雙穩態壓電-電磁復合俘能器非線性動力學分析

梅 杰,倪祥祿,宋 鋼,陳定方,李立杰

(1.武漢理工大學智能制造與控制研究所,湖北 武漢,430063; 2.武漢理工大學交通與物流工程學院,湖北 武漢,430063; 3.英國斯旺西大學工程學院,英國 斯旺西,SA1 8EN)

振動俘能器是將來自環境的振動能量轉換為電能的裝置,根據能量轉換機理的不同,其主要分為四類,即基于壓電效應的壓電式俘能器、基于電磁感應的電磁式俘能器、基于電容原理的靜電式俘能器以及摩擦式俘能器。單一能量轉換方式的效率較低,將兩種或兩種以上的能量轉換方式集中使用則可以提高俘能效果,故復合俘能器已逐步成為微能源研究的主要方向。另外,傳統的線性能量采集器具有較高的諧振頻率,當環境頻率偏離諧振頻率時,系統的發電性能將急劇下降,因此線性能量采集器的環境適應性較差[1]。非線性系統復雜的動力學行為[2-4]為拓寬振動俘能器的工作頻帶、提高俘能效率提供了新思路,越來越多的學者引入具有非線性剛度特征的結構以構成具有非線性單穩態和雙穩態特性的振動俘能器[5-8]。2009年,Challa等[9]首次設計了一種懸臂梁式的壓電-電磁復合振動俘能器,通過實驗測得其總輸出功率為340 μW,該裝置是一種簡單的復合俘能器,為后續研究奠定了基礎。Kim等[10]研發了一種新型的雙穩態復合振動俘能器,該裝置由懸臂梁和一對相互排斥的磁體組成,一個磁體連接在自由端,另一個連接到與懸臂梁軸向對齊的線性彈簧形成彈簧加載的磁體振蕩器。這種結構降低了雙阱勢壘,實現了懸臂梁在低激勵振幅和頻率下的阱間振蕩。Yao等[11]研究了一種新型雙穩態壓電-電磁俘能器的發電和非線性動力學行為,設計了三種不同類型的壓電懸臂梁結構,包括單穩態壓電懸臂梁、雙穩態彈簧-磁體壓電懸臂梁以及雙穩態彈簧-磁體-線圈壓電懸臂梁,并對每種結構的發電效率和動態特性進行了實驗研究,結果表明雙穩態壓電-電磁俘能器具有最佳性能。

本文以能夠承受長期振動疲勞的聚偏氟乙烯(PVDF)為壓電材料,提出一種雙穩態懸臂梁式壓電-電磁復合俘能器結構?？紤]梁的幾何非線性應變,并引入磁力勢能建立復合俘能器模型,繼而研究激勵頻率、磁鐵間距和負載電阻等參數對系統輸出的影響,然后進行俘能器的非線性動力學分析和整流濾波分析。

1 壓電-電磁復合俘能器建模及穩定性分析

1.1 復合俘能器幾何模型

本文研究的壓電-電磁復合俘能器裝置如圖1所示,能量轉換包括壓電部分和電磁部分。懸臂梁由一層鋼基底材料和一層 PVDF 壓電材料組成,在懸臂梁末端固定有動磁鐵A,動磁鐵右邊相隔一定距離處有一個靜磁鐵B,在動磁鐵下方放置有感應線圈。壓電層通過可忽略厚度的平面電極與負載電阻R1相連接;感應線圈兩端連接有負載電阻R2。在基礎激勵的作用下,懸臂梁發生振動,運動形式隨著激勵頻率和幅值的不同而變化。

圖1 壓電-電磁復合俘能器示意圖

由于所設計的懸臂梁長寬比較大,故主要考慮梁橫向振動引起的變形。應力方向垂直于電場方向,所以該結構滿足第二類壓電本構方程,壓電本構關系為

(1)

壓電層內,電場強度為

(2)

