初中數學幾何最值問題的解題思路分析

劉桂景

【摘? 要】? 與幾何圖形有關的最值問題，既能考查學生對幾何圖形的掌握情況，也能探查學生的代數運算能力，具有十分重要的意義.求解幾何最值問題主要從幾何定理和代數運算兩個角度切入，不同解題思路具有各自的特點.本文結合具體例題對不同解題思路做出分析，幫助學生多方面思考問題，提升綜合能力.

【關鍵詞】? 初中數學；平面幾何；最值；解題技巧

1? 幾何定理思路

運用幾何定理解答幾何最值問題，具體方法是靈活利用常見幾何性質對幾何圖形中點、線、面進行等價轉化，使最值問題等價轉化為熟悉已知的圖形，進而對問題作出解答.常見的幾何定理或性質有兩點之間線段距離最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等，靈活運用這些幾何定理，能解答大部分幾何最值問題.

例1? 如圖1，直線與軸分別交于點，點在動點右側的軸上，且始終滿足，點在直線上，其橫坐標為，請問：當為何值時，四邊形的周長最??？最小值是多少？

剖析? 四邊形中的邊長是定值，故最小值等價于求線段的最小值，通過構造平行四邊形和對稱點，結合兩點之間線段最短定理，可明確最小值情況對應的圖形，運用勾股定理列式運算，即可求出最小值以及四邊形周長的最小值.

解析? ∵點在直線上，且橫坐標為，

∴點，

，

∵是定值，

∴問題等價于求的最小值，

過點作關于軸的對稱點，連接，如圖6所示，

則是的最小值，

∵，，

∴，

∴四邊形周長的最小值為：.

2? 構造函數思路

構造函數思路是代數方面的解題思路，關鍵在于根據已知條件和關系構建函數解析式，將幾何最值問題轉化為函數求最值問題，進而對問題作出具體解答.常見的函數類型有：一次函數、一元二次函數以及反比例函數，找到幾何問題中的等式關系并構造函數解析式，就能對最值問題作出解答.

例2? 某房地產公司擁有一塊“缺角矩形”荒地，邊長和方向如圖3所示，要在這塊地上建造一座長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求出地基的最大面積（精確到）.

剖析 根據題意構造直角坐標系，在坐標系上將圖形轉變為對應函數，其次符合題意的面積需要分三種不同情況進行討論，根據面積公式列出對應的函數解析式并判斷對應最大值，綜合分析比較即可求出最大面積.

解析? 以分別為軸建立直角坐標系，

為正方向，長度單位為米，如圖4，

可知直線方程為，

假設動點分別在運動，

以點為長方形公寓的其中一點，

①當點在上運動時，

點，

則，

，

當時，，.

②當點在上運動時，矩形在點位置有最大值，

.

③當點在上運動時，矩形在點位置有最大值，

.

綜上，點位于時，公寓有最大面積.

變式? 如圖5，在中，，，點是邊上的動點（不與重合），過點作交于點，作于點，連接，點是上的點，，則的最小值是______.

剖析? 根據已知條件分析可知、都是形狀確定的三角形，線段與的大小有關聯，對線段作出假設后，利用勾股定理找到對應函數關系和具體解析式，即可對問題做出解答.

解析? 設，

則，，

作于點，如圖6，

∵，

∴，

，

在中，

，

∴當時，有最小值，最小值為.

3? 結語

兩種不同思路都能有效解答幾何最值問題，上述例題也著重分析應用不同思路解答問題的具體過程和特點.常見的幾何性質和函數類型，是學生們必須掌握的基礎內容.只有熟悉并靈活運用這些基礎知識，才能更高效地解答幾何最值問題.

參考文獻：

[1]張紅琴.“轉化思想”在初中幾何最值問題中的應用[J].數學之友，2021（04）：90-92.

[2]成政榮.初中幾何最值問題解法探究[J].數學教學通訊，2020（11）：42-43.