基于分層法的石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁動力特性有限元分析

黃立新,周小云,滕靚媚

(1.廣西大學土木建筑工程學院,廣西 南寧,530004;2.廣西大學工程防災與結構安全教育部重點實驗室,廣西 南寧,530004)

新型納米材料石墨烯具有優異的力學性能,其理論拉伸強度和楊氏模量分別高達130 GPa、1 TPa[1],是Q235鋼相應值的300倍和5倍,故而常用作納米復合材料的增強體。段笑[2]針對碳纖維表面的惰性、光滑、非極性且與樹脂黏合度差等問題,向其中引入了石墨烯。研究結果表明,石墨烯的加入可以增強復合材料的導電性、抗壓性。并且,當石墨烯含量為0.2%時,其對復合材料剪切性能、彎曲強度、沖擊韌性的增強作用最佳。郭準等[3]的研究結果表明,將聚甲基丙烯酸甲酯與石墨烯復合所得材料的性能較聚甲基丙烯酸甲酯有明顯改善。當加入的石墨烯質量含量為1.5%時,聚甲基丙烯酸甲酯/石墨烯復合材料斷口呈現出典型的韌性斷裂特征。Parashar 等[4]利用代表性體積元方法研究了石墨烯納米復合材料的屈曲現象,將石墨烯在原子尺度上建模并把聚合物作為一個連續體。與純聚合物相比,石墨烯增強聚合物的屈曲強度顯著提高。在石墨烯質量含量僅為6%的情況下,石墨烯/聚合物納米復合材料的屈曲強度較純聚合物相應值提高了26%。

功能梯度材料作為一種新型的非均質復合材料,其成分和性能在空間上連續變化,從而能更好地適應不同的環境及使用要求[5]。Yang等[6]通過添加少量石墨烯片(graphene platelets,GPLs ) 得到功能梯度納米復合梁。相關研究結果表明,GPLs對納米復合材料梁的屈曲和后屈曲具有顯著增強作用。Zhao等[7]研究了GPLs 增強功能梯度多孔拱在靜力和徑向均布壓力共同作用下的動力不穩定性。數值計算結果表明,加入少量GPLs可以有效提升功能梯度多孔拱的穩定性。Feng等[8]研究了石墨烯納米片沿厚度方向非均勻分布的功能梯度聚合物復合梁的非線性自由振動。結果表明,在聚合物基體中加入少量的GPLs作為增強劑,可以顯著提高梁的固有頻率。Sahmani等[9]研究了軸向加載多層功能梯度石墨烯片增強復合材料(graphene platelet-reinforced composite,GPLRC)納米梁在預屈曲和后屈曲區域的非線性振動。結果表明,在預屈曲、屈曲或后屈曲狀態下,GPLRC納米束的非線性頻率均隨GPLs質量分數的增加而增大。此外,黃干云等[10]通過將材料劃分為若干層,針對功能梯度材料的斷裂力學問題開展研究。本課題組[11]借助分層模型,對功能梯度材料的進行了有限元分析。在已有研究的基礎上,本文擬采用分層法并結合有限元分析來考察GPLs增強功能梯度Timoshenko梁的動力特性。通過數值算例驗證有限元軟件ABAQUS建模的準確性,分析分層數與單元尺寸比例的合理性,著重探討GPLs的分布形式、質量含量、幾何形狀和尺寸以及邊界條件對Timoshenko梁自由振動的影響。

1 石墨烯增強功能梯度材料模型及其性能參數

基于分層法針對石墨烯增強功能梯度Euler梁進行有限元靜力分析,導出有效材料性能的計算公式,詳細推導過程參見文獻[12]。作為研究石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁動力問題的基礎,本文簡要列出了一些概念和公式。

1.1 石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁的結構模型

圖1所示為石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁的結構模型。該梁的長度為l、寬為b、高為h。GPLs分布在環氧樹脂材料中,其質量含量WGPL隨著梁的高度發生連續變化。GPLs沿梁厚度方向z呈現線性、第一類拋物線、第二類拋物線及均布等4種分布形式[6,13-14]。其中,線性分布形式下的WGPL分布函數為:

(1)

圖1 石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁

第一類拋物線形式下的WGPL分布函數為:

(2)

此時,GPLs的質量含量在頂面和底面處最大,在中間平面處最小。第二類拋物線形式下的WGPL分布函數為:

(3)

此時,GPLs的質量含量在頂面和底面處最小,在中間平面處最大。均布形式下的WGPL分布函數為:

(4)

