教材“教學化”的邊界:“鏈+”恰當 整合有度
——以人教版“14.1.1同底數冪的乘法”為例

江蘇省如皋市教師發展中心 印冬建 (郵編:226500)

教材“教學化”是在充分解讀教材后,將其由“學術形態”轉向“教育形態”的根本路徑[1]．由于教材與學情的差異,在“教學化”過程中,會根據教學的需要,盡可能形成與學情、學科發展匹配的教學方案.然而,在實際教學中,不少教師對教材的過度加工,極易讓教學走偏,形成既不尊重學生現狀,又不符合教學實際的課堂,耗時多,成效差,為了避免這一現象的出現,筆者提出了“鏈+”[2]數學的教學主張,旨在通過對教材內容的學情化補充,從學生視角增加少量教學素材(情境、內容、過程、方法等)并與原教材巧妙鏈接,助力學生數學核心素養發展．本文擬結合人教版“14.1.1同底數冪的乘法”談談對教材“教學化”的思考,供大家參考．

1 教材分析

教學環節課本素材意圖分析引入新課問題1 一種電子計算機每秒可進行1千萬億(1015)次運算,它工作103s可進行多少次運算?貼士:在2010年全球超級計算機排行榜中,中國首臺千萬億次超級計算機系統“天河一號”雄居第一,其實測運算速度可以達到每秒2570萬億次.以“小貼士”的形式介紹我國“天河一號”超級計算機系統,激發學生學習熱情.沿用“數與代數”領域從實際生活中的問題引入,以問題1引導學生體會本節課的新知探索是由于生活的需要而進行的.通過1015×103的過程分析和結果得出,為新課探索夯實基礎,利用式子算理分析,回顧乘方的意義.探索規律探究:根據乘方的意義填空,觀察計算結果,你能發現什么規律?(1)25×22=2( );(2)a3·a2=a( ); (3)5m×5n=5( )(m,n是正整數).引導學生通過從特殊到一般的三個式子的結果分析,發現同底數冪運算及其運算的規律,嘗試用一般式子來歸納這一規律,為下一步進行推導提供素材.推證結論一般地,對于任意底數a與任意正整數m,nam×an=(a·a……a)·(a·a……a)=a·a……a=am+n .因此,我們有am·an=am+n(m,n都是正整數).即同底數冪相乘,底數不變,指數相加.引導學生回到定義去,利用乘方的意義推證 am×an=am+n,教材給出了詳細的推證過程,進一步形成了文字結論,為學生理解和運用性質提供了充分的路徑.鞏固新知例1 計算(1)x2·x5 ;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)xm·x3m+1.(解題過程略)給定4道不同類型的同底數冪的運算,引導學生通過計算與過程分享,交流同底數冪的乘法的運算性質及運用策略.練習:計算(1)b5·b;(2)(-12)×(-12)2×(-12)3;(3)a2·a5;(4)y2n·yn+1.教材例題配套的4道練習,供學生鞏固全課所學使用.

2 課堂再現及對比分析

2.1 教學過程再現

問題1我們學過了整式的哪些運算了?猜一猜,接下來會學習什么運算?

問題2am表示什么?(-2)2表示什么?(-2)3呢?(-2)m呢?(-a)m呢?

問題3教材問題1

活動二 規律探究

教材探究歸納出一般規律,并用式子表示為am·an=am+n(m,n都是正整數)．

活動三 推證結論

立項與可行性研究報告的申報及批復是項目實施的前提，如果沒有上級主管的批復，意味著項目沒有“正名”，接下來的資金、政策、人力等支持都是不可能的，也是“不合規不合法的”。因此，在農業基建項目管理中，甲方單位必須特別重視前期立項及可行性研究報告編制，確保報告文本的科學性、項目實施的可行性、立項的成功率。一旦立項及可行性研究報告得到上級部門批復，項目就可以依此獲得相應的資金支持。同時，甲方還可以此批復去與地方行業管理部門溝通，取得項目實施所必須的合法證件，而這在農業基礎項目建設中是必不可少的環節。

引導學生從乘方的定義出發證明am·an=am+n(m,n都是正整數),并歸納出文字結論．

活動四 鞏固新知

例1計算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)xm·x3m+1;(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b)．

例2計算:(1)-a3·(-a)2·(-a)3;(2)(n-m)5·(m-n)2;(3)b2·b3+b5．

例3今年上半年,某新開樓盤銷售商品房8.2×103m2,該樓盤商品房平均售價為1.7×104元/m2,該樓盤上半年商品房銷售總額是多少元?

