基于卡爾曼濾波的高精度溫度脈動儀設計

黎一宏，常帥，張恒，步宏坤

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

光學湍流效應是制約空間激光通信發展的重要因素，由于大氣湍流造成折射率的隨機起伏會影響空間激光通信的質量，因此研究并測量大氣折射率結構常數是研究光波傳輸的重要環節［1-2］。國內外都對大氣折射率結構常數的測量進行了大量的探索。 研究表明，大氣湍流對光波在大氣傳輸的影響主要是由于溫度的起伏引起的。溫度脈動儀通過對空間兩點的微溫脈動量實時測量，反演大氣折射率結構常數，是一種較為常用的大氣湍流強度測量儀器［3-4］。溫度脈動儀探測的微溫脈動量變化量小，頻率高，現有的溫度脈動儀設備對高頻溫度脈動信號采集時，噪音較大。 現采用卡爾曼濾波原理對采集到的溫度脈動信號進行濾波處理，減小信號的噪音毛刺，提高設備的測量精度，并使用溫度脈動儀對長春地區大氣折射率結構常數進行測量。

1 實驗原理與設備研制

1.1 溫度脈動儀測量原理及設備研制

科爾莫戈羅夫（Kolmogorov）的“2/3”定律認為：在湍流的慣性區內，兩點間的折射率結構常數只與兩點間距離的2/3 次方有關，與兩點的位置和相對方向無關。 在此定律基礎上，可推導出折射率結構常數的計算公式如下：

由公式（1）和公式（2）可知，當氣壓P、溫度T、距離r和溫度差的系綜平均值為已知量時，可計算得出折射率結構常數為。氣壓P和溫度T可通過氣壓傳感器和溫度傳感器獲得，使用米尺和游標卡尺等工具可以精確地測得距離r，溫度差的系綜平均值需要對溫度脈動儀測量的數據進行反演計算獲得。由于溫度差的系綜平均值不能被直接測量，則需要一個能夠反映其特征的可測量值來代替。溫度脈動儀采用直徑25 μm、電阻值為50 Ω 的鉑絲作為傳感器（兩個鉑絲探頭的電阻差值不大于標準值的0.4%），感應大氣湍流慣性區內空間兩點溫度的細微差異，將表示大氣狀態的物理量溫度差轉化為可測量的電信號電壓差。鉑絲的電阻值隨溫度變化的公式為：

由此得出：

式中，R0為T0下的電阻值，單位為Ω；α為電阻溫度系數，單位為K-1；Tω為鉑絲實際溫度；T0為鉑絲標定時的溫度。

鉑絲的溫度系數為（3.908 3×10-3）（ppm/℃），因此根據公式（4），50 Ω 的鉑絲電阻在發生1 ℃的溫度變化時，其阻值變化為：

1 Ω 的電阻變化經過溫度脈動儀測溫電路的放大，最終引起的電壓變化為5.2 V，因此可以推出當鉑絲電阻探頭發生1 ℃的溫度變化時，最終引起電路上的電壓變化為：

因此溫度脈動儀的溫度引起電壓改變的系數為：

由此關系可以利用鉑絲電阻的電壓變化反演溫度的脈動變化。

本文采用的溫度脈動儀設計方案使用四線制測量電阻法，對鉑絲電阻的阻值進行測量，最大限度消除導線電阻引入的誤差，使用2.3 mA的恒流源對用于探測溫度脈動的鉑絲電阻通電，電阻流過的電流極低，減小了電流增溫效應對測量的影響。采用24 位低噪音ADC 采集芯片采集電壓值，ADC 采集芯片的采集頻率最高可達到100 Hz，滿足對高頻溫度脈動量的測量需求，經過單片機將數據輸出，溫度脈動儀的電子學框圖如圖1 所示。

圖1 溫度脈動儀電子學框圖

鉑絲探頭受到溫度脈動電阻值發生變化，兩探頭上的電阻結果測溫電路差分放大后由ADC采集模塊準確采集探頭上的電壓差值，傳入信號處理模塊。信號處理模塊主要由兩塊單片機組成，使用一塊STM32F103 單片機接收ADC 模塊采集出的數據，對采集的數據做濾波算法處理后發送到一塊STM32F407 單片機上，STM32F407單片機收集采集到的濾波后的電壓差值數據與BME680 傳感器傳輸來的氣象數據，一并通過串口輸出到上位機，同時控制OLED 顯示屏實時顯示數據，上位機通過軟件對數據進行反演檢測大氣折射率結構常數。

