軌道車輛扇形壓電陣列式俘能器寬頻響應設計?

鐘倩文， 鄭樹彬， 孫佳慧， 彭樂樂， 文 靜

（上海工程技術大學城市軌道交通學院 上海，201620）

引 言

隨著超大城市及其線網規模的不斷擴大，要求軌道交通安全運維行業向低碳化、智能化方向發展，軌道安全監測（structural health monitoring，簡稱SHM）設備從傳統有線技術向先進無線技術轉變［1-2］。軌道交通車輛的運行間隔短、密度高且連續運行，列車車輛引起的振動是一種清潔、連續及穩定的能源，具有為SHM 設備供電的巨大潛力。壓電式俘能器具有結構簡單、制作方便、抗干擾能力強、能量密度和能量轉化率較高等優點，是一種有巨大潛力的技術［3］。

具有多種振動模式的俘能器可以在更寬的頻率范圍內發生共振，以形成具有多個共振峰的多自由度（multi-degree of freedom，簡稱DOF）為主要特征，從而提高環境能量獲取效率。劉久周等［4］在基于同步開關電路的壓電懸臂梁中引入副梁，大大提升了能量收集效果。王光慶等［5］設計了的帶彈簧的雙自由度系統，其工作頻帶提高至單自由度系統的2 倍。Nie 等［6］采用L 形壓電組合梁，有效地在更寬的頻帶上采集能量，并減少振動位移。此類DOF 系統能匹配的共振頻率有限，經常引入非線性因素，因此結構復雜，不易設計、制造和維護，安全性不足。懸臂梁陣列也是一種常見的解決方案。田曉超等［7］對4 個壓電懸臂梁陣列俘能器的發電性能進行了研究，響應頻帶拓寬至77 Hz，且空間利用率高。羅翠線等［8］使用3×5 矩形懸臂梁陣列，拓寬了響應頻帶。Xue 等［9］提出一種10 個不同厚度串聯連接的雙晶懸臂梁陣列，比單個梁最大輸出功率高出10 μW。Kherbeet 等［10］研究發現，無論是水平還是垂直排列，串聯三角梁陣列比單懸臂梁獲得更大的功率。陣列式懸臂梁結構簡單，且可以匹配相對多的諧振頻率，取得較好的發電效果。綜上所述，采取將多個一階固有頻率相近、能量轉化效率較高的壓電俘能單元集成在同一結構框架上形成陣列，是設計低頻、多源及寬頻壓電俘能器的有效方案。

筆者基于上海地鐵列車采集的軸箱振動信號，采用有限元分析方法提出了一種具有12 個梁單元的圓盤陣列采集系統，并搭建了振動測試平臺驗證了設計方案的有效性。通過改變壓電梁陣列的設計參數，使得懸臂梁單元的固有頻率分別與多個振源集中頻率相匹配，提高壓電式俘能器的輸出性能。

1 扇形壓電陣列結構及理論建模

1.1 陣列式俘能器結構設計

由于在軌道交通車輛運行環境下，振動頻率往往隨著車輛的變速運行而產生多個頻率峰值，而懸臂梁由于其結構特點，一般只能在單個頻率點上與環境頻率產生較強的共振。陣列設計可以引入多個具有不同固有頻率的梁單元，這些梁單元的工作頻率彼此重疊，使得系統整體呈現寬頻特性。懸臂梁單元的能量轉化效率越高，陣列俘能器整體的輸出性能就越好。已有多項研究表明［11-12］，增加固定端相對于自由端的寬度，即采用三角形、扇形及梯形等形狀的懸臂梁結構，相比于矩形表面，可以獲得更高的單位面積撓度及應變能。扇形懸臂梁以弧邊作為固定端，相比于相同有效面積的三角形和矩形，最大應力較小，分布更均勻，增強了結構在持續振動環境下工作的可靠性，圓形陣列設計則提高了空間利用效率。因此，引入扇形雙晶懸臂梁作為陣列結構的基本單元。

扇形壓電懸臂梁圓形陣列結構如圖1 所示，由多個總頂角和為360°、圓半徑長度R和頂角θ一致的扇形懸臂梁陣列組成一個完整的圓盤結構。每個扇形懸臂梁單元中間由厚度為hs的金屬基底層、基底上下兩面對位黏貼厚度為hs的壓電陶瓷層以及寬度固定、質量為Mt的末端質量塊組成，三者的接觸面由環氧樹脂膠合成為一個連續整體。質量塊所在端為自由端，被雙層圓環夾緊固定的弧形長邊為固定端。當陣列結構發生受迫振動時，懸臂梁發生彎曲變形，通過正壓電效應在垂向表面聚集大量自由電荷。

