因此可以判斷[x+y]的值是一個正數，故正確答案為A選項。這樣不僅可以讓學生從圖形角度來直觀理解絕對值的實際含義，還能夠讓他們掌握處理數軸上任意兩個點的距離問題的技巧。

二、應用數形結合解決不等式問題

在初中數學教學中，學生對于不等式知識并非十分陌生，因為他們在小學階段就學過有關“大于”和“小于”的知識。初中階段的不等式知識難度與深度均有所增加，涉及更多的不等符號與不等式組等內容，相應的習題難度也在提升。教師可引導學生應用數形結合的方法分析與處理不等式問題，通過畫圖精準、清晰地展現題中存在的不等關系，進而擺脫解題困境。

A. [x≥-2] B. [x≤9]

C.[ x≥-2]且[x≤9] D. [-2≤x≤9]

分析：本題是一道典型的求解不等式組的習題。學生往往可以處理單個不等式的求解問題，但在求兩個不等式解集的公共集時會遇到一定的難度。此時，教師可指引學生應用數形結合的方法完成解題，即結合數軸的直觀特點把兩個不等式解集之間的公共集展示出來，從而求得準確結果。

解：在這一不等式組中，求得第一個不等式[3x-1≥x-5]的解集為[x≥-2]，第二個不等式[2x+7≥3x-2]的解集為[x≤9]；將這兩個不等式的解集在同一個數軸上表示出來（如圖2），可以直觀地看到不等式組的解集為[-2≤x≤9]，故選D。

三、應用數形結合解決坐標問題

平面直角坐標系是學生步入初中后學習的新知識，屬于數軸的升級版，由橫軸[x]軸與縱軸[y]軸組成，同樣有原點、正方向與單位長度。在初中數學解題訓練中，坐標問題難度相對較大，它能融入多個知識點，綜合性較強。教師可引導學生應用平面直角坐標系來進行數形結合，以提高解題效率。

［例3］已知一條直線和一條拋物線的解析式分別是[y=x-1]，[y=x2+2x-2]，求它們的交點坐標。

分析：學生可先畫出一個平面直角坐標系，再嘗試畫出這兩個函數圖象的草圖，發現交點所處的位置在第三、四象限，由于所求的是兩者交點，故可將解析式聯立起來求解。

四、應用數形結合解決函數問題

函數在初中數學中屬于難度比較大的一類知識點，也是學生在初中階段接觸到的新知識。初中函數以基礎性函數知識為主，涉及的概念、圖象、性質等均是高中函數的前提內容，而函數圖象本身即為數與形的有機結合，所以說數形結合是解決函數問題的一個比較常用的解題技巧。初中數學教師可指導學生應用數形結合的方法準確找到函數中點的坐標及變量關系等，進而順暢解題。

［例4］某一服裝廠計劃把生產的衣服以物流方式運送至外地銷售，其中深圳和廣州兩個城市分別需要8噸和6噸衣服，惠州和東莞存儲的衣服則分別為4噸和10噸，衣服在各城市之間的物流運費價格如表1所示。如果想要一起滿足深圳和廣州兩個城市的衣服需求量，最少需要花費多少運費？

分析：本題題干的信息與條件較多，學生短時間內很難找到解題的切入點。其實本題從本質上看就是一道典型的一次函數題，而解答本題的關鍵之處在于精準找到衣服質量和運費兩者之間存在的關系，由此建立一次函數模式，再根據表達式在平面直角坐標系中畫出函數圖象，即可輕松求出最少運費。

解：設從東莞運往廣州的衣服質量為[x]噸，所需運費為[y]元，根據題意可列出一次函數表達式[y=60x+100（10-x）+35（6-x）+70（x-2）]，整理、化簡之后得到[y=-5x+1070]，然后畫出這一函數的圖象（如圖3）；根據題目要求確定[x]的取值范圍為[2≤x≤6]，通過對該函數圖象的觀察可以發現該函數為遞減函數，這說明[x]值越大，[y]值則越小，所以當[x=6]時[y]值最小，[y=-5x+1070=-5×6+1070=-30+1070=1040]，即當從東莞往廣州運6噸衣服時花費的運費最少，為1040元。

五、應用數形結合解決三角形問題

學生在小學階段就學習了不少關于三角形的基礎性知識，如三角形的種類以及邊、角之間的關系等，而初中數學中涉及的三角形知識更為多變、復雜，包括大量的性質和定理，題目考查范圍有所擴大，學生需具備更高的解題水平。在初中數學三角形問題解題訓練中，教師應引領學生應用數形結合的方法，借助“以數解形”精準找到解題的突破口以及快捷、簡便的解題思路與方法，高效解決三角形問題。

