不定積分中的課程思政元素賞析

嚴亞強, 顧振華

(蘇州大學 數學科學學院,江蘇 蘇州 215006)

0 引 言

不定積分是微積分課程中的一個基礎性章節,主要探討計算原函數的基本技能,理論上的討論很少,被認為較為平淡乏味的部分.但如果在不定積分的章節中放入一些課程思政的“鹽”,是可以讓學生體味這一部分的深刻的思想性的,并達到提升數學素養的目的.從中國知網的論文庫中發現了一些課程思政元素,也發現了不少不定積分或課程思政相關的教學研究成果[1-3],結合多年教學和教材編寫的實踐,整理出用課程思政的觀念進行不定積分教學的體會和建議,供參考.

1 精益求精的工匠精神

工匠精神,狹義地說是精益求精的工作作風;廣義地說,就是追求真理、追求至善、追求完美的道德品質和人文精神.

1.1 工匠的求真精神

但仔細觀察后可以發現,原函數的定義范圍變成x≠0了,因此還需將最后一步推進到

同理

但這個函數在x=0處變的不連續了,這時可以化為

1.2 工匠的至善精神

結果都是對的,但哪種結果在形式上最可取呢?由公式tan2x+1=sec2x可見,tanx比其他函數更“親近”于secx,容易相互替換,因此第三種形式最為可取.

在解決任何數學問題時,要像機械修理師那樣,有意識地區分材料和工具.例如,在極限、求導和積分的計算中,常用極限、求導公式和基本積分公式是釘子、是材料,極限、求導的法則和積分性質是錘子、是工具;數學中大量復雜艱深的問題就像一臺臺機器,透過材料和工具的不斷組裝,形成很多板塊上的組件,作為高級別的材料.例如,不定積分

就是學習工匠需要熟悉的材料,記住了就容易得心應手地做更復雜的不定積分.

1.3 工匠對完美的追求

所謂“美”,就是完美,就是對對稱、簡潔、完整等特性的追求.例如求解不定積分

傳統地在分母上展開是十分煩瑣的,一般都會尋求簡潔的計算方法,如果寫成

就十分有美感了.

數學之美還體現在方法之美和創新的奇異之美,這可以從后面的很多實例中看到.

2 堅忍不拔的創新精神

學習數學總是要與困難打交道的,堅忍不拔的精神是必要的科學態度.但科學事業的核心是創新精神,沒有創新就不會有數學上的任何成就.

2.1 追求真善美是創新的動力

追求真善美是人類進步的共同價值觀.這里所說的創新精神是科學素養,是比工匠精神更高的一種境界.

2.1.1 基于批判性思維的求真

例如,在學完不定積分的第二類換元法時,和學生研討不定積分的換元定理時,即

定理1[4]設x=Ψ(t)是單調的可導函數,并且Ψ′(t)≠0.又設f[Ψ(t)]Ψ′(t)具有原函數,則有換元公式

其中Ψ-1(x)是x=Ψ(t)的反函數.

就要問:這個定理中,Ψ′(t)≠0的條件是必要的嗎?應用的時候需要檢驗嗎?

學生通過一階段的解題實踐,自然都會表示,Ψ′(t)≠0這個條件從來沒有檢驗過,考察定理的證明:設f[Ψ(t)]Ψ′(t)的原函數為Φ(t),則

應該思考:如果定理換一個證明方法,能否把Ψ′(t)≠0這個條件省去呢?

2.1.2 基于發散性思維的求善和求美

問題在于,能否取一個函數h(x),使得h′(x)f(x)-h(x)f′(x)=g(x),而這是一個一階線性微分方程的問題.

由此發現高次根式積分的一些規律,這就是數學之善與美!馬克思說:勞動創造了美,的確精辟!

2.2 不定積分中是創造性思維的能源庫

由于不定積分是求導運算的逆運算,這種運算的性質很少,只有線性性質可用,所以在計算時需要調動一切積極力量,包括直覺思維(一種結果先于演繹的思維)、猜想、試驗等.

創造性是數學的本質,龐加萊用組合和選擇描述創造的過程,克魯捷茨基用思維靈活性理解數學創造力本質,也有數學家用發散性思維結果來刻畫數學創造力,甚至用杰出數學家的思維特征來定義數學創造力.

霍蘭茲(Hollands)提出數學創造性表現的五個方面(靈活性、精致化、流暢性、獨創性、敏感性),上面的這個例子已經體現得淋漓盡致!因此,不定積分的習題和問題充滿著創造性思維的亮點,不定積分這一章就是創造性思維的一個能量庫!馬克思主義的實踐觀的實質就是創新精神,我們應該在科學知識的學習中培養研究和探索的習慣,提升發散性思維的本領,為人類進步多作貢獻.

3 和諧共存的合作精神

和諧共存的合作精神是道德品質和人文精神的重要標志,也是立德樹人的終極目標.在不定積分的教學中,可以感悟到很多這方面的存在.

3.1 多題協同探究實現數學抽象

日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一書中概括了七種數學精神,其中第一條是應用化精神(包括對數學本身的應用),第二條是“充滿在整個數學中的擴張化、一般化精神”[6],這一條實際上就是指“數學抽象”,這也是我國2017年發布的六大數學核心素養之核心.在不定積分中,將多個題目聯合在一起,探究共性,可以獲得很多規律.例如,探究不定積分

通常,不定積分都會有“有理函數的積分”這一節,它強調的是一個一般性結論“任何有理函數都是‘積得出’的”,而這個結論是基于對積分

的“積得出”的肯定.

3.2 團結互助的生態文明

在不定積分中,你可以看到一個活生生的“和諧社會”.

3.2.1 積分可以結伴互助

2I1+3J1=x+C, 2I1-3J1=ln|2sinx+3cosx|+C.

3.2.2 積分可以互相啟發,互相分擔

又如,用不定積分的裂項法可知,

這多像媽媽把一件家務事分配給幾個孩子去做一樣!

3.2.3 積分可以相互幫扶,“敬老愛幼”

例如,不定積分的分部積分公式

中的兩個積分多么像兩個團結友愛的同學,一個人解決不了問題時,另一個幫助解決!

否則很難解出.

3.2.4 積分可以協力化解危機

后面那個積分對前面的說“兄弟別急,站在那兒別動,我用分部積分法讓咱倆一起逃離險情!”果然:

4 結 論

數學教育中的德育價值主要體現在道德品質、科學素養、人文精神三個方面.而工匠精神、創新精神、合作精神分別是這三個方面的核心,不定積分的數學文化背景不很豐富,但依然不失為課程思政的良好載體.我們在高等數學教學中,應充分挖掘數學中體現的文化和精神,引導學生感悟真善美的無處不在.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.