雙側參數假設檢驗中原假設的選擇

金百鎖

(中國科學技術大學 統計與金融系,合肥 230026)

0 引 言

概率論與數理統計是大學所有理科專業的公共必修課,很多文科專業也需要開設統計學這門課程.在統計學教學當中,最重要的是統計思維的訓練.美國科學院院士C.R.Rao教授認為“在理性的基礎上,所有的判斷都是統計學”[1],因此假設檢驗在統計思維訓練中占有十分重要的地位,包含了很多統計思想,也是當今討論最多的部分,例如2018年,72位作者一起在Nature子刊發表了一篇論文建議降低在眾多實驗中使用的顯著性水平[2],引來了87 位作者一起發表的反駁論文[3].

關于假設檢驗的一些統計思想在陳希孺院士的教材中有詳細的介紹[4].本文討論的假設檢驗理論是1828年發展起來的奈曼-皮爾遜假設檢驗,這一理論需要控制第一類錯誤,導致假設檢驗中的原假設和對立假設有不同的地位.因此一般的原假設設立原則,是把不希望被輕易否定的假設,或者已經經歷了一段時間考驗的假設,設為原假設[4].而這一原則在教材中通常只針對于單側檢驗[5-7].對于雙側參數假設檢驗,只把參數相等的假設設為原假設,而參數不等的假設設為對立假設.為什么不能把參數不相等的假設設為原假設,是因為在這個原假設下第一類錯誤不好計算嗎?這一問題在教材中解釋的并不詳盡,本文的目的是分析一下這個問題,并給出一些統計解釋.

1 雙側假設檢驗問題

大學的統計學教材,都是從正態分布總體的參數檢驗開始介紹.因此本文以正態分布總體的雙側參數假設檢驗為例.假設X1,…,Xn為獨立同分布服從正態分布N(μ,σ2),σ2已知,檢驗μ=μ0這一假設,并放在對立假設,即檢驗問題是

H0∶μ≠μ0?H1∶μ=μ0.

(1)

圖1 標準正態區間概率示意圖

然而在這個拒絕域的條件下,第二類錯誤為

2 實 例

假設某一工廠聲稱其生產的一個合格的精密元件的長度服從正態分布,其均值為900mm,方差為100mm,現從一批元件中隨機抽取25件,測得其平均長度為901mm,試在顯著水平α=0.05下,確定這批產品是否合格.

解 法1建立假設

H0∶μ=900 ?H1∶μ≠900.

法2建立假設

H0∶μ≠900 ?H1∶μ=900.

3 結 論

基于上面的分析,在保證第一類錯誤小于α的條件下,對于正態總體,如果原假設是μ≠μ0,則在一次試驗中,都幾乎不可能接受μ=μ0這一對立假設,即使這一對立假設是真實成立的.其背后的原因,應該是μ=μ0這一點相對于μ的全部參數空間的取值可以忽略不記,對立假設只有一個取值μ=μ0和原假設的參數空間幾乎不可分.

上節構造的檢驗不是好的檢驗,因為功效函數β(μ)在對立假設μ=μ0下達到最大值α,這個功效太小了.一個好的檢驗,都需要在檢驗參數遠離原假設參數空間的時候,或參數離原假設參數空間有一定距離但樣本量趨于無窮時,功效函數趨于1,而當μ=μ0作為對立假設時無法做到遠離原假設或有一定距離.

顯著性假設檢驗的目的是,通過樣本驗證是否有足夠的證據拒絕原假設.當μ≠μ0為原假設的時候,即使這個原假設不成立,通過上面的分析發現在正態分布總體下無法找到合適的檢驗有足夠的證據能拒絕這個原假設.因此本文的結論是μ≠μ0不能作為原假設.

推薦的解決方案是:不再強求μ=μ0,構建一個新的檢驗,即用下式

H0∶|μ-μ0|≥Δ?H1∶|μ-μ0|<Δ,

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見,以及加拿大約克大學吳月華教授和中國科學技術大學王學欽教授提出的寶貴意見.