面向研究生創新能力培養的數值分析課程教學改革與實踐

趙金玲, 張 超, 常 樂

(1.南京工業大學 機械與動力工程學院,南京 211816; 2.南京工業大學 高端裝備可靠性制造研究院,南京 211816; 3. 南京航空航天大學 航空學院,南京 210016)

0 引 言

工程應用數學課程系統講授在工程領域從事學術研究和創新產品開發和生產活動所涉及的主要數學理論及應用方法,主要包括數值分析、優化理論、數理統計、泛函分析等幾大模塊.教學目標側重工程數學理論的基礎性和全面性,并把握現代科學技術的前沿發展方向,緊密結合社會需求和工程實際,為學術參與具備一定門檻的工程技術研發工作打下必要基礎[1-3].

就數值分析部分而言,隨著人工智能算法的不斷普及,數值分析課程可以面向大數據分析需求進行改革[4- 5];由于數值分析課程強調編程的運用,具有線上教學的天然優勢,能夠適應新冠疫情下課程學習的新趨勢[6];微課的引入可以打破傳統課堂教學的模式化和時空限制,創新教育教學模式[7].

對研究生而言,數值分析課程需要重視實踐能力尤其是工程計算能力與思維的培養,體現數學的工程化思想和工程的數學思維,強調應用背景與興趣牽引,引導學生從工程問題中發現數學的工具特征,培養學生活用、巧用數學理論的能力,將生硬的符號轉化為生動的思維過程,培養學生的科研興趣,激發學生的創新能力[8-11].如主張在學純數學之前,先接受一些物理學的情趣和訓練,培養解決實際問題的原創思維[8];也有教師采用“為什么-是什么-怎么辦”的三段式講解方法,其中“為什么”部分需要講清楚數值分析算法的應用背景和出發點,是實際工程問題中合理選擇數學方法的依據,被認為是最困難的教學內容[9];將數學建模與課程教學結合的改革方法也體現了課程面向解決實際問題、培養學生創新能力的重要目標[10].近來產生的數值分析課程OBE(Outcome Based Education,成果導向教育)教學模式,實則倡導以成果為導向的實練,以提高學生科學計算能力[12].而命題式的實練并不一定能最大程度地激發研究生的創新能力和科研熱情.

為更好的將數學課程與專業相結合,筆者所在學院的研究生工程應用數學課程均由學院專任教師進行講授.本文針對課程中數值分析部分的學情分析結果,以提高研究生創新能力為目的,提出基于“問題驅動-理論講授-案例分析”的層次化教學模式,“課程思政”與“角色互換”的啟發式教學方法,以及“過程化-學術化”的多元考核策略,初步探討了數值分析課程的教學改革與實踐,并對教學效果(尤其是研究生的創新能力培養)進行了分析總結.

1 學情分析

筆者所在學院的碩士研究生涉及動力工程及工程熱物理、能源動力、機械以及機械工程等專業,研究生培養方案要求課程與專業方向緊密相關,強調學以致用.就工程應用數學課程的數值分析部分而言,近年來筆者所在學院學生反映課程學習過程中普遍存在如下問題:

(i) 教學模式的守成:教學過程仍沿用以教師為主的講授方式,對新方法、新理論缺少恰當的引入;理論教學內容采用滿堂灌、填鴨式教學模式,授課過程枯燥無味;理論教學與實際應用脫節,學生難以將數學理論與工程應用聯系起來.

(ii) 教學方法的刻板:學生存在對數學課程的畏懼和排斥心理,無法體會數學課程的美感;且由于課程內容繁多,每個教學模塊都涉及眾多理論方法,學生邊學邊忘,難以形成全局思維,不利于實際工程問題中數學工具的合理選用.

(iii) 考核方式的局限:與本科生數值分析課程相比,研究生課程考核側重于上機實驗.然而上機作業一般由教師統一布置,缺乏多樣性和創新性,不能有效地培養學生的創造性思維及其開展科學研究的積極性.

2 面向創新能力培養的教學改革主要內容

創新教育要求教師在加強基本理論和基礎知識教育的同時,高度重視培養學生的自學能力、研究能力、思維能力等創新能力[13-14].針對上文中目前研究生數值分析教學中普遍存在的問題,提出了如圖1所示的面向研究生創新能力培養的數值分析課程教學體系.采用了“問題驅動-理論講授-案例分析”的層次化教學模式,建立了“課程思政”與“角色互換”的啟發式教學方法,設計了“過程化-學術化”的多元考核策略,初步探討了數值分析課程的教學改革與實踐,努力拉近課堂與科研的距離,以逐步提高研究生的創新能力.