活動五 課堂小結

請學生回顧全課收獲,教師釋疑解惑．

活動六 反饋訓練

題1計算:(1)3×32×35;(2)x3·xn+1;(3)-b3·b2;(4)(s-t)m·(s-t)m+1．

題2已知am=2,an=2,求am+n的值．

2.2 對比分析

(1)教學環節

這節課,比教材多出了兩個環節,即“活動五課堂小結”和“活動六反饋訓練”．

(2)教學內容

拋開活動五、六,活動一、四出現明顯增加的教學內容,活動一中,增加了對已學整式運算的回顧和即將開展運算的猜想,并通過對am,(-2)2,…,(-a)m等式子含義及運算方法的追問,回顧冪的各部分名稱、含義及乘方運算的意義.活動四中,例1的計算將(2)a·a6換成(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b),把底數從單項式擴展到了多項式,例1之后的配套鞏固練習,新增了(5)(x-y)5·(x-y)2,這是對教材“教學化”后例1(4)的回應.

例2,例3均為新增內容．例2的3道小題中(1)(2)難度大,學生在運算結果符號的確定耗費了大量的教學時間,但效果依然不佳．例3的計算同樣如此,學生看似列出了(8.2×103)×(1.7×104)的算式,但究竟如何得出運算結果,眾說紛紜,效果遠未達到．

(3)教學方法

與教材編排基本相同,對同底數冪乘法性質的探索都是沿著從特殊到一般展開的．學生幾乎都經歷了觀察、計算、猜想、推理、驗證的進程,而對運算基本性質的應用,學生又經歷了從一般到特殊的過程,把學到的性質回到一般的運算之中,要特別說明的是,教師對性質探索反復強調了要“回到定義去”,這是教材始終如一堅持的方法,在很多新知的學習與應用中都有體現．要說學習方法上,這節課與教材的差別,主要體現在活動一與活動六上,活動一增加了對整式已學運算的回顧,這是本節課認知基礎的喚醒,是教師引導學生從舊經驗出發開展新學習的提醒,而隨之對am,(-2)2,…,(-a)m等式子的意義的追問,則從課時學習所需的角度,充分回顧了冪、指數、底數的意義及乘方的意義和求值方法,真正為課時學習奠定堅實的基礎．活動六是教師基于課標對“教—學—評”一體化課堂教學評價現狀的一種轉變回應,以“反饋訓練”的較高匹配度檢驗學生學業的效度,達成評價反推教學變革、影響推動學生發展的美好局面．

2.3 優化建議

(1)從教學匹配角度優化復習內容．

復習內容或者說引入環節,從原來的一個問題增加到3個問題組,實際上是8個問題,顯然,這樣的復習提問是多了,而且關于(-a)m的復習對本節課的學習是有明顯干擾的．對(-a)m結果的討論,本身就有很多的情況,要分別對a的正負性,m的奇偶性展開配對討論,情況之多,耗時之長,效果之差,與課時教學顯然是不適宜的．何況,從教師為研究例題“計算-a3·(-a)2·(-a)3”,而復習(-a)m這一角度出發,這樣的設計是十分不妥的．對(-a)2,(-a)3甚至(-a)m的結果符號的探討可能學習積的乘方的性質“(ab)m=ambm(m是正整數)”之后,把(-a)m轉化[(-1)·a]m來交流或許更為簡便容易些,何必在此耗費時間和精力呢?因此,筆者建議可把(-a)m意義及運算方法結果的探討從活動一中刪去．

(2)從學科發展角度刪去部分例題

本節隨堂課中,新增了活動四中的例題和鞏固練習,活動六的反饋練習,而這種新增很大程度上是教師為了把底數由數字拓展到單項后進一步拓展到多項式,這種拓展如果不涉及到符號的變化,筆者以為是適宜,但如果涉及到的結果中符號的討論,那就不太妥當了．因為,這會嚴重影響學生對本課時知識的認知．把學生探索的視線轉移到下一節課的學習內容．如,(n-m)5·(m-n)2可以等于(n-m)7,也可以等于-(m-n)7,至于為什么這兩個結果都可以,抑或是這兩個結果為什么相等,教師可以以“(m-n)2=(n-m)2”一句話含糊地帶過去,但事實上,沒有“(ab)m=ambm(m是正整數)”或者是“(m-n)2=m2-2mn+n2=(n-m)2”(下稱式①)的支撐,這樣的含糊是過不去的．所以,筆者以為此時與其講得不清不楚,不如等乘方學完后,給出“(m-n)2=[(-1)·(n-m)]2=(-1)2·(n-m)2=(n-m)2”或是學完完全平方公式后來交流式①,對“(m-n)2=(n-m)2”的理解更為深刻．再來說說例3,先看例3所列算式“(8.2×103)×(1.7×104)”,是不是很象接下去“14.1.4整式乘法”(第1課時)問題所列的式子“(3×105)×(5×102)”,很明顯,教師對問題1的回應用到了3節課之后所學的內容,或許刪去更好.