表1 梯度指標λi與之間的關系

1.2 石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁的有效材料參數

在進行結構分析之前,需要確定石墨烯功能梯度Timoshenko梁所需的材料參數。有效彈性模量計算基于修正后的Halpin-Tsai微觀力學模型[13],即

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

(9)

式(6)～式(9)中,EM、EGPL分別表示功能梯度梁基體及石墨烯的楊氏模量;lGPL、bGPL、tGPL分別表示GPLs的平均長度、平均寬度和平均厚度。根據混合率法則[6,15],石墨烯增強復合材料的泊松比vC和質量密度ρC可分別表示為

vC=vGPLVGPL+vM(1-VGPL)

(10)

ρC=ρGPLVGPL+ρM(1-VGPL)

(11)

式(10)～式(11)中,VGPL為GPLs的體積含量,有

(12)

其中,ρGPL是GPLs的質量密度,ρM是功能梯度梁基體的質量密度。

對于GPLs呈線性分布(LDPC)的Timoshenko梁,將式(1)代入式(12)可以得到相應的石墨烯體積含量為

(13)

將式(6)～式(9)及式(13)代入式(5)可得到石墨烯增強復合材料的楊氏模量,即

(14)

將式(13)分別代入式(10)和式(11)可以得到石墨烯增強復合材料的泊松比和質量密度,即

(15)

(16)

同理可得,GPLs呈第一類拋物線分布(PDPRSC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達式分別為

(17)

(18)

(19)

GPLs呈第二類拋物線分布(PDPRMC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達式分別為

(20)

(21)

(22)

GPLs呈均勻分布(UDPC)的Timoshenko梁的楊氏模量、泊松比和密度表達式分別為

(23)

(24)

(25)

2 基于分層法的有限元模型

在不同GPLs分布形式下,石墨烯增強復合材料的楊氏模量、泊松比和質量密度沿厚度方向呈現多種變化。故而對相關模型進行有限元分析時,需將石墨烯增強復合材料沿厚度方向劃分為若干層,不同層的楊氏模量、泊松比和質量密度均不相同,但同層的楊氏模量和泊松比為常數。運用有限單元對各層進行網格劃分,即可建立有限元模型。將石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁沿厚度方向分為n層,不同GPLs分布形式下每層復合材料的楊氏模量、泊松比及質量密度取值見表2,并且采用4節點四邊形板單元(S4R)離散。

表2 各層的材料參數

忽略阻尼影響,系統的自由振動方程表示為

(26)

(27)

(28)

式(27)～式(28)中,單元質量矩陣Me和單元剛度矩陣Ke分別為

(29)

(30)

其中,D表示彈性矩陣,有

(31)

式中,楊氏模量E(z)和泊松比v(z)是關于厚度方向坐標z的函數。針對不同的GPLs分布形式,由表2獲得每層薄板的楊氏模量、泊松比和質量密度,再代入式(31)即可進行有限元計算。

式(26)自由振動方程的解可以假設為以下形式

(32)

(33)

3 計算與討論

對于本文中的所有算例,除非另有說明,否則均采用以下數值和條件:

基于分層法的有限元計算中,根據表2的公式計算每一層的楊氏模量、泊松比和質量密度;模型長度、寬度和高度分別為10個單位、2個單位和2個單位,跨高比l/h=5,GPL質量分數為0.25%,支座條件為兩邊簡支;GPLs的lGPL=2.5 μm,bGPL=1.5 μm,tGPL=1.5 nm;GPLs和環氧樹脂材料參數vM=0.34,vGPL=0.186,ρM=1200 kg/m3,ρGPL=1060 kg/m3,EM=2.85 GPa,EGPL=1010 GPa;為了便于表述,基頻的無量綱化結果表達式[15]如下

(34)

3.1 分層數與單元尺寸比例對有限元計算結果的影響

進行有限元分析時,在滿足計算精度要求的同時也要保證計算效率。針對Timoshenko梁的自由振動問題,采用 4節點四邊形板單元(S4R)進行有限元建模,同時考慮各種單元尺寸比例。通過與文獻[15]給出的自由振動無量綱解析解進行對比,分析分層數和單元尺寸比例的合理性。在有限元計算中,通過表2的公式計算每一層的楊氏模量和泊松比。

