Ⅲ組合型線變截面渦旋齒的參數分析和優化

彭 斌, 陶耀輝, 劉慧鑫

(蘭州理工大學 機電工程學院, 甘肅 蘭州 730050)

渦旋壓縮機作為先進容積式壓縮機,具有運行平穩、低振微噪、節能高效等諸多優點,因而被廣泛應用于工業、農業、醫療等需要壓縮空氣的領域.相較于等截面壓縮機,變截面渦旋壓縮機在壓縮比和氣體泄漏量方面都更為優秀,因而常常成為研究的熱點.渦旋盤作為渦旋壓縮機的核心零部件,其型線的優化設計便成為了其中的研究重點.

Shaffer等[1]基于控制體積法建立了變壁厚渦旋壓縮機的幾何模型.Liu等[2]運用有限元分析法對變徑基圓漸開線渦旋齒進行了優化.彭斌等[3]建立了由圓漸開線、高次曲線、圓弧組合而成的變截面渦旋型線,構建了整體數學模型并進行了實驗研究.侯才生等[4]基于Frenet標架建立了由圓漸開線和三次曲線構成的變截面渦旋型線,并在幾何性能和動力性能方面與等截面渦旋型線進行了比較.張朋成等[5]利用不同極徑的代數螺線生成了變截面渦旋齒,并與圓漸開線渦旋模型作了定量對比.李雪琴等[6]提出了非對稱變壁厚渦旋齒結構,并在應力和變形方面與對稱變壁厚渦旋齒進行了對比.Cavazzini等[7]利用PSO算法對渦旋壓縮機的效率進行了優化研究.彭斌等[8]采用多目標遺傳算法對雙圓弧修正和雙圓弧加直線修正中各參數不同組合的選取進行了優化.劉濤等[9]利用NSGA-Ⅱ算法對變截面渦旋盤幾何性能和力學性能進行了綜合優化.彭斌等[10]對變壁厚渦旋膨脹機的型線參數做了深入研究.張賢明等[11]結合NSGA-Ⅱ算法對渦旋壓縮機動靜渦旋齒受到的氣體力、力矩和能效比進行了多目標優化設計,有效提高了渦旋壓縮機的性能.

綜上所述,對變截面渦旋壓縮機研究主要集中于渦旋型線的設計和數學模型的建立等方面,而在型線參數的優化設計方面研究較少.本文引入Ⅲ(圓漸開線-圓漸開線-圓漸開線)變截面渦旋齒的型線面積、占積比和行程容積模型,利用控制變量法研究Ⅲ變截面渦旋齒的型線參數對型線面積、占積比和行程容積的影響,并利用NSGA-Ⅱ算法進行多目標優化設計,研究結果可為Ⅲ變截面渦旋齒的設計提供一定參考.

1 型線母線的建立

組合型線母線由3段圓漸開線組成,其中,第1段和第3段圓漸開線的基圓半徑相同,第2段圓漸開線的基圓半徑要比其他2段的基圓半徑大.漸開線母線方程如下:

第1段圓漸開線母線方程為

(1)

第2段圓漸開線母線方程為

(2)

第3段圓漸開線母線方程為

(3)

為保證型線的連續性和光滑性,曲率半徑需滿足的條件為

式中:φ1為第1段圓漸開線最大展角;φ2為第2段圓漸開線最大展角;φe為漸開線終端展角;a為第1段和第3段圓漸開線基圓半徑;a1為第2段圓漸開線基圓半徑,且a

利用法向等距線法[12]由母線生成Ⅲ變截面渦旋齒,并對變截面渦旋齒齒頭進行雙圓弧修正,得到修正后的變截面渦旋齒如圖1所示.

圖1 Ⅲ變截面渦旋齒Fig.1 Ⅲ variable wall thickness scroll tooth

2 數學模型的建立

2.1 型線面積

渦旋齒的型線面積由渦旋齒外壁型線與基圓所圍面積減去內壁型線與基圓所圍面積而得,內、外壁型線如圖2所示.