［例5］已知[a]，[b]，[c]為三角形[ABC]的三條邊，且關于[x]的方程[a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0]有兩個相等的實數根，那么三角形[ABC]是一個什么形狀的三角形？

分析：這是一道判斷三角形形狀的幾何類試題，題干中提供了有關這個三角形三邊關系的方程，因此可借助數形結合中“以數解形”的方式進行分析，最終確定該三角形的三條邊關系，從而判斷出它的形狀。

解：先把方程[a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0]轉變為一般式[（a+b）x2-2cx-（a-b）=0]，因為這個方程有兩個相同的實根，故[Δ=0]，即[Δ=4c2-4（a+b）-（a-b）=4c2+4（a+b）·（a-b）=4（a2+c2-b2）=0]，從而得到[a2+c2=b2]，根據勾股定理能夠判斷出三角形[ABC]是一個斜邊是[b]的直角三角形。

六、應用數形結合解決面積類問題

求圖形面積是學生從小學就開始接觸的一類數學題目，初中數學中仍然較為常見，但是涉及的圖形種類變多，難度增強，計算流程繁雜，學生不僅要掌握基本的運算法則，還要采用一定的面積解題技巧，數形結合即為一個比較常用的方法。初中數學教師在平時的圖形面積類問題解題教學中，需重點培養學生應用數形結合方法進行解題的能力，使其能根據題干中提供的條件展開深度分析，準確確定數和形的對應關系，進而順利解答面積類問題。

［例6］如圖4，在平面直角坐標系中有一個三角形[AOB]，[A]，[B]兩點的坐標分別為（2，-4），（6，-2），請求出三角形[AOB]的面積。

分析：解題時，可直接應用數形結合的方法在原圖中添加輔助線，即過點[A]畫一條水平線[l]，與[y]軸相交于點[E]，過點[B]畫一條[x]軸的垂線，與直線[l]相交于點[C]，與[x]軸相交于點[D]，由此得到四邊形[ECDO]的面積為24，根據[S△AOB=S矩形ECDO-SRt△ABC-SRt△OEA-SRt△ODB]就能夠求出三角形[AOB]的面積大小。

解：在圖4中添加輔助線，過點[A]畫一條水平線[l]，與[y]軸相交于點[E]，過點[B]畫出[x]軸的一條垂線，與直線[l]相交于點[C]，與[x]軸相交于[點D]，可以得到[OE=CD=4]，[EA=2]，[CE=6]，[BD=2]，[CA=CE-EA=6-2=4]，[BC=CD-BD=4-2=2]，那么[S矩形ECDO=6×4=24]，

七、應用數形結合解答幾何證明題

數形結合在初中數學解題中應用空間十分廣泛，既可以借助圖形優勢來解答代數題，還可以利用數學運算解答幾何證明題。幾何證明題是初中數學解題訓練中難度系數較高的題型，學生解答此類題目時需綜合運用所學知識和邏輯思維能力。教師可以引導學生應用數形結合的方法，結合數學定理與法則進行合理推導，進而破解難題困境。

［例7］如圖5，在三角形[ABC]中，[∠ACB]為直角，四邊形[BCDE]為一個正方形，點[F]為[AE]與[BC]的交點，點[G]為線段[AB]上的一個點，其中[AC]和[GF]為平行關系，請證明[CF=GF]。

分析：要想證明本題中所求的結論，可將原圖形拆解成兩個三角形，即三角形[ABE]與三角形[ADE]，雖然[CF]和[GF]這兩條線段所處的三角形不為全等關系，但是題中給出了平行關系，這時可以應用數形結合的方法，根據比例線段進行推導，從而證明結論。

解：根據題意可以證明三角形[ABE]和三角形[AGF]為相似關系，由此能夠得到[GF]∶[EB]=[AF]∶[AE]，再結合題目條件可以證明三角形[AFC]和三角形[ADE]同樣為相似關系，由此能夠得到[CF]∶[DE]=[AF]∶[AE]，故[GF]∶[EB]=[CF]∶[DE]，因為在正方形[BCDE]中[EB]=[DE]，所以[CF=GF]。

總的來說，在初中數學解題教學中，教師應充分意識到數形結合的作用和價值，在講授理論知識的過程中滲透數形結合思想，幫助學生扎實理論知識根基的同時做好數學思想的鋪墊，了解數形結合的內涵、本質與使用方法，并能用來解答絕對值、不等式、函數、三角形、面積與幾何證明等題目，繼而提高他們的解題效率。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 張維軍.“數形結合法”在初中數學解題中的應用［J］.數理天地（初中版），2023（7）：29-30.

［2］? 黃漢財.妙用數形結合 讓初中生數學解題思路更清晰［J］.數理化解題研究，2023（2）：8-10.