結構-形狀記憶合金慣容器協同系統的控制性能

孫曉東，曹黎媛，李春祥，馬汝為

（上海大學力學與工程科學學院土木工程系，上海 200444）

引言

在地震、極端風等激勵作用下，結構會產生過大的振動響應。為有效降低結構的振動響應，對結構振動控制的研究必不可少［1-2］。近年來，由于形狀記憶合金（SMA）具有優越的超彈性特性和形狀記憶效應，在土木工程領域得到了廣泛的研究及應用［3］。SMA 能控制由地震或風引起的結構振動，并能夠降低結構的殘余變形，被認為是控制結構振動的理想材料［4］。許多學者對SMA 阻尼器及其減振性能開展了系統性研究。Shi 等［5］提出了一種自定心防屈曲支撐（Self-Centering Buckling-Restrained Brace，SC-BRB），它由基于SMA 拉索的自定心系統和全鋼BRB 組成；研究給出了SC-BRB 中SMA 拉索的理想退火方案和訓練程序，并對SC-BRB 的力學性能進行了數值模擬和參數研究。譚平等［6］提出了基于SMA-壓電阻尼器的巨-子結構智能控制體系，研究表明這種智能體系可有效提高巨-子結構的抗震安全性。李祥秀等［7］提出了在巨-子結構隔震層處或子結構頂部與主結構連接處施加SMA-壓電智能復合阻尼器，形成一種巨-子結構智能隔震體系，并對該體系的抗震性能進行了研究。展猛等［8］研發了一種SMA 壓電混合減震裝置，并對其進行了減震控制試驗及數值分析研究。錢輝等［9］研制開發了一種自復位形狀記憶合金復合摩擦阻尼器，將其應用于偏心結構并進行了振動臺試驗研究。在Smith［10］提出慣容器（Inerter）概念之后，學者們開展了各種帶有慣容器的耗能減振裝置研究，例如調諧黏滯質量阻尼器（Tuned Viscous Mass Damper，TVMD）［11］、調諧慣 容器阻尼器（Tuned Inerter Damper，TID）［12］、調諧質 量阻尼 器慣容器（Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）［13］，串并聯調諧質量阻尼器慣容器（Tuned Tandem Mass Dampers-Inerters，TTMDI）［14］。為充分 挖掘SMA 的優 勢，Zhang 等［15］提出了一種慣容增強自定心阻尼系統（Inerter-enhanced Self-Centering Damping System，ISCDS），該系統在基于SMA 的自定心阻尼器基礎上并聯添加一個杠桿式慣容器（Lever-Based Inerter，LBI），研究結果表明，與SCDS 相比，ISCDS 加固的橋梁排架在減少自定心材料的使用、降低最大加速度和降低最大基底剪力方面具有明顯的優勢。Tiwari 等［16］提出了SMA-TMDI，并將其用于控制連體單自由度結構的地震響應。Zhang 等［17］提出了一種SMA阻尼慣容器（Shape Memory Alloys Damper Inerter，SDI），并將其用于單自由度結構的減震控制。為發揮傳統形狀記憶合金阻尼器和慣容器的協同作用，進一步提高其有效性和魯棒性，使其能夠廣泛地應用于實際工程中，在上述研究的基礎上提出了一種形狀記憶合金慣容器（Shape Memory Alloy Inerter，SMAI）系統。運用隨機等效線性化方法以及定義的結構-SMAI 系統均方位移目標函數，在頻域內對SMAI 系統進行了迭代優化分析，進一步在時域內驗證了其控制性能。

1 結構-SMAI 系統

1.1 形狀記憶合金

超彈性SMA 是SMAI 系統的重要組成部分，先討論其力-變形關 系。Yan 等［18］提出的改進SMA本構關系，已經在一些研究中［14］得到廣泛應用。

超彈性SMA 的具體力-變形關系如圖1 所示。

圖1 超彈性SMA 的力-變形關系Fig.1 Force-deformation relationship of the super-elastic SMA

在該本構關系中，SMA 元件的非線性恢復力表示為：

式中φ為SMA 屈服后與屈服前的剛度比（即SMA 在馬氏體中的剛度與奧氏體中的剛度之比）；kSMA為SMA 在奧氏 體中的 初始剛 度；xt為SMA 的位移；zs為遲滯位移，由下式給出：