式中:V(t)為壓電層的總輸出電壓,其中t代表時間;hp為PVDF厚度。

根據Euler-Bernoulli梁理論,大變形時應變和位移之間的關系可以表示為

S1=

(3)

式中:w(x,t)為懸臂梁縱向坐標x處相對于基座的橫向位移,z為懸臂梁橫截面上某處到中性層的距離。

懸臂梁截面幾何尺寸如圖2所示?；缀蚉VDF壓電層的厚度分別為hs和hp,兩層寬度均為b,h3為PVDF層頂部距中性層的距離,h2為PVDF層底部距中性層的距離;h1為鋼基底的底部距中性層的距離。

圖2 懸臂梁截面幾何尺寸

中性層位置參考文獻[12]中的方法確定,有下式成立:

(4)

式中:Ys為鋼基底的楊氏模量。由式(4)可解得中性層距離PVDF層和鋼基底層的距離:

(5)

懸臂梁復合彎曲剛度YI可表示為

(6)

式中:Is、Ip分別為鋼基底層和PVDF層相對于中性層的慣性矩。

1.2 復合俘能器非線性動力學建模

將復合俘能器的末端磁鐵看作質點,不考慮其轉動慣量。壓電-電磁復合俘能器的機電耦合模型如圖3所示,其中,w為壓電振子相對于基座的位移,ub為位移激勵。

圖3 壓電-電磁復合俘能器的機電耦合模型

根據Hamilton原理,建立在外界激勵下系統的多物理場耦合壓電-電磁復合俘能器分布式參數模型:

(7)

式中:δ代表變分符號,T為系統動能,U為系統彈性勢能,We為系統電勢能,Wm為電磁能,Um為磁力勢能,δWnc為虛功的變分。

系統的動能包括懸臂梁和末端磁鐵的平動動能,可表示為

(8)

式中:(·)代表函數對時間的導數;L為懸臂梁長度;m為單位長度懸臂梁的質量,m=ρsAs+ρpAp,其中ρs、ρp分別為鋼基底和PVDF壓電材料的密度,As、Ap分別為鋼基底層和PVDF層的橫截面積;Mt為末端磁鐵質量。

系統的彈性勢能包括壓電懸臂梁內部與應變相關的勢能,可表示為

(9)

式中:T1為懸臂梁的應變,S1為懸臂梁的應力,Vs為鋼基底層體積,Vp為PVDF層體積。

(10)

壓電-電磁復合俘能器的電磁機電耦合系數θe是一個關鍵參數。電磁感應原理如圖4所示,其中標明了線圈與動磁鐵的幾何位置關系,根據文獻[13]可得到電磁機電耦合系數θe:

(11)

圖4 電磁感應原理圖

由式(11)可知電磁機電耦合系數與磁鐵的位置有關。為了方便分析,通常取磁鐵靜止時的值作為恒定值進行研究,即θe=θe(z0)。

系統的電磁能為線圈自有的磁共能,可以表示為

(12)

式中:Lc為感應線圈的電感。線圈電感可利用Wheeler公式計算:

(13)

式中:ra為線圈的平均半徑,ra=(ri+ro)/2。

在電荷輸出和機械阻尼效應作用下,虛功的變分可以表示為

δWnc=-Qp(t)Up(t)-

(14)

對于內、外半徑分別為ri、ro,高為hc的空心螺線管,其電阻為

Rc=2πraNρc

(15)

式中:ρc為漆包線單位長度電阻值。

根據Galerkin法將橫向位移函數w(x,t)分解成N個振形函數和N個模態坐標的乘積:

(16)

根據Euler-Bernoulli梁理論,振形函數可以設為

Cnsin(knx)+Dnsinh(knx)

(17)

對于有末端質量塊的懸臂梁,將質量塊視為一個質點,則其邊界條件和正交性可表示為

(18)

式中:δns代表Kronecker符號。

由于一階振型對輸出的影響最大,這里只考慮一階振型,因此橫向位移可以寫為

(19)