圖1 面向研究生創新能力培養的“數值分析”課程教學體系

2.1 “問題驅動-理論講授-案例分析”的層次化教學模式

(i) 問題驅動:為了激發學生學習新理論、新方法的興趣,避免直接講解復雜公式而造成的“學的難”局面,課程在講授新知識之前,需首先引入與學生專業相關的科研或學術問題,以解決問題為目的,引入相應數值分析方法.

例1插值問題的引入

以學生熟悉的有限元知識為背景,向學生提問:假設一次單元的兩個節點位移分別為{u1},{u2},如何獲得單元內的連續位移場,為后續應力場、應變場的求解創造條件?

例2數值積分問題的引入

如圖2所示,同樣以有限元知識為背景,以與專業相關性較大的復合材料壓力容器建模為需求,向學生提問:復合材料層合結構中各層材料屬性迥異,若厚度方向只采用一個單元,如何實現單元剛度矩陣的計算?進一步通過有限元ABAQUS軟件的相關設置界面,向學生引入積分點、辛普森積分、高斯積分等概念.

圖2 問題驅動法引入數值積分教學內容

(ii) 理論講授:課程知識面大,在有限的學時里不可能將公式、定理等內容面面俱到講解.因此,授課教師需對教學內容進行主次劃分,對于典型或常用算法需重點闡述,而非重點算法則側重其構造思想、過程、關鍵參數以及應用范圍,做到精講與略講結合,將課堂效益最大化.

(iii) 案例教學:與本科生數值分析課程不同,研究生已或多或少接觸科研課題,因此脫離應用背景的例題較難激發學生思考興趣.課前教師對學生學習背景、科研背景進行調研,挖掘學生興趣所在,并制定專業化的案例題,搭建數學課堂與科研學術的橋梁,讓學生體會到課程的“實用性”.

例如,提供實驗測得應力-應變離散數據點,要求學生進行應力-應變曲線擬合(考察最小二乘擬合知識),并進一步計算應變能(考察數值積分知識)等.

2.2 “課程思政”與“角色互換”的啟發式教學方法

(i) 課程思政:大部分學生對數學課程的學習充滿了排斥與畏懼,無法體會數學的美感與“接地氣”.將課程思政引入數學課程的教學[15-16],深度挖掘課程中蘊含的思政資源,融入愛國主義、馬克思主義、傳統文化、價值觀、創造精神、美學教育等,增強學生學習興趣、放松學生緊張情緒、展示嚴密邏輯的美感,努力實現潤物細無聲.

(ii) 角色互換:如圖1所示,在章節授課內容結束后,采用隨機抽查的方式,安排學生上臺講述其對本章節內容的感受,啟發學生開展嚴密的邏輯思維,對課堂所授方法進行總結、對比、吸收,對學生所存疑惑進行及時解答、反饋.

2.3 N+1的“過程化-學術化”多元課程考核策略

(i) 過程化考核:如圖1所示,在每章節授課結束后,要求學生上交上機作業.與本科生上機作業不同,要求研究生進行①文獻檢索與閱讀,挖掘可用數據;②自擬題目,要求交代背景與目的;③編寫Matlab代碼并運行;④獲得結果并展開討論.教師對上機報告進行評閱,及時掌握學生掌握知識的情況;并取其精華,不斷將優秀的作業共享給學生,敦促其不斷改善作業質量.

(ii) 學術化考核:除N次過程化考核外(N不超過授課章節數),期末考試以撰寫學術論文形式進行.要求論文具有專業性、學術性、科學性,倡導首選自己實測數據或與后續課題緊密相關的論文中的數據,采用盡可能多的數值分析方法,獲得盡可能多的結果,并賦予結果一定的物理意義,討論分析并獲得結論.

平時成績(包括角色互換考核以及N次過程化考核)占總成績30%,期末成績(學術論文)占總成績70%.

3 教學成果

課程通過構建如圖1所示的數值分析課程教學體系,強調綜合改進教學模式、教學方法以及評價策略,以達到不斷提高研究生創新能力的目的.筆者從問卷調查、綜合成績、作業情況以及課堂反饋等方面,多角度、深入地探討了課程改革帶來的教學成果.

3.1 問卷調查

通過超星學習通平臺對2021～2022學年第1學期共185名學生進行課程問卷調查,共收到有效答卷146份,其中動力工程及工程熱物理、能源動力、機械以及機械工程四個專業各28, 55, 38和25份.

問卷內容圍繞第2節中的學情分析展開,結果見表1.總體來說,學生對課程滿意率(包含“很滿意”和“滿意”兩部分)在96%以上.

表1 機械學院146名研究生調查問卷結果

在教學模式方面:通過引入“問題驅動-理論講授-案例分析”的層次化教學模式,超過78%的同學認為教師對新方法引入恰當,課程教學生動有趣,且能將理論與實際應用聯系起來.

