由度量誘導的集合列上(下)極限及其應用

李 杰, 孫明澎

(江蘇師范大學 數學與統計學院,江蘇 徐州 221116)

0 引 言

實變函數論是經典微積分學的繼續與深化,同時也是點集拓撲、泛函分析、測度論等后繼分析課程的必備基礎.粗略地講,實變函數論是基于Cantor集合論,從分割值域角度把函數的分析轉化為集合的研究,從而在集合族上建立新的測度與積分的理論.和數學分析一樣,極限仍是研究實變函數的重要工具.因此如何在集合族中合理定義極限,是實變函數論首要解決的基礎問題.

眾所周知,數列極限可用數列上(下)極限來刻畫;當數列不收斂但有界時,上(下)極限總是存在,從而可用上(下)極限更好地描述數列極限點的分布.由數列上(下)極限可研究函數列的上(下)極限.對于不同對象的上(下)極限的定義,一般認為本質上都應起源于數列的上(下)極限的定義.因此,本文研究如何從數列上(下)極限的定義自然地引出q中集合列的上(下)極限定義.

通過查閱一批實變函數論教材,發現對集合列上(下)極限的定義引入較為突?；螂y以理解其本質.例如,教材[1]直接拋出集合列上(下)極限的定義而未做出相關說明,導致很多學生不清楚集合列上(下)極限如此定義的原因及合理性.教材[2]采用類比思想,根據單調數列必有極限(若極限允許取值無窮),類比給出單調集合列的極限集定義.

定義1[2]對于q中集合列若對任意k,Ak?Ak+1,則稱是遞增集合列,這時稱為的極限集,記為

(1)

(2)

對于一般的集合列上(下)極限,可類比數列上(下)極限的做法得到.

定義2[2]對于q中任意集合列令關于k遞減(關于k遞增),定義的上、下極限集:

(3)

(4)

上(下)極限集有如下等價描述,教材[1,3]直接以此作為集合列上(下)極限的定義.

文獻[4]通過類比的思想進一步闡述了數列上(下)極限與集合列上(下)極限思維方法的一致性所在.文獻[5]給出了數列上(下)極限的一種分解策略,并運用其類比分析集合列上(下)極限.

綜上所述,通過類比思想定義集合列上(下)極限相對而言更易理解.但這種方法只是在集合列上(下)極限與數列上(下)極限擁有相同形式的層面上,通過類比進行的分析和推導,并未解釋集合列上(下)極限定義的思想根源,而且定義出來的集合列上(下)極限難以從歐式空間q推廣到一般的空間.

下例說明集合列上(下)極限并不是數列上(下)極限的直接推廣.

例1給定數列{an∈|n∈+},可構造單點集合列{An?|An={an},n∈+}.若令易驗證:

鑒于實變函數論在分析學中的承上啟下作用,本文將從數學分析數列上(下)極限出發,分析其本質,引入一種能推廣到一般度量空間(甚至拓撲空間)的集合列上(下)極限定義,并研究其性質和應用.

1 本質分析

首先回顧(函)數列上(下)極限相關的定義,并強調度量結構在其中的作用.

定義3對于歐式度量空間(q,d)中數列{xn}n∈+和數a∈q∪{∞},若對任意ε>0,球形鄰域Bd(a,ε)={x∈q|d(x,a)<ε}(∞處的鄰域定義為Bd(∞,ε)={x∈q|d(x,0)>1/ε})中都含有數列{xn}n∈+中無限多個項,則稱a為數列{xn}n∈+依度量d的聚點.

當度量d為絕對值度量|·|時,即為通常意義下的數列(上、下)極限,在不引起歧義的情況下相關記號省略上標d.

定義4[3]定義在E?q上的實值函數列{fn(x)}n∈+的上、下極限函數定義為

定義5設X?q為非空集合,A?X,則

稱為集合A的特征函數.

注意到任意一列特征函數的上(下)極限仍為特征函數,于是可將該特征函數對應的集合定義為特征函數列對應的集合列上(下)極限,即

(5)

(6)

易驗證定義6與定義2、命題1等價.

定義6的優點在于,通過數學分析函數列上(下)極限便可給出集合列上(下)極限.但是,這種定義方式對數學分析知識的掌握程度要求較高,大多數數學分析教材對于數列上(下)極限的內容尚且不夠重視,有的甚至將其列入選學內容,對于函數列上(下)極限更是完全沒有介紹.

受定義6啟發,直接從數列上(下)極限定義出發,并強調度量d的作用,可給出如下定義:

(7)

(8)

(9)

(10)

2 主要結果

定義9設A?q為一非空集合,定義ds:A×A→使得對于任意x,y∈A有

則稱ds是A上的一個離散度量.

定理1q中集合列按定義2(或命題1、定義6)給出的上(下)極限等價于按定義8由離散度量ds誘導的上(下)極限,即

證注意到q上賦予離散度量ds時,對任意x∈q和任意0<ε<1有Bds(x,ε)={x},易見定義8中由離散度量ds誘導的上(下)極限集與定義2等價.

下面進一步研究由度量誘導的集合列上(下)極限的內在結構.

(ii) 由定義和(i)即得.

對任意ε>0和A?q,定義Aε={x∈q|?y∈A,s.t.d(x,y)<ε}.

d(x,xn)≤d(x,y)+d(xn,y)<ε,

d(x,z)≤d(x,xnk)+d(xnk,z)<ε+1/k,

(iii) 先證必要性.對任意ε>0,由(ii)得

(iv) 由(iii)和(i)易得.

定理2(iv)的逆命題一般不成立.

易驗證

但對任意ε>0,有

易驗證

3 應 用

Lebesgue測度關于集合列極限具有一定的連續性.

需要說明的是,定理3對一般的測度不一定成立[8].下面指出定理3可以推廣到由度量誘導的極限情形.

為證明定理4,需要下面的引理.

引理2設{At}t∈+是一族可測集合,且對任意t1

證任取單調遞減數列tn∈+滿足tn→0+(n→∞),則對任意ε>0,存在n滿足ε>tn,則Aε?Atn,從而由此知A0是可測集.

(11)

(12)

根據定理2和引理2,

(13)

4 結 論

對于不同對象的上(下)極限定義,本質上都應起源于數列的上(下)極限定義.在現行的大多數實變函數論教材中,僅通過類比思想對于集合列上(下)極限與數列上(下)極限的聯系做出了形式上的解釋,不利于學生對集合列上(下)極限定義本質的理解.本文基于特征函數列與集合列之間的關系,分析了集合列上(下)極限的思想根源.受此啟發,從數列上(下)極限出發,介紹了一種由度量誘導的集合列上(下)極限概念,并研究其結構和性質.結果表明,通常的集合列上(下)極限本質上為由離散度量誘導的集合列上(下)極限,而且Lebesgue測度關于由度量誘導的集合列極限保持一定的連續性.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.