磁力勢能由梁端部的運動磁鐵A和外部靜止磁鐵B相互作用產生,其幾何關系如圖5所示。圖中,mA=(-MAVAsinα,MAVAcosα),mB=(0,MBVB),其中MA、MB分別為磁鐵A和磁鐵B的磁化強度,VA、VB分別為磁鐵A和磁鐵B的體積。

圖5 磁場模型

根據磁偶極子模型可知磁場強度表達式為

(20)

式中:rBA=(-d,w)。

磁力勢能可以表示為

(21)

其中,

(22)

(23)

系統動能變分為

(24)

彈性勢能變分為

(25)

電勢能變分為

(26)

式中:Cp為等效電容。

電磁能變分為

(27)

虛功變分為

(28)

磁力勢能變分為

(29)

將上面各部分變分代入式(7),由于η(t)、Qm(t)、Qp(t)為獨立變量,故可分離變量得到:

(30)

(31)

(32)

其中,

(33)

(34)

(35)

(36)

假設懸臂梁式壓電-電磁復合俘能器的動力學解為

(37)

可以得到上式中各階次和高次項的表達式:

(38)

式(38)中:H.O.H代表高次諧波項,在后續計算中將其忽略。

將式(37)和式(38)代入式(34)～式(36)中,平衡諧波項和常數項的系數,可以得到:

-b6S(A1A2+B1B2)=0

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

同樣,式(42)～式(45)可以寫為

(47)

通過式(47)可以得到壓電和電磁部分的穩態解析解為

(48)

將上述穩態解帶入式(46),可以得到振幅方程的穩態解:

(49)

結合式(48)化簡,可以得到無量綱化的壓電電壓、電磁感應電流和總功率表達式為

(50)

對式(39)進行整理可得:

(51)

由式(51)可以得到關于S的兩個解。

1)當S=0時,系統處于阱間運動;

分別將S的兩個取值代入運動方程中,可以得到關于振幅的隱函數,求解后可以分別得到阱內運動和阱間運動狀態下的位移幅值。將式(48)代入式(50),可以求得壓電電壓、電磁感應電流和總功率的幅值。

1.3 復合俘能器穩定性判定

前面對振幅求解時可以得到多個解,其中可能包含不穩定解,因此需要對解的穩定性進行分析。

然后將式(39)～式(45)改寫成為非自治系統的形式,可以得到:

(52)

(53)

如果該矩陣所有特征值的實部均小于零,則可認為此平衡點是穩定的,否則便是不穩定的。

2 壓電-電磁復合俘能器仿真分析

根據上節分析結果,本節運用MATLAB軟件針對懸臂梁式壓電-電磁復合俘能器的動力學模型進行輸出性能仿真分析,探討激勵振幅、激勵頻率、磁鐵間距和負載電阻對系統輸出性能的影響。仿真中的材料參數見表1。

表1 壓電-電磁復合俘能器材料參數

2.1 系統雙穩態分析

為了研究動磁鐵和靜磁鐵的間距d對系統雙穩態的影響規律,利用數值計算方法得到d不同時系統無量綱剛度(b2,b3)和無量綱勢能的變化曲線,如圖6和圖7所示。由圖可知:

圖6 系統無量綱剛度(b2,b3)與磁距d的關系曲線

圖7 不同磁距d時的系統勢能變化曲線

1)當d=41.9 mm時,系統線性剛度為0,因此可以將d=41.9 mm看作判斷系統是否呈現雙穩態的分岔點:d<41.9 mm時,系統表現為雙穩態;d>41.9 mm時,系統表現為單穩態漸硬特性。