式中a和b分別為奧氏體相變的彈性極限和觸發馬氏體相變的位移極限；sign（x）表示符號函數，由如下公式確定：

采用隨機等效線性化方法，將式（2）中的非線性項zs替換為等效線性化形式zeq，則Yan 等［18］本構關系的隨機線性化形式為：

式中keq和ceq為等效線性系數。

使實際非線性zs與等效線性化zeq之間的均方誤差最小化：

式中 E 表示期望算子。

求解式（5）和（6），keq和ceq可以分別表示為：

將式（2）分別代入式（7）和（8）可得：

式中和分別為xt和的均方根值；er（fx）為誤差函數。

將式（4）代入式（1），SMA 恢復力的等效形式為：

SMA 的隨機等效阻尼、剛度和恢復力可分別表示為：

1.2 慣容器

慣容器是SMAI 系統的重要組成部分，是一種兩端點元件，其輸出力與兩端的相對加速度成正比。慣容元件的兩個端點的相對加速度可以通過改變內部組件的運動形式來實現，如平動-轉動轉換［11］的改變等方式。其物理實現形式以平動-轉動轉換裝置最為多見，此類慣容又稱機械式慣容。機械式慣容的慣容系數本質上是轉動慣量進行等效平動化的宏觀參數。目前常見的機械式慣容器類型是齒條齒輪機構。圖2 所示為齒條齒輪飛輪裝置，該系統由兩個半徑為Ri和質量為mi（i=1，2）的飛輪組成，可自由旋轉，通過小齒輪機構連接到直線齒條。

圖2 慣容器物理實現模型Fig.2 Physical implementation model of inerter

圖3 慣容器力學模型Fig.3 Mechanical model of inerter

式中min為慣容器的表觀質量（或稱為慣性系數）。

1.3 SMAI 系統

目前形狀記憶合金阻尼器存在SMA 變形量小或 SMA 利用率低的缺點，并不能充分發揮SMA 的潛在性能，所以考慮將SMA 與慣容器相結合，利用慣容器的負剛度效應實現SMA 有效變形的放大，起到耗能增效的作用，以進一步抑制結構響應。為更好地利用慣容器實現結構減振的目的，通常慣容器需要有耗能元件的配合。SMA 擁有超彈性特性和高阻尼特性，是理想的耗能元件，所以考慮將SMA 與慣容器協同工作組成SMAI 系統，該系統是有效可行的耗能減振裝置。SMAI 系統的力學模型如圖4（b）中紅色虛線框所示。

圖4 外激勵作用下無控單自由度結構的力學模型及外激勵作用下單自由度結構-SMAI 系統的力學模型Fig.4 Mechanical model of uncontrolled SDOF structure under external excitation and mechanical model of SDOF structure-SMAI system under external excitation

黏滯阻尼器是目前工程中常用的耗能減振裝置，但是存在價格偏高、密封性不佳及耐久性差等問題，特別是內部材料處于壓縮狀態時會產生動態剛度而影響其性能，并且在工程應用中也常常面臨著諸如老化、可靠性差、維護成本高等問題，這些都會影響其減振性能并增加后期維護成本［19-21］。而SMAI 系統中慣容的耗能增效特性會提高其耗能效率，并且SMA 具有抗疲勞、高耐久性等優點［3-4］。因此在工程抗震、抗風領域中，SMAI 系統相較于黏滯阻尼器將具備更優的減振控制性能和更低的后期維護成本。

1.4 結構-SMAI 系統的動力方程

在外激勵作用下結構-SMAI 系統的力學模型如圖4（b）所示。SMAI 系統由慣容器和SMA 兩部分組成。外激勵作用下結構-SMAI 系統的運動微分方程為：

式中ms，cs和ks分別為結構的質量、阻尼和剛度；xs為結構相對于地面的位移；Fin為慣容器的反力；P（t）為一隨機激勵。

圖5 結構-SMAI 的簡化形式Fig.5 Simplified form of structure-SMAI

在外激勵下結構-SMAI 系統的運動微分方程可重新整理為：

式中ωs為結構固有頻率；ζs為結構阻尼比；β為慣容質量比；ξ(t)為功率譜密度為恒定S0的理想白噪聲；F0為SMA 彈簧的歸一化轉換強度；Fys為轉換強度；uyt為觸發SMA 正向相變的位移。