圖2 渦旋齒內、外壁型線Fig.2 Inner and outer profile of scroll tooth

圓漸開線面積增量為

(7)

其中,

(8)

dL=ldφ=a(t-α)dφ

(9)

式中:α為漸開線發生角;t為漸開線結束角.

則面積增量為

(10)

渦旋齒齒頭采用雙圓弧修正,雙圓弧修正面積為

(11)

式中:Rd為修正大圓弧半徑;Rx為修正小圓弧半徑;γ為修正角;θ為主軸轉角.

由此可得,Ⅲ變截面內、外壁型線與基圓所圍面積和渦旋齒型線面積So、Si、S分別為

式中:So1、So2、So3分別為渦旋齒外壁的第1段、第2段、第3段圓漸開線與基圓所圍面積;Si1、Si2、Si3分別為渦旋齒內壁的第1段、第2段、第3段圓漸開線與基圓所圍面積.

2.2 占積比

渦旋型線占積比是渦旋齒的型線面積占渦旋盤總面積的比值.在渦旋盤盤徑一定的條件下,型線面積越小占積比就越小,渦旋盤的有效容積就越大,同時材料利用率就越高.Ⅲ變截面渦旋齒的占積比Z為

Z=S/Sp

(15)

式中:Sp為渦旋盤總面積,即

Sp=πR2

(16)

式中:R為渦旋盤半徑,即

(17)

式中:Ror為渦旋盤回轉半徑.

2.3 行程容積

當主軸轉角θ=0時,渦旋盤壓縮腔閉合,最外圈壓縮腔的容積為行程容積.

最外圈壓縮腔母線長度為

(18)

式中:x′2和y′2為式(2)的一階導數;x′3和y′3為式(3)的一階導數.

最外圈單個壓縮腔面積為

A3(θ)=2Ror[L3+Rt(φe-2π)-Rt(φe)]

(19)

式中:Rt為漸開線展角處對應基圓半徑.

行程容積為

V3(0)=2A3(0)h

(20)

式中:h為渦旋齒齒高.

3 型線參數對數學模型的影響

由式(14,15,20)可知,Ⅲ變截面渦旋齒的型線面積、占積比和行程容積都與基圓半徑a、漸開線發生角α、漸開線展角φ1、φ2和終端展角φe有關.

3.1 基圓半徑對型線面積和占積比的影響

基圓半徑a對型線面積和占積比的影響如圖3所示.由圖3a可以看出,當基圓半徑a從1 mm增加到3 mm時,變截面渦旋齒型線面積和圓漸開線渦旋齒型線面積都是逐漸增加的,且變截面渦旋齒的型線面積明顯大于圓漸開線渦旋齒的,而圓漸開線渦旋齒型線面積的增加速率明顯大于變截面渦旋齒的.

由圖3b可以看出,基圓半徑a對變截面渦旋齒占積比的影響與對型線面積的影響正好相反,變截面渦旋齒占積比隨a的增加逐漸減小,而圓漸開線渦旋齒占積比不隨a的增加而改變.這是因為當a改變時,圓漸開線渦旋盤總面積的變化速率與型線面積的變化速率相同,而變截面渦旋盤總面積的變化速率大于型線面積的變化速率,從而導致變截面渦旋盤的占積比逐漸減小,圓漸開線渦旋盤占積比不變.當基圓半徑a增加到2.62 mm時,變截面渦旋盤的占積比與圓漸開線渦旋盤的占積比相同.

圖3 基圓半徑對型線面積和占積比的影響

因此,在設計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮基圓半徑對占積比的影響,可以在滿足a

3.2 終端展角對型線面積和占積比的影響

終端展角φe對型線面積和占積比的影響如圖4所示.由圖4a可以看出,當終端展角φe從17.28 rad增加到20.42 rad時,變截面渦旋齒和圓漸開線渦旋齒的型線面積近似為線性增加,其中,變截面渦旋齒型線面積的增加速率較大.