2)隨著磁距d的減小,勢壘高度和兩勢阱間的幅度都在增大。這說明磁距越小,系統越過勢壘所需要的能量就越大。

3)當磁距d合適時,系統有足夠能量越過勢壘,這時存在兩個明顯的勢阱,系統表現出雙穩態運動行為,系統的振動位移幅值得到提高。

2.2 激勵幅值對俘能特性的影響

設置負載電阻為R1=16.5 MΩ、R2=600 Ω;通過改變激勵加速度f來調節激勵幅值,f分別取1、3、5、8 m/s2。4種激勵下,壓電電壓輸出幅值和電磁電流輸出幅值隨頻率比Ω的變化如圖8和圖9所示,其中實線部分代表經Jacobi矩陣分析得到的穩定解,而虛線代表不穩定解?？梢钥闯?隨著激勵頻率的不斷增加,阱間運動的壓電輸出電壓和電磁輸出電流的幅值在逐漸增大,直到激勵頻率超出頻帶寬度后,系統便落入勢阱中開始做阱內運動。

圖8 不同激勵加速度下的壓電輸出電壓響應曲線

圖9 不同激勵加速度下的電磁輸出電流響應曲線

由圖8和圖9還可以發現,激勵加速度的增大明顯拓寬了系統阱間運動的工作頻帶范圍。激勵加速度從1 m/s2增至8 m/s2,阱間運動帶寬從0.75倍的固有頻率增大到了2.85倍的固有頻率,但是激勵加速度的增大對阱內運動的頻帶范圍影響很小。并且,同樣的激勵加速度增幅會明顯提高阱間運動的壓電輸出電壓和電磁輸出電流,但對阱內運動的輸出影響很小。

2.3 磁鐵間距對俘能特性的影響

設置激勵加速度為3 m/s2,負載電阻為R1=16.5 MΩ、R2=600 Ω,動磁鐵和靜磁鐵間的初始距離分別取32、34、36、38 mm。分析磁鐵間距對系統輸出的影響,如圖10和圖11所示,圖中實線和虛線同樣分別代表穩定解和不穩定解。

圖11 不同磁鐵間距下的電磁輸出電流響應曲線

從圖10可以看出,隨著磁鐵間距的增大,在阱內運動狀態下,壓電部分最大輸出電壓所對應的頻率會逐漸減小,同時穩態解范圍會擴大。對于阱間運動來說,隨著磁鐵間距的增大,頻率帶寬會有所減小,但系統的最大壓電輸出電壓會有所提高。從圖11可以看出,磁鐵間距以相同幅度改變對電磁部分在阱間狀態下的輸出沒有明顯影響,但在阱內運動狀態下,電磁部分最大輸出電流所對應的頻率會逐漸減小,同時穩態解范圍會擴大。

2.4 負載電阻對俘能特性的影響

由上述分析可知,系統的最大輸出是在阱間運動狀態下出現的,所以本小節以阱間運動為對象進行研究。分別取壓電電阻R1為1、5、10、16.5、30、50、70 MΩ,電磁電阻R2為50、100、400、600、1000、2000 Ω,相應的系統輸出如圖12～圖15所示。

圖12 不同壓電負載下的壓電輸出電壓響應曲線

圖13 不同壓電負載下的壓電輸出功率響應曲線

圖14 不同電磁負載下的電磁輸出電流響應曲線

圖15 不同電磁負載下的電磁輸出功率響應曲線

從圖12～圖15可以看出:隨著負載的增大,壓電俘能部分和電磁俘能部分的輸出功率都呈現出先增大后減小的變化規律;壓電輸出電壓隨著壓電負載的增大而升高,電磁輸出電流隨著電磁負載的增大而降低。同時發現,不論是壓電負載還是電磁負載發生變化時,阱間運動的頻率帶寬基本保持不變,均為1.6倍的固有頻率。

系統總輸出是壓電俘能部分和電磁俘能部分的累計。由于阱間運動的帶寬不會隨著負載而改變,因此保持其他參數不變,取頻率比為1.6,分析系統的最優負載。圖16所示為俘能器在壓電負載和電磁負載同時變化時的系統總輸出功率P?？梢钥闯?當壓電負載一定、電磁負載從100 Ω增至1200 Ω時,總輸出功率先逐漸增大然后略微減小;當電磁負載一定、壓電負載電阻從0.01 MΩ增至1000 MΩ時,總輸出功率呈現先增大后減小的變化趨勢;總輸出功率隨壓電負載的變化幅度比其隨電磁負載的變化幅度要大得多。在壓電負載為10 MΩ、電磁負載為680 Ω時,系統的總輸出功率達到最大,為0.9449 mW。