將上述變量代入式（15）可得：

對結構-SMAI 系統的位移、速度、加速度響應以及外激勵進行拉普拉斯變換：

運用上面的拉普拉斯變換算子對式（17）進行拉普拉斯變換得：

推導出結構-SMAI 系統中結構和慣容器的相對位移傳遞函數分別為：

根據隨機振動理論［17］得到確定性線性系統的輸出功率譜SXp(ω)為：

式中 輸入功率譜為白噪聲譜，即SF(ω)=S0，其中S0為白噪聲功率譜密度。

使用式（20）和（21），結構-SMAI 系統的位移方差可表示為：

結構的響應可表示為：

式（22）可以表示為［16］：

結構-SMAI 系統的頻響函數絕對值平方可以表示為：

比較式（25）與（24），可知m的值為4，式（25）分子和分母中的系數可由下式求解出：引入變量：

在功率譜密度為S0的白噪聲激勵作用下，結構-SMAI 系統的位移方差可表示為［18］：

2 結構-SMAI 系統的參數分析

為了能夠研究SMAI 系統內不同設計參數對其減振控制性能的影響，對結構-SMAI 系統進行相應的參數分析。這里參數分析所用的量化指標γx（s即位移響應減振比）定義為：結構-SMAI 系統與無控結構的均方位移之比。γxs比值越小，代表SMAI 的控制性能越好。

參數分析所考慮的結構參數和相關參數范圍如下：

結構參數：ωs=0.5 Hz，ζs=1%，ms=25000 kg；SMAI 系統的設計參數考慮為［16-17］：φ∈［0.01，0.1］，F0∈［0.1，0.5］，β∈［0.05，0.1，0.2］；SMA 參數：a=0.005 m，b=0.02 m，uyt=0.02 m。

圖6 為白噪聲功率譜密度S0=0.01 m2/s3和不同慣容質量比β下結構-SMAI 系統的γxs等值線圖，其中不同的顏色區域代表不同的位移響應減振比γxs。圖6 中的冷色區（紫色和藍色）代表參數組合為最有利的區域，而暖色區（紅色、黃色和橙色）代表參數組合為最不利的區域。

圖6 S0=0.01 m2/s3和不同β 值下結構-SMAI 系統的γxs等值線圖Fig.6 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.01 m2/s3 and different values of β

圖7 S0=0.03 m2/s3和不同β 值下結構-SMAI 系統的γxs等值線圖Fig.7 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.03 m2/s3 and different values of β

圖8 S0=0.05 m2/s3和不同β 值下結構-SMAI 系統的γxs等值線圖Fig.8 Contour plots of γxs of structure-SMAI system under S0=0.05 m2/s3 and different values of β

對圖6～8 進行綜合分析，可以得出以下結論：

（1）γxs對φ相對不敏感，而對F0較為敏感；

（2）在相同功率譜密度的白噪聲激勵下，隨著β增大，參數組合的有利區域顯著向左移動（即對F0的需求值逐漸降低）；

（3）不同S0條件下的γxs變化趨勢大致相同；

（4）隨著S0增加，在相同β下，參數組合的有利區域呈右移趨勢，即隨著S0增加，對F0值的需求逐漸增加。

3 SMAI 系統的優化

3.1 優化準則

本節研究的重點是通過減小結構位移響應來保護結構的完整性和安全性，因而目標函數定義為：裝配有結構-SMAI 系統的無量綱位移均方差。目標函數可以度量SMAI 系統的控制性能，通過使結構的無量綱位移均方差最小化可以得到SMAI 系統相應的最優參數，所以SMAI 系統的優化準則為［16］：

式中L=［φ，F0］，Llb為參數取值的下界，Lub為參數取值的上界。一般來說，min.Rs值越小，結構位移控制的有效性越高。

3.2 迭代優化流程

表1 不同功率譜密度S0下SMAI 系統的最優設計參數Tab.1 Optimal design parameters of the SMAI system with different values of power spectral density S0

圖9 通過迭代優化計算設置結構-SMAI 系統位移均方差的流程圖Fig.9 Flowchart of the mean square deviation calculation of displacement of the structure with SMAI system through iteration optimization

3.3 結構位移響應控制性能

圖10 為S0=0.05 m2/s3時，設置不同控制系統結構min.Rs隨慣容質量比β的變化趨勢。如圖10 所示，隨著β增大，各結構min.Rs都呈下降趨勢，TID與SMAI 系統的控制有效性接近但都優于傳統的SMA 阻尼器（SMA 參數值與不同β情況下SMAI 系統中的SMA 參數值相同），同時隨著β的增大，SMAI 系統的控制有效性逐漸提高，但其控制有效性的提升效率逐漸降低；當β＞0.4 時，其控制效率的提升并不顯著（即其控制效率的提升將趨于飽和）。

圖10 在S0=0.05 m2/s3時不同控制系統結構min.Rs隨β 的變化趨勢Fig.10 Variation trends of min.Rs of different control systems with β under S0=0.05 m2/s3