1.2 基于卡爾曼濾波的溫度脈動儀改進設計

卡爾曼濾波的原理包括兩個主要過程：預估與校正。預估過程主要是利用時間更新方程建立對當前狀態的先驗估計，及時向前推算當前狀態變量和誤差協方差估計的值，以便為下一個時間狀態構造先驗估計值。校正過程負責反饋，利用測量更新方程在預估過程的先驗估計值及當前測量變量的基礎上建立起對當前狀態改進的后驗估計。 這個過程稱之為預估-校正過程，對應的估計算法稱為預估-校正算法［8-9］。以下給出卡爾曼濾波的時間更新方程和狀態更新方程。

時間更新方程：

狀態更新方程：

式中，Xk為系統狀態變量；Uk是系統外部輸入；A是系統狀態轉移矩陣；B是系統輸入控制矩陣；是先驗估計的預測協方差矩陣；k為算法的迭代次數；Q是控制過程噪音的協方差矩陣；Gk是卡爾曼增益；H是觀測矩陣；R為觀測噪音的協方差矩陣；Zk為觀測值；I為單位矩陣。

大氣湍流的擾動頻率很高，通?？梢赃_到上百赫茲，而溫度脈動引起大氣折射率結構常數變化是一個緩慢的過程，因此在采集溫度脈動信號時可采用卡爾曼濾波的思路，利用上一個采樣周期的系統狀態定義為預估的當前狀態，結合測溫電路采集到的當前周期的數據進行加權組合得到系統的真實狀態。在對溫度脈動進行高頻采集的同時降低由于硬件或環境異常擾動造成的噪音。由于是對采集到的單變量數據進行濾波，所以矩陣的維數都為1。在溫度脈動儀信號處理模塊中的STM32F103 單片機上建立卡爾曼濾波算法模型，對采集到的電壓數據進行濾波。 首先定義卡爾曼濾波結構體包含：上次估算協方差Pk- 1，當前估算協方差Pk，卡爾曼濾波器輸出Out，卡爾曼增益G，過程噪音協方差Q，觀測噪音協方差R，并將估算協方差、過程噪音協方差、觀測噪音協方差參數初始化。ADC 芯片采集的電壓數據為Input，進入卡爾曼濾波循環，根據公式（5）～（9）的卡爾曼濾波原理，設計溫度脈動儀的卡爾曼濾波模型：

預測協方差方程：

卡爾曼增益方程：

更新最優值方程：

更新預測協方差方程：

數據進入卡爾曼濾波循環后，將上一時刻輸出值數據作為當前時刻的預測值，使用卡爾曼增益進行加權計算后得到這一時刻的狀態變量最優值后，輸出經過計算的數據得到濾波后的電壓值，將電路噪音進行濾波，同時可以減小外界異常干擾造成電壓值不穩定而形成的毛刺。

圖2 為STM32F103 單片機的工作流程圖。在系統開機后，首先其內部進行初始化工作，主要針對ADC 模塊的工作模式進行配置，使其能夠保障轉換精度的同時，較快速地采集鉑絲探頭兩端的電壓信號。之后該單片機進入循環工作狀態，讀取ADC 模塊輸出的電壓數據，在單片機內寫入利用卡爾曼濾波算法對采集得到的信號進行迭代濾波，將上一次的輸出值作為下一次循環的預測值進行數據迭代，對采集到的電壓信號進行加權計算后得到當前時刻的最優值，降低電壓信號內的噪聲信息，提高采集精度，之后單片機將最優值數據輸出，通過串口發送至STM32F407 內核單片機中，進行后續處理。

圖2 溫度脈動儀STM32F103 單片機工作流程圖

2 實驗結果與討論

2.1 卡爾曼濾波器濾波效果

為驗證卡爾曼濾波降低溫度脈動儀噪音的效果，現將溫度脈動儀中測溫電路采集到的電壓原始數據單獨導出到上位機上的卡爾曼濾波程序中，需要手動調節卡爾曼濾波參數：過程噪聲協方差Q，觀測噪聲協方差R，得到好的濾波效果后，將卡爾曼濾波器的初始值燒錄到單片機中，使溫度脈動儀在采集電壓后立即濾波，簡化后續的數據處理。原始電壓數據經濾波后的對比如圖3 所示。

圖3 卡爾曼濾波器的電壓濾波效果

由此可見經過濾波后的電壓數據在變化趨勢上符合原始數據的同時，極大減少了數據中的毛刺噪音，極大提高了數據的可靠程度，在后續通過電壓反演溫度脈動變化時，極大提升數據的精度。