圖16 總輸出功率隨壓電、電磁負載的變化

系統在阱間運動狀態下、激勵加速度為3 m/s2、頻率比為最優值1.6時,壓電部分輸出電壓/功率和電磁部分輸出電流/功率隨負載的變化情況分別如圖17和圖18所示。由圖17可見,隨著電阻R1的增大,壓電部分輸出電壓逐漸增大,但R1>10 MΩ后,電壓不再明顯增長,同時壓電部分輸出功率的變化也在該負載值處出現拐點,呈現下降趨勢。因此,系統的最優壓電負載為10 MΩ,對應的最大壓電輸出功率為0.3145 mW。由圖18可見,隨著電阻R2的增大,電磁部分功率也呈現出先增大后減小的變化趨勢,R2=680 Ω時出現拐點,對應的電磁部分最大輸出功率為0.6304 mW。另外,電磁電流隨負載的增大呈現出緩慢減小的變化趨勢。

圖17 壓電輸出電壓/功率隨壓電負載的變化

圖18 電磁輸出電流/功率隨電磁負載的變化

圖19為系統在阱間運動狀態下、電磁負載取最優值(680 Ω)時,壓電輸出功率和電磁輸出功率的占比隨壓電負載的變化情況?？梢钥闯?隨著壓電負載的增加,壓電輸出功率占比先增大后減小,當壓電負載為10 MΩ時,壓電輸出功率占比達到最大(33.28%),此時電磁輸出功率占比達到最小(66.72%)。

圖19 輸出功率占比隨壓電負載的變化

圖20為系統在阱間運動狀態下、壓電負載取最優值(10 MΩ)時,壓電輸出功率和電磁輸出功率的占比隨電磁負載的變化情況?？梢钥闯?隨著電磁負載的增大,電磁輸出功率占比先增大后減小,在電磁負載大于680 Ω后,電磁輸出占比和壓電輸出占比的變化趨緩。與圖19相對應,當電磁負載為680 Ω時,電磁輸出功率占比達到最大(66.72%),壓電輸出功率占比最小(33.28%)。

圖20 輸出功率占比隨電磁負載的變化

3 壓電-電磁復合俘能器非線性動力學分析

本文研究的復合俘能器屬于非線性系統。一般非線性系統具有多種復雜的運動,如混沌運動、倍周期運動等。本節運用MATLAB中的龍格-庫塔法進行求解,分析激勵改變對俘能器動力學行為的影響。

圖21為懸臂梁式壓電-電磁復合俘能器的系統分岔圖?？梢钥吹?隨著激勵加速度的增大,懸臂梁表現出豐富的非線性特性?？纱笾路譃橐韵聨讉€階段:當激勵加速度f在0～5.5 m/s2范圍內時,懸臂梁振動處于周期運動狀態;當f在5.5～7.6 m/s2范圍內時,懸臂梁振動處于周期運動與混沌運動的交替變化中,且前面部分主要表現為混沌運動狀態,后面部分主要表現為周期運動狀態;當f在7.6～8.9 m/s2以及9.45～10 m/s2范圍內時,懸臂梁處于混沌運動狀態;當f在8.9～9.45 m/s2范圍內時,懸臂梁處于周期運動狀態。

圖21 壓電-電磁復合俘能器的系統分岔圖

選取f為1、6.15、9.1、9.6 m/s2四種情況進行運動分析。圖22～圖25所示為不同激勵條件下系統的動態響應。f為1 m/s2和9.1 m/s2時,懸臂梁均處于周期運動狀態,壓電輸出和電磁輸出均為周期性變化。其中,f=1 m/s2時,系統處于單周期運動;f=9.1 m/s2時,系統處于五倍周期運動;同時,隨著激勵增強,時域波形圖的幅值也在增大。當f為6.15 m/s2和9.6 m/s2時,懸臂梁進入混沌運動狀態,此時壓電輸出電壓和電磁輸出電流均不穩定。