圖11 為S0=0.05 m2/s3時，SMAI 和TID 系統的最優阻尼值隨β的變化趨勢。從圖11 中可以看出，隨著β增大，TID 與SMAI 系統的最優阻尼值都呈遞增趨勢，但SMAI 系統最優等效阻尼系數小于TID 系統阻尼系數，且在大β下尤為明顯。對圖10和11 綜合分析可知，隨著β增大，SMAI 系統可以在阻尼值相對較低的情況下取得與TID 系統相近的控制性能。

圖11 在S0=0.05 m2/s3時TID 和SMAI 系統最優阻尼系數隨β 的變化趨勢Fig.11 Variation trends of the optimal damping coefficients of the TID and SMAI systems with β under S0=0.05 m2/s3

3.4 結構頻率響應行為

圖12 為無控和SMA，TMDI，TID 和SMAI 系統控制下結構的位移頻響曲線。如圖12 所示，隨著總慣容質量比增大，不同控制系統下結構的位移頻響曲線峰值都呈下降趨勢，其中設置TMDI，TID 與SMAI 系統結構頻率響應曲線的峰值比較接近，但都小于設置SMA 結構的頻率響應峰值。與TMDI系統相比，TID 和SMAI 系統都無需附加質量塊。

圖12 無控，SMA，TMDI，TID 和SMAI 系統控制下結構位移頻響曲線Fig.12 Displacement frequency response curves of structures without control or under SMA，TMDI，TID and SMAI system control

此外在大慣容質量比β情況下分別設置TID 和SMAI 系統結構的位移頻響曲線的峰值也比較接近，并且他們的頻響曲線峰值都小于設置SMA 結構的位移頻率響應峰值。

4 結構-SMAI 系統的時域分析

4.1 白噪聲模擬時程

為了在時域內驗證SMAI 系統的控制性能，將S0=0.05 m2/s3的白噪聲信號由MATLAB 自編程序隨機生成，將白噪聲信號以激勵力的形式作用于結構-SMAI 系統上。本節結構模型參數和前文中取值一致，并利用在頻域內得到的優化參數進行時域驗證。結構-SMAI 系統動力學方程的矩陣形式為：

式中fSMA表示非線性SMA 的恢復力；P（t）表示激勵力。

將單自由度結構-SMAI 系統的動力方程（33）轉換成狀態空間方程為：

將連續時間狀態空間方程（35）轉換為離散時間狀態空間方程：

式中Ad=eAΔt為4×4 的離散化系統矩陣；上標“Δt”表示時間步長；Bd=A-1(Ad-I)B為4×1 的離散化非線性恢復力向量；Ed=A-1(Ad-I)E為4×1 的離散化荷載向量。

對于非線性SMA 來說，離散化非線性恢復力fSMA[k]定義為：

式中D1=[ 1 -1 0 0 ]為連接SMA 的相對位移輸出向量；G1=[ 0 0 1 -1 ]為連接SMA的相對速度輸出向量。

相較于 慣容質量比β取值為0.4，β取0.5時的SMAI 系統控制有效性的提升效率并不十分顯著，所以綜合考慮控制有效性和阻尼需求，這里β的取值為0.4。圖13 給出了S0=0.05 m2/s3時無控和分別設置SMA，TID，SMAI 系統結構的位移時程曲線。從圖13 中可以看出：在慣容質量比β=0.4 的情況下，SMA，TID 和SMAI 系統都能有效地減小結構位移響應；與SMA 相比，TID 和SMAI 系統的控制效果更佳，不過此時SMAI 系統的等效阻尼系數約為TID 阻尼系數的3/4。

圖13 白噪聲激勵下無控和分別設置SMA，TID，SMAI 系統結構的位移時程曲線Fig.13 Displacement time-history curves of structures without control and respectively with SMA，TID，SMAI systems under white noise excitation

圖14 展示了TID 和SMAI 系統中慣容器的位移時程曲線。由圖14 可以看出，SMAI 系統中慣容器的位移峰值小于TID 系統中慣容器的位移峰值（這時SMAI 系統中慣容器位移峰值為0.604 m 左右，而TID 系統中慣容器位移峰值為0.662 m左右）。

圖14 白噪聲激勵下TID 和SMAI 系統中慣容器的位移時程曲線Fig.14 Displacement time-history curves of inerters of TID and SMAI systems under white noise excitation

圖15 為上述白噪聲激勵下SMA 的力-位移曲線。從圖15 中可以看出，SMAI 系統中SMA 位移明顯大于傳統SMA 的位移（傳統SMA 的最大位移約為0.57 m，而SMAI 系統中SMA 的最大位移約為0.72 m）。在慣容質量比β=0.4 的情況下，SMAI 系統中SMA 滯回位移的最大值與滯回曲線面積都大于傳統SMA 的相應值，且TID 系統中慣容器的最大出力為46 kN 左右，SMAI 系統中慣容器的最大出力為23 kN 左右，意味著SMAI 系統中慣容器對結構的損害更小。

