中華優秀傳統文化融入高中數學教學的實踐與探索
——以“等差數列的前n項和公式”的教學設計為例

安徽省合肥市教育科學研究院 沐方華 (郵編:230071)

安徽省合肥市第四中學 卞顯亮 (郵編:230601)

1 問題的提出

中華優秀傳統文化是中華民族的根與魂,教育教學是傳承中華優秀傳統文化的重要方式.2021年,教育部印發《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》,這解決了“進什么、進多少、如何進”的問題,但是在實際教學實施當中還存在“外在形式多,內在體悟少”的問題,部分老師在教學中雖然設計了不少有關中華優秀傳統文化的活動,但是難以將中華優秀傳統文化蘊含的核心思想理念滲透其中[1].本文以“等差數列的前n項和公式”教學設計為例,談一談如何在教學中滲透中華優秀傳統文化.

2 教學過程設計

2.1 創設情境,提出問題

問題1等差數列很早就是我們的一個研究對象,宋代時期所著的《續古摘奇算法卷上》中有這樣一個問題:“天數一三五七九,地數二四六八十,積五十五.”你會算嗎?你知道古人是怎么算的嗎?

師生活動從中華傳統數學著作《續古摘奇算法卷上》中一個求和問題出發,學生可以一個一個進行求和.教師引導學生用數列的觀點,把這10個數重新排序為:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,轉化為等差數列的求和問題.并介紹古人的算法:“并上下數共一十一,以高數十乘之,得百一十,折半得五十五,為天地之數”,引導學生觀察1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11,從而得到結果.

問題2據說,200多年前,高斯的算術老師提出了下面的問題:1+2+3+…+100=?你準備怎么算呢?

師生活動學生仿照上面的方法算(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050,教師引導學生思考上述方法運用了等差數列的重要性質,當p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t時,有ap+aq=as+at.

設計意圖借助兩個故事,由淺入深,讓知識生成更自然.這兩個故事蘊含著等差數列的特殊性質,教學時要讓學生自己去觀察、探索,發現數列的這一性質.教師通過對這兩個問題的分析,引導學生用數學的眼光看待問題,也提高學生對中華傳統數學的認識,增強文化自信力.

問題3你會計算1+2+3+…+n嗎?

師生活動學生類比上述的方法嘗試解決問題時,發現需要對n的奇偶進行討論,學生展示做法,教師點評后總結:

當n為奇數時,n-1為偶數

追問若不分類討論,還可以求和嗎?

師生活動教師引導學生將前n項和寫為Sn=n+(n-1)+(n-1)+…+1,

再結合Sn=1+2+3+…+n,將上述兩式相加,得

2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…+(1+n)=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)=n(1+n).

教師總結倒序相加法的步驟,通過倒序相加,將復雜的求和問題轉化為簡單的求和,即轉化為n個(n+1)的和,避免了奇偶項的討論.

2.2 類比探索,整體認知

問題3這種方法能夠推廣到求等差數列{an}的前n項和嗎?

師生活動學生展開討論.

Sn=a1+a2+…+an-1+an,

Sn=an+an-1+…+a2+a1,

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1),

因為a1+an=a2+an-1=…=an+a1,

所以 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),

①

②

追問《九章算術》“盈不足”章的第19問記述了下面的問題:

今有良馬與駑馬發長安至齊.齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增十三里.駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復還迎駑馬.問:幾何日相逢及各行幾何?

師生活動教師引導學生觀察良馬每天所行里數可看成193與相對于第一天所增加里數的和,可以得到下面的式子:

193+(193+13)+(193+13×2)+(193+13×3)+…++(193+13×14)

=193×15+(1+2+3+…+14)×13

學生仿照上面的方法,從另一個角度得到公式②:

Sn=a1+a2+a3+…+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]

=na1+[d+2d+…+(n-1)d]

=na1+[1+2+…+(n-1)]d

設計意圖借助劉徽對《九章算術》的注文,由實際問題出發,引導學生從不同角度推導等差數列的前n項和公式,既讓學生經歷“觀察—歸納—猜想”的過程,獲得發現公式的體驗,又讓學生用“倒序相加法”推導公式,體會數學方法的美妙.

2.3 公式應用

例1南北朝數學家張邱建所著的《張邱建算經》中記述了一個問題:現在有一位女子不擅長織布,織布的尺數逐天減少.該女子第一天織5尺布,最后一天織1尺布,一共織了30天,該女子織了多少尺布?

例2已知數列{an}是等差數列.

例3已知一個等差數列{an}前10項的和是310,前20項的和是1220,由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎?

設計意圖公式的學習需要在練習中進行鞏固.第一個例題選自《張邱建算經》,是等差數列中利用公式①的求和問題,體現我國古代數學家很早就對等差數列有深入研究,進一步加深學生對傳統文化的喜愛,有利于提高學生的數學文化,增強文化自信力.

3 教學反思

3.1 充分融合中外優秀傳統數學文化,相輔相成服務教學

在教學過程中,我們不可過分強調某某研究成果比國外發現早多少多少年,需要引導學生辯證看待中國傳統數學的歷史地位和現代價值[2],選取適當的材料進入課堂.本案例選取《續古摘奇算法卷上》中從1加到10這個問題,該問題是學生尚未學習等差數列求和公式就能輕易解決的,進而引出高斯求1加到100和的這個故事,兩個材料結合在一起既符合學生認知事物的一般過程,也可以反映出我國古代數學家從簡單問題出發推廣研究一般性問題的研究思路.

3.2 有機融合中華優秀傳統文化,促進知識生成

數學課堂上的教學最重要的是“教數學”,即老師需要在課堂上展現理性思維、科學精神和嚴謹求實,把數學學科核心素養滲透給學生,所以將中華優秀傳統文化融入數學教學是“為教育而文化”,需要老師整合歷史材料有機融合在教學的各個環節.本案例中在用另一種方法推導公式②時,可以借助《九章算術》“盈不足”章的第19問作為一個“臺階”,從具體的問題出發,啟發學生思考一般性問題的證明,由淺入深,恰到好處.有意識地選用中華傳統數學中的問題解決作為思維起點,不僅達到了“教數學”的目的,也在教學中潛移默化滲透了中華優秀傳統文化.

3.3 積極發掘中華優秀傳統文化,重構促進教學

中華優秀傳統文化融入數學教學要堅持精挑細選和創新發展的原則.中華優秀傳統文化浩如煙海,不僅僅包括經典著作,還包含人文典故、科技成就、藝術和其他文化遺產,適合教學情景的史料如沙灘上光華內斂的璞玉,需要我們用一雙慧眼才能發現,更需要我們精心雕琢,最終才能在課堂教學中綻放光彩.