(a)位移-速度相圖及龐加萊截面

(a)位移-速度相圖及龐加萊截面

(a)位移-速度相圖及龐加萊截面

(a)位移-速度相圖及龐加萊截面

從上面的分析可以得知,懸臂梁式壓電-電磁復合俘能器系統在激勵幅值不斷增大時會產生周期運動和混沌運動的交替變化,并且壓電輸出電壓和電磁輸出電流具有相同的變化情況。也就是說,相圖顯示為周期運動時,壓電輸出和電磁輸出均發生周期性變化,相圖顯示為混沌運動時,壓電輸出和電磁輸出均處于不穩定的變化狀態。

4 壓電-電磁復合俘能器電路仿真分析

本節采用Multisim電路仿真軟件對系統在上述不同激勵條件下的輸出進行整流濾波分析。首先建立壓電部分和電磁部分的等效電路模型。通常前者等效為一個電流源、后者等效為一個電壓源,分別如圖26(a)和圖27(a)所示。圖26(b)和圖27(b)分別為壓電和電磁整流濾波電路。

(a)壓電等效電路圖 (b)壓電整流濾波電路

(a)電磁等效電路圖 (b)電磁整流濾波電路

取激勵加速度為1 m/s2和6.15 m/s2時的輸出進行分析,結果見圖28～圖29。激勵加速度為1 m/s2時,改變電路的濾波電容,壓電和電磁整流濾波后的輸出都可以達到穩定狀態,并且電容越大,達到穩定狀態所需時間越長,同時穩定狀態時的波動越小。例如在圖28中,當電容Cr=10 μF,系統大概在680 s時達到穩態;當電容Cr=15 μF,系統大概在850 s才能達到穩態。但是,激勵加速度為6.15 m/s2時,采用同樣大小的濾波電容,經過整流濾波后,壓電和電磁輸出仍然表現出大幅無規則波動。

(a) f=1 m/s2 (b)f=6.15 m/s2

(a) f=1 m/s2 (b)f=6.15 m/s2

由以上分析可知,當懸臂梁系統處于周期運動時,不管是電磁輸出還是壓電輸出,在經過整流濾波后都可以達到一個相對穩定的輸出狀態。只是濾波電容越大,穩定狀態時的波動越小,但到達穩定所需的時間越長。系統處于混沌運動時,系統輸出無法通過標準整流電路和濾波電容進行整流濾波而達到穩定狀態。

5 結論

本文提出了一種雙穩態懸臂梁壓電-電磁復合俘能器結構,基于Euler-Bernoulli梁理論和Hamilton原理建立系統的非線性動力學模型,利用諧波平衡法進行求解;通過MATLAB仿真分析了激勵幅值、激勵頻率、磁鐵間距和負載電阻對俘能器輸出性能的影響,然后運用龍格-庫塔法進行系統非線性動力學分析;最后采用Multisim軟件進行整流濾波分析。研究得到如下結論:

1)對于具有幾何非線性結構的俘能器,隨著激勵幅值的增大,阱間運動的頻率帶寬增大。磁鐵間距的改變對阱間運動的帶寬影響不大。負載電阻的變化不會影響系統阱間運動的頻率帶寬。

2)通過電阻掃描可以知道,系統存在一組最優負載使得輸出的總功率達到最大。本文系統的最優壓電負載為10 MΩ,最優電磁負載為680 Ω。此時系統俘獲的總功率達到最大值0.9449 mW。

3)隨著激勵的增強,系統在混沌運動狀態和周期運動狀態間相互轉換。在周期運動狀態時,可以利用標準整流濾波電路進行能量采集;在混沌運動狀態時,標準整流濾波電路無法穩定收集系統能量輸出。