在教學方法方面:結合“課程思政”與“角色互換”的啟發式教學方法,拉進數學與學生的距離,使得71.2%的同學非常認同可以通過課程學習體會到數學之美;筆者設計的角色互換環節,通過學生自主總結章節內容,促成形成課程脈絡,75.3%的同學認為該模塊有助于培養學生全局思維能力;71.9%的同學認為自己能在實際問題中合理使用數學方法.

在考核方式方面:課程采用N+1的“過程化-學術化”多元課程考核策略,摒棄了命題式考核方式,將作業100%交還給學生,學生結合專業自主命題,在掌握數學方法的同時能夠加深對專業方向的應用與理解.由于班級人數多、專業多、研究方向多,因而作業具有多樣性以及創新性,得到了大部分同學的認可.76%以上的同學認為改革后的考核方式提高了其文獻閱讀能力、培養了創造性思維并促進了從事科學研究的積極性.

3.2 綜合成績

圖3為學生歷年期末成績,包括平均分和標準偏差.其中2018,2019兩年采用了傳統教學方式,取得的教學效果并不理想,平均分分別為79.50和78.83分,且2019年期末標準偏差高達7.95分,低分段學生占比較大.學生普遍反映教師教的難、考試考的難,填鴨式授課以及命題類考試無法提升學生學習興趣并培養其創新思維能力.因此,筆者采用了上文提出的教學改革方式,對比表明2020,2021年學生期末成績得到了明顯的提升,標準偏差也逐漸減小,表明越來越多的學生成績達到中等水平.

圖3 歷年期末考核成績

3.3 作業與課堂反饋

3.3.1 筑牢“文獻檢索與閱讀”的共同基礎

學生在完成N+1的“過程化-學術化”多元課程考核任務時,需不斷地進行中英文文獻檢索,鍛煉文獻泛讀能力,不斷加快“找對文獻”的速度;進一步基于提取背景、數據的任務要求,打磨自身精讀文獻的水平,極大地促成“文獻檢索與閱讀”共同基礎的筑建,為研究生科研生涯打下重要基礎.

3.3.2 夯實“邏輯思維”與“比較分析”的思維模式

教師授課環節中,通過引入“課程思政”的教學方法,將辯證法、量變引起質變等思政理念植入數值分析方法中;且數學課程具有固有的邏輯嚴密的特征,使得學生在聽課過程中不斷被動地進行邏輯思考.

學生考核過程中,包括“角色互換”中站在總-分的角度講述和對比多種數值分析方法,還包括N+1的“過程化-學術化”多元課程考核任務中對數值分析結果的討論分析等,都主動的鍛煉了自身邏輯思維和比較分析能力.

圖4為學生N+1的“過程化-學術化”多元課程考核報告的摘選,其中圖4(a)表明學生運用邏輯思維對牛頓迭代法的編程思想進行了思考;圖4(b),(c)和(e)分別為學生對多種插值、積分、擬合方法的對比分析,體現了學生通過多元考核展現的良好的比較分析思維能力.

圖4 學生作業摘選

3.3.3 開拓“解決實際科研問題”的創新能力

教師授課環節中,通過“問題驅動”與“案例分析”教學模式,最大限度地將實際科研問題引入課堂教學中,激發學生學習熱情,并啟發學生將所學知識運用到后續課題中,開拓“解決實際科研問題”的創新能力;

學生考核過程中,根據N+1的“過程化-學術化”多元課程考核要求,需多次查閱文獻,結合自身課題自擬題目,運動課堂所學理論方法解決問題.如圖4(c),(d)和(e),分別為學生將所學的數值積分方法運用到計算Stefan-Boltzman常數、超聲波入射/反射波能量,以及運用函數擬合方法揭示C12質量分數與相變溫度的關系,體現了學生活學活用、“解決實際科研問題”的創新能力.

4 結 論

基于數值分析課程教學模式守成、教學方法刻板、考核方式局限等原因限制研究生創新能力發展的現狀,對數值分析課程的教學體系改革做出了初步探討,構建了“問題驅動-理論講授-案例分析”的層次化教學模式、“課程思政”與“角色互換”的啟發式教學方法以及“過程化-學術化”的多元考核策略.筆者從問卷調查、綜合成績、作業情況以及課堂反饋等方面,多角度、深入地探討了課程改革帶來的教學成果.結果表明,有超過96%的學生認可新的教學模式、教學方法以及考核策略;歷年來學生綜合測評成績穩步提升;新的教學方式有助于筑牢學生“文獻檢索與閱讀”的共同基礎、夯實“邏輯思維”與“比較分析”的思維模式、開拓“解決實際科研問題”的創新能力.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.