2.2 溫度脈動儀噪音測試

為進一步研究卡爾曼濾波對溫度脈動儀精度的提升，對溫度脈動儀進行噪音測試。 現將兩個精密的50 Ω 定值電阻替換掉原來的鉑絲傳感器探頭安裝到溫度脈動儀的探測天線兩端，記錄下原始的電壓數據，然后將通過卡爾曼濾波器后的數據與原始數據對比，結果如圖4 所示。

圖4 溫度脈動儀噪音對比

使用定值電阻替代傳感器探頭，兩端的電壓差值應該恒定無變化，電壓差值應該呈現一條平穩的直線，此情況下可以對溫度脈動儀的噪音進行測量。

實驗前經過精密電阻計測得兩精密定值電阻的電阻值之差為0.011 Ω，此阻值差值經過溫度脈動儀測溫電路差分放大后帶來的電壓差值為0.059 V，因此噪音測試時電壓差值始終有0.059 V 左右的輸出。結果對比可知，在添加濾波算法前溫度脈動儀的原始數據噪音在0.002 V范圍內，噪音總體的毛刺還是比較突出；經過卡爾曼濾波后，噪音控制在0.001 V 以內，噪音降低50%，消除數據中的毛刺噪音，濾波效果極好。按照本文中溫度脈動儀測量電壓和探測溫度的轉換關系，改進后溫度脈動儀的噪音對應的溫度脈動在0.001 K 范圍內。根據公式（1）和公式（2）的大氣折射率結構常數計算公式，0.001 K 的溫度脈動噪音計算為大氣折射率結構常數為10-18m-2/3量級，處于溫度脈動儀的測量下限，遠小于正常測量時大氣湍流數據，對測量結果影響極低，提高了設備的測量準確性。

2.3 溫度脈動儀大氣折射率結構常數測量實驗

使用改進后的溫度脈動儀在長春地區搭建大氣折射率結構常數測量平臺，地理位置為長春市南關區生態大街6666 號創業服務中心西附樓。測量點在四樓天臺，海拔212 m，經度125.39，緯度43.78。溫度脈動儀搭載在距下墊面1 m 的水泥臺座上，下墊面環境為人工塑料草皮。 實驗現場如圖5 所示，溫度脈動儀放置在天臺邊緣，四周開闊無遮擋，無高熱輻射源或強電磁場輻射源，由于長春冬季天氣寒冷，實驗場地有積雪覆蓋。

圖5 溫度脈動儀實驗現場

實驗結果如圖6 所示，溫度脈動儀在觀測點成功繪制大氣折射率結構常數在一整天的變化曲線。12 月23 日長春地區的日出時間為7 點10分，日中時間為11 點37 分，日落時間為16 點05分。 在日出之前溫度脈動量較低，大氣湍流較弱，大氣折射率結構常數在10-14m-2/3附近波動，7點鐘日出以后，溫度脈動量開始增加，大氣折射率結構常數開始升高，在日中前的11 點附近達到一個峰值，最高達到5 × 10-13m-2/3，然后在日中時溫度脈動量較為平穩，大氣折射率結構常數有所回落，到10-13m-2/3附近波動，在日中過后13點30 分時又迎來一個回升，達到5 × 10-13m-2/3。 之后便逐漸降低，在日落以后大氣折射率結構常數回到當日低點，在10-14m-2/3附近波動。

圖6 大氣折射率結構常數測量結果

3 結論

本文提出了一種使用卡爾曼濾波算法，提高溫度脈動儀測量準確性的方案。經過卡爾曼濾波后溫度脈動儀采集的電壓值更加平穩準確，設備的測量噪音能夠控制在0.001 K 以內，噪音對大氣折射率結構常數的影響量級為10-18m-2/3，遠低于正常測量的數據，對大氣折射率結構常數的測量影響極低，提高了溫度脈動儀的測量準確度。利用研制的溫度脈動儀對長春地區冬季的大氣湍流進行全天監測，成功繪制大氣折射率結構常數特性曲線，長春冬季大氣折射率結構常數在10-12m-2/3～10-15m-2/3之間波動，在日落后日出前，大氣湍流較弱，折射率結構常數在10-14m-2/3附近波動，日出后受太陽輻射影響，溫度脈動量變大，光學湍流較強，折射率結構常數在10-13m-2/3附近波動，最高達到5 × 10-13m-2/3。全天變化趨勢與先前的研究結果［10-11］具有很好的一致性。