(3)從教材吻合角度調整部分反饋練習

對于同底數冪的相關乘法運算,人教版初中數學教材一般都會給出,其指數為正整數的限制,如am·an=am+n(m,n為正整數)．這里對指數所提要求應為本學段整式乘法的性質應用的前提,作為對教材的回應,我們設計的練習自然應與之匹配,然而,在筆者觀摩的這節隨堂課上,教師給出的反饋練習題2中,“am=2,an=2”是無法同時保證“m,n均為正整數”的．這樣的設計顯然是不利于學生真正理解和應用同底數冪乘法的運算性質的,所以,筆者建議把這道題改為“如果2m=4,2n=16,則2m+n=______”或許更為妥當些．

3 幾點思考

3.1 理解教材,形成“鏈+”源頭

教材是最重要的教學工具．我們應充分認識教材的重要性,對教材進行全面深入的解讀,形成課時教學“鏈+”的源頭．理解教材,不只是讀懂課時教學內容,教學流程,還應努力厘清課時內容在學段乃至數學學習中所處的地位和作用,要能清晰知曉所學內容的認知基礎和發展方向,進而給教學以準確的定位,形成教材優化整合的邊界,避免如本課中出現(n-m)5·(m-n)2之類的例題及配套練習情形的出現．理解教材,要重視對課堂教學基礎的分析,要適當補充教材欠缺,避免沖淡課堂主題而弱化表述的復習環節的教學內容,讓學生能形成課時“鏈+”探究的源頭,明明白白地開展探究．比如本節課對am,(-2)2,…,(-a)m等式子的含義及運算方法的回顧就是一種有效的內容增加,是教師基于對教材深度理解之上的一次有效“補缺”,為課堂教學的有效開展真正奠基．

3.2 變式拓展,守住認知邊界

基于學情發展需求,對于教材給的內容缺少的課時,常會增加一些教學內容,尤其是一些相關的例題式練習,這在本節課十分明顯,但由于教師對學生認知邊界的界定不清,例題或練習的添加常會越過邊界,使新增的內容成為學生課時學習的羈絆,嚴重影響教學進程的推進,文中對(m-n)2,(n-m)2,-a3,(-a)2,(-a)3等式子的探索就是此情形.筆者以為,在對教學內容進行添加前,教師應去厘清學生認知的邊界在哪里．邊界的確定可以從學情發展的速度上來考量,即學生能不能學得了,還要從教學內容的目標是否合規上來判斷.有時,課標給定的目標并非教學中的課時目標,想要學生在一節課實現目標幾乎沒有可能,我們就不能盲目地直接增加課標目標指向的例題或練習.而有時,一些例題或練習的解答,借用后面的所學能更為便捷講清說明,教師完全可以尊重數學知識發展的規律,順其自然,等到易于探究且便于解釋時再來剖析,這樣的教學尊重了教材、學情,守住了學生認知的邊界,效果自然會很好．

3.3 過程“鏈+”,注重本質研究

研究數學知識,要重視“引導學生經歷觀察實驗、猜想計算、推理驗證、數據分析等完整過程”,只有在此過程中學生才能真正理解數學,才能在后續學習中用好所學解決新的問題．而事實上,在很多教材給定內容少、流程清晰的數學課上教師把過程“鏈+”的重心放到了知識的應用上去了,因為內容少,所以用例題或練習來補充,以期用大量重復訓練來提升學習的成效,這顯然與“習題的設計要關注數學的本質,關注通性通法”[3]的課標新要求是背離的.以本節課為例,并不是說學生得到了“am·an=am+n(m,n為正整數)”的式子并能解答好幾道例題、練習,學生就理解了同底數冪的運算的性質．教師如果忽略了對等式含義的剖析,并引導學生有“回到定義去”的意識,他們是很難得出推理的過程,而事實上如果缺少了對am的意義的回顧與分析,或許學生對活動二中這個式子的特征的歸納,甚至連同底數冪為何物都未必能理清道明,哪來的后續的探索與應用呢?因而,對此類涉及到知識本質的理解的探究,我們完全可以通過拉長學程,回歸本質的反復交流,來實現對數學知識的深刻理解,以達成提質增效的目的,為在課內策應“雙減”落地助力．

教材“教學化”,是對教材給定教學內容、流程的優化與完善,必要的補充與調整是難免的．但這種調整一定要適可而止,要充分考慮教材編排的邏輯體系和學生發展的許可范圍,在教材的充分應用和學生的充分發展間找到平衡點．