圖1 扇形壓電懸臂梁圓形陣列結構圖Fig.1 Structure diagram of circular array of sector-shaped piezoelectric cantilever beams

扇形懸臂梁陣列式壓電俘能器寬頻設計路線如圖2 所示。首先，建立壓電懸臂梁的分布參數模型及有限元參數模型，經過對比驗證及參數分析，得到了影響梁輸出性能的多個結構參數，并獲得了關鍵參數與輸出的關系；其次，采集上海地鐵車輛軸箱振動信號，分析其振動特征，明確寬頻設計最終目標；最后，通過實驗和仿真對結構的頻率響應特征進行測試與分析，驗證設計方法的可行性。

1.2 壓電耦合分布參數模型

本研究建立的壓電耦合分布參數模型相比于廣泛采用的一般激勵下的集中參數模型具有更高的預測精度［13］。扇形壓電懸臂梁單元受力原理如圖3 所示，其中：x，y，z軸分別對應d31模式下的1，2，3 方向；x軸與梁的中性層共面；z 軸為極化軸。用于膠合的環氧樹脂聚合物材料，其彈性模量遠低于壓電陶瓷和大多數金屬材料，因此在建模過程中忽略不計。懸臂梁厚度和長度之比很小，可以忽略剪切變形和轉動慣量的影響，符合歐拉-伯努利（Euler-Bernoulli） 梁的假設。

圖3 扇形壓電懸臂梁單元受力原理圖Fig.3 Schematic diagram of the force of a sector-shaped piezoelectric cantilever beam unit

當懸臂梁受到自由端集中力的作用發生彎曲變形時，梁的變形可以描述為橫向位移g(t)和環向轉角位移h(t)的疊加。梁的基礎橫向形變wb(x，t)可以描述為

連續振動激勵下，雙晶懸臂梁受迫振動方程為

其中：cs I為內部應變率；ca為黏性空氣阻尼系數；m為單位長度梁的質量；Mt為自由端末端質量；δ(x)為狄拉克函數；R為扇形梁的半徑；M(x，t)為不包含應變率阻尼效應的內部彎矩。

其中：b(x)為梁隨半徑方向變化的寬度，b(x)=為PZT-5H 的 厚 度；hs為金屬基板的厚度；T1p，T1s分別為壓電層和金屬層在x方向上的應力分量。

根據金屬和壓電的本構方程可得

其中：Ys為金屬層彈性模量；Ss1為金屬層的軸向彎曲應變；cE11為壓電陶瓷在常電場下的彈性模量，對于壓電薄梁有為常電場條件下的彈性柔度；Sp1為壓電層的軸向彎曲應變；e31為有效壓電應力常數，，d31為 壓電應變常 數；E3為z軸方向的電場分量。

對于串聯情況下的壓電陶瓷輸出電壓v，短路狀態下滿足，由于兩層陶瓷的電荷極化方向相反，故而產生同方向的瞬時電場設模態階數r=1，2，3，則wrel的本征收斂級數表示為，其中：?r(x)為3 階模態的質量歸一化函數；ηr(t)為串聯構型的模態坐標。展開如下

其中：Ar為模態幅值常數；λr為r階特征值。

壓電陶瓷串聯條件下的模態機電耦合項θr和等效電容Ceq分別為

將式（7）~（9）代入受迫振動方程（2），得

截面質量m和根據平行軸定理得到的末端質量慣性矩It分別為

復合截面的彎曲剛度在短路條件下為

解得特征值后可計算短路條件下r階無阻尼固有頻率ωr為

可以進一步求得陣列系統的穩態電壓響應為

其中：Rt為負載電阻。

2 軌道車輛軸箱振動特征分析

出于行車安全考慮，將壓電俘能裝置安裝在軸箱上，收集輪軌沖擊產生的垂向振動能量；加速度傳感器固定于車輛軸箱部位，收集上海地鐵某型車在測試線路以50 km/h 勻速行駛的振動信號并分析其特征。使用的測試設備主要有DFT1301 型三軸加速度傳感器及采樣頻率為10 kHz 的Wavebook516E數據采集儀。信號采集如圖4 所示。