表3 分層數對于石墨烯功能梯度Timoshenko梁自由振動頻率的影響

圖2 功能梯度梁有限元網格

表4 單元尺寸比例對于石墨烯功能梯度Timoshenko梁自振頻率的影響

3.2 石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁自由振動的有限元分析

表5 GPLs增強功能梯度Timoshenko梁的自由振動頻率

3.3 不同GPLs含量對有限元計算結果的影響

算例選取相關參數如下:梁長l為0.5 m,梁寬b為0.1 m,梁高h為0.1 m;跨高比l/h為5;GPLs的總質量含量范圍為0～1.5%,增量為0.25%;梁的支座條件如圖3所示,分別為兩端簡支、兩端固定、懸臂和一端固定、一端簡支。經計算,得到石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁自由振動無量綱基頻隨GPLs質量含量變化的曲線如圖4所示。其中當GPLs的質量含量為0時,Timoshenko梁是純環氧樹脂梁。從圖4可以看出,加入少量的石墨烯可以大幅度提高石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁的基頻,這是因為石墨烯能夠較大地提高梁的剛度。當GPLs總質量含量不變時,GPLs第一類拋物線分布的Timoshenko梁具有最大的基頻,而GPLs出現第二類拋物線分布時,基頻最小。與其他三種分布形式相比,GPLs第一類拋物線分布形式的增強剛度效果最好。換句話說,在梁的上下表面分布更多的GPLs是增加梁剛度的最有效方法。

(a)簡支梁 (b) 兩端固定梁

(a)簡支梁 (b) 兩端固定梁

在多種GPLs的質量含量、分布形式以及各種邊界條件下,采用有限元方法計算石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁自由振動的基頻,計算結果列于表6。從表6中可以看出,在其他條件不變的情況下,不同支座條件下的復合梁基頻也不同?；l由大到小的順序對應的支座條件分別為兩端固定、一端固定一端簡支、兩端簡支和懸臂,這種變化規律也已經在圖4中得到展現。

表6 自由振動頻率有限元計算結果

3.4 GPLs幾何形狀和尺寸對有限元計算結果的影響

如圖5所示,考慮三種幾何形狀和尺寸的GPLs,即長度lGPL保持不變,長寬比分別取lGPL/bGPL=1、lGPL/bGPL=3和lGPL/bGPL=5,然后研究長寬比lGPL/bGPL和長厚比lGPL/tGPL的變化對功能梯度Timoshenko梁自由振動基頻的影響。

(a)lGPL/bGPL=1 (b)lGPL/bGPL=3

設定石墨烯質量含量為1.5%,Timoshenko梁的支座條件為兩端簡支,GPLs的分布形式包括線性分布、第一類拋物線分布、第二類拋物線分布和均布分布,石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁自由振動基頻的變化情況如圖6所示。從圖6中可以看出,隨著長厚比lGPL/tGPL的增加,梁的基頻增加,并且隨著長厚比lGPL/tGPL的不斷增加,梁基頻增加的速度趨緩。當長厚比lGPL/tGPL超過1000之后,梁基頻增加不明顯。在相同條件下,當lGPL/tGPL=1時,梁基頻最大,當lGPL/tGPL=5時,梁基頻最小。圖6中梁基頻的變化趨勢還表明,GPLs呈第一類拋物線分布的功能梯度Timoshenko梁具有最大的基頻。

(a)線性分布 (b) 第一類拋物線分布

4 結語

本文基于有限元方法,針對石墨烯增強功能梯度Timoshenko梁進行動力特性分析。首先沿梁的厚度方向進行分層,然后根據修正后Halpin-Tsai微觀力學模型和混合率法則分別得到每層的彈性模量、泊松比和質量密度等材料參數,最后每一層采用4節點四邊形板單元(S4R)劃分網格,通過計算得到Timoshenko梁的頻率。借助數值算例,分析了分層數和單元尺寸比例的合理性,研究GPLs分布形式、質量含量、幾何形狀和尺寸以及梁邊界條件對Timoshenko梁自由振動的影響。結果表明,加入少量的石墨烯能顯著提高Timoshenko梁自由振動的頻率,這表明引入少量石墨烯就能有效地增加梁的剛度;石墨烯的分布形式對Timoshenko梁的動力特性有明顯的影響。當石墨烯呈第一類拋物線分布形式,即在梁的上下部位分布更多的石墨烯時,梁的頻率增幅最大,這是增加Timoshenko梁剛度的最有效方法;石墨烯的幾何形狀和尺寸對Timoshenko梁的動力特性有較大影響。具體地說,在給定總石墨烯質量含量的情況下,Timoshenko梁的頻率隨著長厚比lGPL/tGPL的增加而增大,當長厚比lGPL/tGPL超過1000之后,梁頻率變化不明顯。至于石墨烯幾何形狀的影響,與長方形石墨烯相比,正方形石墨烯強化的Timoshenko梁具有更高的頻率。