圖15 白噪聲激勵下SMA 的力-位移曲線Fig.15 Force-displacement curves of SMA under white noise excitation

綜上所述，與TID 系統相比，SMAI 系統中SMA 與慣容器協同作用可以有效降低慣容器的位移峰值；SMAI 系統中慣容器的最大出力遠低于TID 系統中慣容器的出力，即SMAI 系統中慣容器對結構的損害更??；此外慣容器可以進一步發揮SMA 的潛力，通過放大SMA 位移提高其能量耗散能力。

4.2 脈動風模擬時程

選擇一單層結構，并根據上述的優化設計方法，給出SMAI 系統的具體設計參數如下：β=0.4，φ=0.001，F0=0.2289。并通過一組模擬的脈動風荷載時程進一步驗證SMAI 系統的控制性能。結構參數為：ωs=0.5 Hz，ζs=1%，ms=250 t，迎風面積為（50×16）m2。

圖16 展示了一組模擬的脈動風荷載時程。圖17 給出了其在脈動風荷載激勵下無控和分別設置SMA，TID，SMAI 系統結構的位移時程曲線。由圖17 可見，SMA，TID 和SMAI 系統都能有效地減小結構位移響應，其中，無控狀態下結構位移峰值為0.695 m 左右，SMA 系統控制下結構位移峰值為0.239 m 左右，TID 系統控制下結構位移峰值為0.171 m 左右，SMAI 系統控制下結構位移峰值為0.159 m 左右。特別值得注意的是，此時SMAI 系統中最優等效阻尼系數僅為TID 系統最優阻尼系數的5/7 左右。

圖16 模擬脈動風荷載時程Fig.16 Time-history of simulated fluctuating wind load

圖17 脈動風荷載激勵下無控和分別設置SMA，TID，SMAI 系統結構的位移時程曲線Fig.17 Displacement time-history curves of structures without control and respectively with SMA，TID，SMAI systems under fluctuating wind load

文章研究的單自由度建筑結構-SMAI 系統，是為將SMAI 裝置應用在多自由度建筑結構中打下理論基礎，在之后的研究中會在多自由度建筑結構中連接SMAI 并添加風譜進行驗證計算。根據實際工程應用，應將SMA 的一端設置在橫向位移最大的樓層，一般是在最頂層與樓板相連，另一端則與慣容器相連。慣容器的另一端可通過設計足夠大的樓板開口連接到建筑結構的下一層或幾層的樓板處（單自由度建筑結構-SMAI 系統中，慣容器一端則直接與地面相連）。形狀記憶合金阻尼器、慣容器在建筑結構中協同工作的示意圖如圖18 所示。

圖18 形狀記憶合金阻尼器、慣容器在多自由度建筑結構中協同工作的示意圖Fig.18 Schematic diagram of cooperative operation of shape memory alloy damper and inerter in multi-degree-offreedom building structure

圖18 中，n為基本建筑結構的自由度；wi（i=1，…，n）表示每一層上的風荷載激勵；xi（i=1，…，n）表示基本建筑結構的第i層相對于地面的位移；mi（i=1，…，n）表示基本建筑結構的第i層的質量；下標“n-L”表示慣容器所連接的樓層。

5 結論

本文提出了一種SMAI 協同系統，首先在頻域內揭示了SMAI 系統的減振行為，然后在時域內進一步驗證了SMAI 系統的控制性能。得出的主要結論如下：

（1）提出了以結構均方位移響應為控制目標的SMAI 系統優化設計方法，并通過算例驗證了優化設計方法的有效性。

（2）與傳統的SMA 阻尼器相比，SMAI 系統中慣容器可以顯著提高SMA 的滯回位移，因而提高了其能量耗散能力。

（3）與TID 系統相比，在總慣容質量比大于0.3時，SMAI 系統的最優等效阻尼系數值明顯低于TID 系統的最優阻尼系數值，并能提供相近的控制有效性；同時，SMAI 系統中的慣容器出力明顯低于TID 系統中的慣容器出力，這意味著SMAI 系統中慣容器對結構損傷更小。這些優勢使得SMAI 系統在實際工程中將具有極佳的應用前景。

本文在頻域和時域內對單自由度結構-SMAI系統的控制性能進行了系統研究。接下來的研究工作將是使用平穩和非平穩脈動風速譜對多自由度結構-SMAI 系統的風致振動控制性能及設計方法進行研究。