圖4 信號采集Fig.4 Signal acquisition

對采集到的垂向加速度信號進行傅里葉變換，結果如圖4（a）所示。在軸箱處可俘獲的垂向振動主要在0~300 Hz 頻段內有較密集的分布，呈現寬頻、低幅值、多模態的特點。在0~300 Hz 振動范圍內，整體振幅較大，且集中分布在20.95，40.45 和204.19 Hz 處。因此，采用機械調諧策略［13］，改變壓電懸臂梁的結構設計參數以逐個調整其機械特性，使其與軌道車輛軸箱部位的環境振動頻率相匹配，以提高發電效率。

3 懸臂梁結構參數與模態頻率的關系

3.1 有限元模型

由1.2 節中建立的扇形懸臂梁分布參數模型可知，俘能器發電性能、工作頻率與多個材料參數及結構參數有關，懸臂梁所用材料參數如表1 所示。金屬基底材料選用彈性模量大的鈹青銅，在沖擊下不易產生塑性形變。壓電陶瓷選用PZT-5H，其物理強度高、化學惰性強且制造成本相對較低，被廣泛用于振動沖擊條件下的壓電能量收集器件。

表1 材料參數表Tab.1 Material parameter table

結構參數包括圓周外廓半徑R、頂角度數θ、陶瓷厚度hp和長度Lp、基底厚度hs和長度L以及末端質量Mt。當同層陣列懸臂梁單元的頂角θ和為360°、外廓半徑R相等時，可以拼合為一個完整的圓周，厚度可以通過增加絕緣墊片來彌合。

為建立結構參數與模態頻率的函數關系，獲得各參數與壓電懸臂梁性能之間的關系，利用ANSYS 仿真軟件建立上述結構參數的有限元模型，進行模態分析和諧響應分析。理論結果與有限元仿真模型如圖5 所示，由圖可知，參考實際測得的軸箱載荷譜和車載環境下懸臂梁的受力計算原理［14］，在z軸方向施加2g的加速度，在相同參數設置下，分布參數理論模型與ANSYS 仿真模型得到的開路電壓峰值與諧振頻率吻合誤差在5%以內。

圖5 理論結果與有限元仿真模型Fig.5 Model of theoretical results and finite element simulation

3.2 結構參數分析

陣列式俘能器的每個單元具有相同的頂角值和外廓半徑，保持以下參數不變：hp=0.2 mm，hs=0.2 mm，Mt=5g，L=50 mm，Lp=20 mm，在相同的取值間隔下改變所建立的有限元模型的參數θ和R，變化范圍為15°~75°和60~110 mm 之間的離散數據。通過多次諧響應分析得到單個變參數對模態頻率及輸出電壓峰值的影響，開路電壓、諧振頻率與頂角、外廓半徑的關系如圖6 所示。由圖6（a）可知：在一定范圍內，梁的諧振頻率隨著頂角的增大而增大，增加范圍在0~65.65 Hz；輸出電壓在30°時存在極值，這是因為頂角越小，扇形弧邊寬度b也變小，導致彎曲剛度變小，諧振頻率變低，電能轉換率相應提高；b減小到一定程度后，陶瓷發電面積減小的效應會大于轉換率提高的效應。因此，頂角的調整可以折中改變梁單元的諧振頻率和輸出電壓。

圖6 開路電壓、諧振頻率與頂角、外廓半徑的關系Fig.6 Variation of open circuit voltage and resonant frequency with vertex angle and outer radius

由圖6（b）可知：在一定范圍內，梁的諧振頻率隨著R的增大而增大，增加范圍在0~21.04 Hz；輸出電壓隨R在60~80 mm 及90~110 mm 之間遞減。這是因為在其他條件不變的情況下，R的增加一般會使自由端位移增大，當R增加到對平均應力的影響大于自由端位移對平均應力的影響時，輸出電壓會減小。因此，外廓半徑R的調整也可以改變梁單元的輸出性能。

3.3 寬頻結構設計與仿真驗證

由單結構參數分析結果可知，壓電懸臂梁陣列的模態頻率f1與結構參數θ和R具有明顯相關性。頻率匹配后的壓電陣列仿真如圖7 所示。為了實現軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列的寬頻響應設計，懸臂梁單元采用#n表示，R=60 mm，θ=30°。為匹配表2 中提出的3 個目標頻率，通過迭代逼近的數值 計 算 方法［15］設計 了3 種、共12 個優 化 懸 臂 梁單元，具體結構參數如表2 所示。