由圖4b可以看出,終端展角φe對變截面渦旋齒和圓漸開線渦旋齒占積比的影響完全相反,變截面渦旋齒占積比隨φe逐漸減小,而圓漸開線渦旋齒占積比隨φe逐漸增大.這是因為變截面渦旋盤總面積隨φe的變化速率大于渦旋齒型線面積隨φe的變化速率,從而導致型線面積增加的同時渦旋盤總面積增加得更快;而圓漸開線渦旋齒型線面積隨φe的變化速率大于渦旋盤總面積隨φe的變化速率,從而導致渦旋齒型線面積和渦旋盤總面積都增加的同時占積比也在增大.

圖4 終端展角對型線面積和占積比的影響

因此,在設計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮終端展角對占積比的影響,可以在滿足相關設計要求的同時選擇較小的終端展角,使得Ⅲ變截面渦旋盤的占積比較小.

3.3 漸開線展角對型線面積和占積比的影響

漸開線展角φ1、φ2對變截面渦旋齒型線面積和占積比的影響分別如圖5和圖6所示.可以看出,型線面積和占積比隨φ1的增加而減小,隨φ2的增加而增大.

圖5 漸開線展角φ1對型線面積和占積比的影響Fig.5 Influence of involute spread angle φ1 on profile area and occupancy ratio

圖6 漸開線展角φ2對型線面積和占積比的影響Fig.6 Influence of involute spread angle φ2 on profile area and occupancy ratio

因此,在設計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮漸開線展角對占積比的影響,可以在滿足渦旋盤設計要求的同時選取較大的φ1和較小的φ2,使得Ⅲ變截面渦旋盤的占積比較小.

3.4 發生角對型線面積和占積比的影響

發生角與型線面積和占積比的關系如圖7所示.可以看出,當發生角從0.34 rad增加到1.13 rad時,發生角與型線面積和占積比都呈正相關.同時,對比圖5和圖6可以看出,發生角對占積比的影響非常顯著.因此,通過改變發生角的大小可以有效改善渦旋盤的占積比.

圖7 發生角對型線面積和占積比的影響Fig.7 Influence of occurrence angle on profile area and occupancy ratio

3.5 基圓半徑和發生角對行程容積的影響

基圓半徑和發生角對的變截面渦旋盤行程容積的影響如圖8和圖9所示.可以看出,基圓半徑和發生角對行程容積的影響完全相反,行程容積隨基圓半徑的增加而增大,隨發生角的增加而減小.因此,可以通過對基圓半徑和發生角的優化尋求行程容積的最優解集.

圖8 基圓半徑對行程容積的影響Fig.8 Influence of base circle radius on suction volume

圖9 發生角對行程容積的影響

4 NSGA-Ⅱ算法的優化

NSGA-Ⅱ算法是以遺傳算法為基礎并通過Pareto最優概念得到具有精英策略的快速非支配排序遺傳算法.首先,NSGA-Ⅱ算法通過隨機產生的初始種群,經過非支配排序后進行選擇、交叉、變異的操作生成第1代子種群.然后,將父代種群與子代種群合并為新種群,并通過快速非支配排序、計算擁擠度、精英策略等操作生成新的父代種群.最后,通過對生成的父代種群進行選擇、交叉、變異的操作生成新的子代種群.以此類推,直到算法滿足最大進化代數,得到Pareto最優解集.

4.1 優化目標、優化變量和約束條件的確定

本文引入Ⅲ變截面渦旋齒的占積比和行程容積作為渦旋盤幾何性能的評估對象,從而將占積比和行程容積確定為優化目標.由于優化目標有多個型線參數共同影響,所以優化變量選擇了相互獨立且對變截面渦旋盤性能影響相反的型線參數,即基圓半徑a和發生角α.由占積比和行程容積的定義可以確定約束條件為V3(0)>0和0

4.2 單初始參數的優化

4.2.1基圓半徑的優化

由圖3和圖8可以看出,Ⅲ變截面渦旋齒的占積比隨基圓半徑的增加而減小,行程容積隨基圓半徑的增加而增大.兩優化目標隨優化變量的變化趨勢相反,即兩優化目標無法同時取得極值.因此,考慮對其進行多目標單初始參數優化,取得基圓半徑的Pareto最優解集.

