利用伸縮變換解決一類面積問題

浙江大學附屬中學丁蘭校區 俞忠有 施剛良 (郵編:310021)

圓錐曲線在高中數學中是一類非常重要的曲線,每年的數學高考中都是重點考查的,很多一線數學老師也都喜歡對它們作一些研究,得到一些非常優美的結果.數學大師丘成桐先生在成功證明卡拉比猜想后,接受采訪時談過自己的感受:落花人獨立,微雨燕雙飛.老師們得到的優美結論有些可能是再發現,并不一定是原創的.盡管得到結論的境界沒丘先生這么高,但彼此的心情和感受是相通的.

最近,仔細研究了文[1]、[2]、[3]、[4],站在“巨人”的肩膀上,感覺應該可以做一些工作.受文[4]的啟發,得到了與文[4]類似的面積關系.下面先給出探究結果:

圖1

注(1)上述命題中,將橢圓換成雙曲線結論仍舊成立.

(2)在文[5]中,還有關于面積的兩個結論:

在給出命題的證明之前,先給出下列引理[5]:

注上述引理中,將橢圓換成雙曲線結論仍舊成立.

圖2

下面給出命題1的兩種證明:

因此,4S△ADP·S△BCP=(S△ABP)2.

因此,4S△ADP·S△BCP=(S△ABP)2.

評注命題1給出兩種證明方法,證法一稍顯麻煩,用到很多參考文獻中的結論;證法二相對簡潔一點(但也用到了引理),主要還是與后面的證明作對比.如果將命題1的結論推廣,上面的兩種證法就不具有一般性,這也凸顯伸縮變換的威力所在.

著名數學家波利亞曾經說過:當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現后,再四處看看,它們總是成群生長的.探究到這里還是感到意猶未盡,圓錐曲線的中很多結論都可以進一步推廣,有些結論還具有深刻的射影幾何背景.上面命題1的結論還是太特殊,于是想對命題再深挖一下,進一步推廣.考慮到過中心的弦在有心圓錐曲線里叫做直徑,于是就猜想下列結論是否也成立?通過幾何畫板測試面積關系,發現結論是正確的.

圖3

(1)4S△ADP·

S△BCP=(S△ABP)2;

評注命題2可以通過將幾何問題代數化加以解決,但是計算過程相對繁瑣,可能還不一定能算出來,吃力不討好!受文[6]、[8]的啟發,如果采用高觀點的思想,橢圓可以通過圓“壓縮”而得到,反之也成立.而且通過這樣的變換,面積保持線性比例關系:ST1=abST2(其中橢圓中圖形T1是通過圓中的圖形T2變換得到的).于是,可以通過考慮圓中的面積關系,來得到橢圓中的面積關系.因為圓中的面積關系計算相對容易,這樣就可以達到以簡馭繁.

通過上面的思考,將橢圓變換為圓,要證命題2,我們只要證明命題3即可.下面敘述圓中的命題:

圖4

命題3已知圓x2+y2=1,AB是圓的直徑,P是圓上的任意一點,過P作圓的切線l,過點A,B分別作圓的切線交l于D,C,過P作AD的平行線交AB于H,則

(1)4S△ADP·S△BCP=(S△ABP)2;

(1)的證明設∠DCB=θ,AD=DP=m,CB=CP=n,則

所以4S△ADP·S△BCP=(S△ABP)2.

(2)的證明AP2=2m2+2m2cosθ,BP2=2n2-2n2cosθ,AB2=AP2+BP2=2m2+2m2cosθ+2n2-2n2cosθ.

(3)的證明因S△DAB=S△ADC,S△CAB=S△BDC,S△PAB=S△HDC,故由(2)得(3)成立.

評注證完(2)(3)后,出于美學考慮,筆者就想S△ADP,S△BCP,S△ABP是否有像(2)(3)的形式?于是,通過計算發現:

盡管沒有達到成功(得到整齊劃一的結論),但這個不等式也算是對上述結論的一種補充!

上面的探究基本告一段落,伸縮變換在解決面積問題方面的優勢可見一斑.筆者在翻看文[7]時,發現其證明過程略顯繁瑣,于是就想能否利用伸縮變換簡化證明過程?通過探究發現,利用伸縮變換證明過程確實變得很簡潔,足見思考問題觀點的改變,可以促進問題更好地解決.

先呈現文[7]的兩個結論:

通過伸縮變換,將上述性質1、2分別變為性質3、4:

性質3如圖5,在直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=1的一對相互垂直的直徑為AC,BD,P是圓上與B,C不重合的一動點,直線PB與直線AC交于點M,直線PC與直線BD交于點N,則S△ABM=S△CNM.

圖5

所以S△CNM=S△ABM

?(1-n)(1+n-m)=-m(1-m-n)

?m2-m+mn=m2-m+mn(顯然成立).

性質4如圖6,在直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=1的一對相互垂直的直徑為AC,BD,P是圓上與A,C不重合的一動點,過點B且與AC平行的直線記l,過點A且與BD平行的直線與直線l交于點Q,直線PA與直線l交于點M,直線PC與直線BD交于點N,則S△AMQ=S△OCN.

圖6

證明由題意,易證:△AMQ與△OCN全等,故S△AMQ=S△OCN.

評注通過伸縮變換,將橢圓中的兩條共軛直徑變換為圓中互相垂直的兩條直徑,發現證明的過程大大簡化,特別是性質4證明達到顯然的程度!

當下,在數學課堂教學、教師培訓等活動中,比較流行用高觀點的數學思想方法解初等數學的問題,這是一件很有創意的工作.高觀點(此文指伸縮變換)的核心是站得高、看得遠,數學核心素養本質上就是一種高觀點,所以采用高觀點解決問題能有效提升學生的數學核心素養.

在研究橢圓問題時,有時問題會變得非常復雜(主要是運算問題),位置關系或面積關系用代數方程刻畫也將變得異常困難.本文得到的命題若直接計算,計算量非常大,而且還不一定能算出來.通過伸縮變換,將橢圓問題轉化為圓的問題,使得問題的解決變得相對容易,讓人感覺數學的簡潔美.在具體的教學實踐中,可以給學有余力的學生介紹伸縮變換,應該也不難掌握,這樣他們又多了一種“武器”,碰到類似問題解決起來就會變得游刃有余.

數學不僅僅是一種重要工具,更是一種思維方式、一種思想,能用高觀點解決的數學問題在本質上考查的是數學思想方法,而且其本質都顯得很簡單[9].在具體的教學實踐中,應該向學生介紹這些思想在求解具體問題中的應用,就能直奔問題的本質,問題的解決也將變得非常容易.讓學生體會解題過程中所采用“觀點”的高度,但又不是可望而不可及的,讓他們有所“感悟和感嘆”,使得他們產生“躍躍欲試”的感覺.