秉通法 悟通性 提升學科素養
——以異構法在高考導數壓軸題中的應用為例

陜西省榆林市吳堡中學 郭 蒙 (郵編:718200)

陜西省榆林市吳堡縣教研室 薛小強 (郵編:718200)

《普通高中數學課程標準》(2017年版2020年修訂)第88頁在考試命題原則中強調:考查內容應圍繞數學內容為主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧.把握數學核心概念的本質,明晰什么是數學的通性通法[1].在文獻[2]中,給出了一道導數壓軸題的“異構”解法,知網中只有這一篇關于異構法的論文,篇幅只有一頁半,老師們在這方面研究很少.異構法在處理導數壓軸題時,是一把利器,很有必要研究,其應用非常廣泛,將原復雜函數通過恒等變形轉化為多個不同的簡單函數的構造就是異構,主要用于不等式證明、不等式恒成立求參數的范圍、零點等問題,本文主要研究其在高考導數壓軸題中的應用.

1 兩個切線不等式[1]

命題1ex-x-1≥0,(當且僅當x=0時取等號).

命題2x-lnx-1≥0,(當且僅當x=1時取等號).

評注這兩個切線不等式在考試中應用時,需要證明,切線不等式在處理導數有關的壓軸題時可起到化繁為簡之效.

2 異構法在導數中的應用

2.1 證明不等式

1.指對異構

(2)指對+三角異構

例3證明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

證明由題意知x>0,令g(x)=x2ex-(x+2)lnx-2sinx,則g(x)=x(ex+lnx-x-lnx-1)+(x2-lnx2-1)+(x-sinx)+1-sinx,由命題1、2,知ex+lnx-x-lnx-1≥0,當且僅當x+lnx=0時取等號,x2-lnx2-1≥0,當且僅當x=1時取等號.由x>0,知x-sinx>0,由于1-sinx≥0,因此g(x)>0恒成立,故原不等式成立.

評注當xmex與lnx再加上sinx時,利用對數恒等式、g(x)=x-sinx和命題1、2一起進行異構,由于取等條件不一致,故一定恒大于0.

2.2 不等式求參

(1)指對求參

例4(2020年新高考1卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

評注此題用到了對數恒等式b=elnb及切線不等式,此切線不等式在考試中經常用到.

評注異構解法非常精彩,借助命題1、2將復雜函數轉化為幾個常見函數,大大簡化了解題過程.

圖1

圖2

從以上解題過程得到以下結論:

推論1已知h(p(x))+h(q(x))+g(x)≥0恒成立,且取等均在x=x0處,若h(p(x))+h(q(x))+g(x)+mφ(x)≥0,當φ(x)在定義域內恒正,可以利用x=x0,證明m<0矛盾.

圖3

評注本題用到了常用的方法對數單身狗以及飄帶不等式,將函數轉化為多個非負函數的和的形式,利用原函數的非負性,求出參數的范圍,矛盾點(矛盾區間)的取法除了對原函數進行放縮,還可以利用導函數或者隱零點放縮法來取矛盾點(矛盾區間).

(2)三角求參

所以當a≤3時,m(x)>0顯然成立.

推論2若h(p(x))+h(q(x))+g(x)≥0恒成立,且取等均在x=x0處,若h(p(x))+h(q(x))+g(x)+mφ(x)≥0,當x0在定義域內為0且,φ(x0)=0,則求導,利用導函數在x=x0處小于0,找到矛盾區間,證明m<0矛盾,也可以將原函數直接放縮,找到矛盾點,證明m<0矛盾.

2.3 零點問題

例9已知函數f(x)=ex-1,g(x)=asinx,a∈R.試討論f(x)-g(x)在x∈[0,π]上的零點個數.

解析令h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-asinx=ex-x-1+a(x-sinx)+(1-a)x.h′(x)=ex-acosx,h″(x)=ex+asinx.

(1)當a≤0時,ex-1≥0,-asinx≥0,因此h(x)≥0,當且僅當x=0時取等號,故h(x)僅有一個零點.

(2)當0

(3)當a>1時,h″(x)>0,h′(x)在x∈[0,π]上單調遞增,h′(0)=1-a<0,h′(π)=eπ+a>0,因此存在唯一x0∈(0,π),使得h′(x0)=0,當x∈(0,x0),h′(x)<0,h(x)單調遞減,h(0)=0,h(x0)0,h(x)單調遞增,h(π)=eπ-1>0,因此存在唯一x1∈(x0,π),使得h(x1)=0,故h(x)在[0,π]上存在0,x12個零點.

綜上,a≤1時,有1個零點,a>1有2個零點.

評注利用異構法可以處理零點問題,當0

異構是相對于同構[3]而言,同構法可以利用函數的單調性和最值,但異構必需建立在保值性的基礎上,異構法難于構造,要求讀者十分熟悉常見不等式,需要多加練習,同構與異構的本質其實就是分類討論的思想,異構第一步在于恒等變形,第二步保值證明,對于求參數問題,還要找矛盾點(矛盾區間),異構法是解決導數壓軸題的一把利器,是一種通法,異構法在極值點偏移問題方面應用也很廣泛,師生應重視通性通法,重視知識的形成過程,多反思,體會出題人的意圖,明確考查的知識與能力,歸納試題反映的通性規律,落實數學學科核心素養,希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用.