圖10是對占積比和行程容積通過NSGA-Ⅱ算法進行單初始參數優化的結果.可以看出,兩優化目標隨優化變量的改變呈相反的變化趨勢,這對應于基圓半徑與占積比和行程容積的關系,證明了優化結果的合理性.選取部分Pareto最優解集,如表1所列.由上文可知,隨著基圓半徑的改變,兩優化目標的取值不能同時達到最優,而表1中基圓半徑的取值是經過NSGA-Ⅱ算法優化后并且考慮了占積比和行程容積取值的Pareto最優解.

圖10 優化基圓半徑Fig.10 Optimize the base circle radius

表1 基圓半徑的Pareto解集

4.2.2發生角的優化

同理,由于發生角對占積比和行程容積的影響是相反的,所以利用NSGA-Ⅱ算法對發生角也進行多目標單初始參數優化,結果如圖11所示,Pareto解集如表2所列.

圖11 優化發生角Fig.11 Optimize occurrence angle

4.3 多初始參數的優化

由于基圓半徑和發生角對變截面渦旋齒占積比和行程容積的影響都是相反的,所以利用NSGA-Ⅱ算法進行多目標多初始參數優化,得到相關型線參數的Pareto最優解集.

圖12是對占積比和行程容積通過NSGA-Ⅱ算法進行多初始參數優化的結果.可以看出,相比單初始參數優化,經多初始參數優化后占積比和行程容積的取值范圍更大.因此,通過多初始參數優化可以選取更好的優化參數,從而生成變截面渦旋盤.

圖12 優化基圓半徑和發生角Fig.12 Optimize base circle radius and occurrence angle

選取優化后部分Pareto最優解集,如表3所列.由上文可知,隨著基圓半徑和發生角的改變,兩優化目標的取值不能同時達到最優,而表3中基圓半徑和發生角的取值是經過NSGA-Ⅱ算法優化后并且考慮了占積比和行程容積取值的Pareto最優解.

表3 基圓半徑和發生角的Pareto解集

5 渦旋盤對比

在多目標多初始參數優化后的Pareto最優解集中選取1組最優解集,即a=1.717 8 mm和α=0.353 rad,生成優化后的變截面渦旋盤如圖13所示.同時,將優化后渦旋盤與優化前渦旋盤的占積比、行程容積和開始排氣角處的軸向氣體力Fa進行對比,對比結果如表4所列.

由表4可以看出,優化后渦旋盤在幾何性能方面有了明顯提高,優化后渦旋盤行程容積提升了5.49%,占積比降低了23.81%.由此說明,通過NSGA-Ⅱ算法可以有效改善Ⅲ變截面渦旋盤的幾何性能.但是通過對比也可以發現,優化后渦旋盤在開始排氣角處的軸向氣體力增加了30.84%,對渦旋盤的力學性能不利.

圖13 優化后渦旋齒Fig.13 The optimized scroll tooth

表4 渦旋盤對比

6 結論

本文建立了Ⅲ組合型線變截面渦旋齒型線面積、占積比和行程容積的數學模型,得到了漸開線發生角、基圓半徑、漸開線展角和終端展角隨數學模型的變化規律.可以發現,與圓漸開線渦旋齒相比,Ⅲ變截面渦旋齒在型線面積和占積比方面性能較差.

結合占積比和行程容積,利用NSGA-Ⅱ算法對型線參數進行了優化.結果表明,Ⅲ變截面渦旋齒的行程容積提升了5.49%,占積比降低了23.81%,軸向氣體力增加了30.84%,幾何性能提升的同時力學性能有所下降.因此,設計Ⅲ變截面渦旋齒時,在滿足力學性能要求的條件下,可以通過NSGA-Ⅱ算法優化選取合適的型線參數,從而提高渦旋齒的幾何性能.