表2 結構參數表Tab.2 Structure parameter table

圖7 頻率匹配后的壓電陣列仿真Fig.7 Piezoelectric array after frequency matching

將表1、表2 的數值代入參數化有限元模型，在ANSYS 中通過完全法對結構進行諧響應分析，設定垂向加速度載荷為2g，建立了如圖7 所示的優化陣列的有限元模型，獲得的3 種梁單元對應的仿真工作頻率如表3 所示，扇形梁單元的工作頻率與目標基本一致。

表3 仿真工作頻率Tab.3 Simulation operating frequency

前12 階多懸臂梁陣列諧振頻率變化曲線如圖8所示。由圖7，8 可以看出：懸臂梁單元在前12 階頻率內能產生所需的垂向彎曲振型，單元利用率為100%；前12 階低頻頻率變化范圍大約為 21.07~56.75 Hz，頻帶寬度達到35.68 Hz，可知多懸臂梁壓電振子能有效拓寬其工作頻率范圍。通過分析結構參數，可以使其前3 階模態頻率與列車振動主頻相匹配。

圖8 前12 階多懸臂梁陣列諧振頻率變化曲線Fig.8 First 12 orders variation curve of resonant frequency of multi-cantilever beam array

進一步進行諧響應分析，得到在0~250 Hz 頻率范圍內，軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列頻率響應如圖9 所示。與上海地鐵某線車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖對應可知，其頻率響應與表2 中車輛軸箱振動特征相匹配。

圖9 軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列頻率響應圖Fig.9 Frequency response diagram of sector-shaped piezoelectric cantilever beam array for rail vehicles

4 實驗驗證

為驗證所設計俘能器的發電性能，搭建了如圖10 所示的振動測試系統，軌道車輛運行時軸箱產生的振動由激振器模擬給出。系統由信號發生器、功率放大器、數字示波器、激振器、壓電梁及計算機組成，壓電梁固定在振動臺的支架上，通過振動控制軟件設置振動激勵信號為正弦掃頻信號。

圖10 振動測試系統Fig.10 Vibration test platform

外接負載電阻，設定0~210 Hz 的掃頻范圍，獲得輸出電壓實驗值與仿真值對比如圖11 所示。

圖11 輸出電壓實驗值與仿真值對比圖Fig.11 Comparison of experimental value and simulated value of output voltage

由圖11 可以看出：在10~50 Hz 之間，懸臂陣列輸出電壓在20.17 和40.05 Hz 出現兩個共振峰，實驗輸出電壓分別為20.07 和72.04 V；在190~210 Hz 之間，輸出電壓在200.37 Hz 出現一個共振峰，得到的最大輸出電壓為39.96 V。

結果表明，優化后的壓電梁固有頻率與目標寬頻需求相吻合，且相對于傳統單懸臂梁，增加了響應峰的數量，拓寬了諧振頻帶。

5 結 論

1） 提出了一種寬頻響應的扇形壓電懸臂梁陣列式俘能器結構，通過建立扇形懸臂梁單元的分布參數模型，分析其工作原理，得到了影響其諧振頻率和電壓輸出性能的材料參數和7 個關鍵結構參數，即外廓半徑R、頂角θ、基底厚度hs、PZT-5H 厚度hp、基底邊長L、PZT-5H 邊長Lp和末端質量塊質量Mt。

2） 扇形壓電懸臂梁陣列結構的設計關鍵在于每個懸臂梁單元的外廓半徑R相等，且頂角θ的總和為360°。通過對離散點處參數取值的梁進行有限元分析，發現了R和θ值與諧振頻率和電壓輸出性能之間的關系，最終選擇R=60 mm 和θ=30°作為折中解。

3） 為了匹配軸箱低頻振動集中處的多個頻率峰值，提出了同陣列內3 種規格的扇形懸臂梁圓盤設計，編號分別為#1~#4，#5~#8 和#9~#12，每4個梁單元的結構參數完全一致，可使陣列俘能器在20.95，40.45 與204.19 Hz 處附近產生響應，使結構的前12 階諧振頻率寬度達到35.68 Hz。在拓寬了響應頻帶的同時，與地鐵車輛軸箱振動特征相匹配。

4） 本研究提出的軌道車輛用扇形壓電陣列式俘能器，寬頻響應及輸出性能良好，且可以根據不同的振動環境所定義的頻率匹配目標進行針對性的優化，實現寬頻、低幅及多模態的匹配設計。