制作工具理解知識 使用工具感知原理

周青松 李明樹

基金項目? 蘇州市教育科學“十四五”規劃2022年度立項課題“初中數學‘做’中學體系的構建研究”（2022/LX/02/166/09）;江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“指向核心素養的初中數學混合式教學實踐研究”（22A11SXSZ295）;蘇州市教育科學“十四五”規劃2021年度立項課題“初中數學互動式課堂教學的建構研究”（2021/O/01/021/09）;蘇州工業園區基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“基于STEAM理念的初中數學綜合與實踐教學設計研究”．

【摘? 要】? 蘇科版初中數學八年級上冊教材中，工人師傅使用“角尺工具”解決了二等分角問題，還可以借助實物工具量角器、尺規作圖工具解決此問題，借助工具還可以解決幾等分角問題，教材內容未做編寫，學生對數學工具的認識與使用缺乏感性認識，數學實驗課教學可以彌補不足，學生經歷三等分角工具的制作、使用的過程，幫助學生理解知識本質，培養合作意識，提升探究能力.

【關鍵詞】? 三等分角；制作工具；使用工具；教學思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程實施”中指出：“進一步加強綜合與實踐，強化項目主題學習活動，可以利用信息技術或制作教具的形式，對現實世界中具有開放性、真實性的問題進行探索”［1］，而數學實驗工具的制作、使用就是以項目為導向，引導學生發現并解決問題，學生經歷發現、提出、分析、解決問題的過程，幫助學生理解知識本質，培養合作意識，提升探究能力.

數學實驗是學生動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師引導下，學生運用有關工具，通過具體操作在認知和非認知因素參與下，進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動［2］.近年來，蘇州工業園區數學實驗教學團隊一直致力于數學實驗工具的設計與開發工作，本節課在蘇州市第六屆初中數學實驗研討活動中展示，取得良好的教學效果，整理成文，供同仁們交流.

1? 探究背景

在蘇科版數學教材八年級上冊P25中，工人師傅常常利用角尺工具平分一個角，利用量角器、圓規和直尺等工具也可以平分一個角，利用工具可以實現角的四等分、八等分、十六等分等等，能否將一個任意角三等分呢？這是古希臘三大幾何難題之一，已證實僅用圓規和無刻度的直尺無法完成，但是若將條件放寬，如允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線使用，可以實現對任意角的三等分，本文嘗試引導學生利用自制實物工具的方法對三等分角進行探究.2? 學情分析

學生對“等分角”有所了解，但大都是直觀感知，在學習了全等、軸對稱、角平分線知識后，積累了基本操作經驗.八年級學生求知欲望強烈，喜歡探究新知.借助工具動態獲取，需要學生具備較強的幾何直觀能力、空間思維能力和歸納能力，這對部分學生來說，是有一定難度的.3? 目標分析

通過本課內容學習，讓學生對設計、制作、使用工具有深刻體會，進一步理解實物工具的數學原理，鼓勵學生大膽發言，對各種觀點進行分析、辨析，培養合作意識，發展學生幾何直觀和空間觀念，提高數學探究能力.4? 重點難點

實物工具的設計、知識依據、操作方法、數學原理.5? 探究準備

剪刀、直尺、紙質吸管（若干）、大頭針（若干）、記號筆.6? 教學設計

6.1? 問題提出

活動一? 蘇科版數學教材八年級上冊P25中，工人師傅常常利用角尺工具平分一個角.如圖1，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別任取OC=OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C，D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線.操作? 老師提供自制教具：實物角尺，讓學生實際操作，借助工具二等分一個角，感知數學原理，如圖2.

問題1：角尺工具可以解決什么問題？

問題2：角尺工具的結構特征是什么？

問題3：角尺工具的工作原理是什么？

問題4：還有什么工具可以二等分角？

設計意圖? 以實物工具和電子工具相融合的方式，讓學生通過實際操作去感知工具的實用性和便利性，觀察描述角尺工具的特征——鄰邊垂直且相等，并說出工具的工作原理——用“邊邊邊”的方法判定△OCM≌△ODM，可知∠COM=∠DOM，所以射線OM就是∠AOB的平分線.學生初識工具，可以解決二等分角問題，激發學生使用工具的興趣，為制作二等分角工具做好了知識鋪墊.

制作? 結合剛才所學知識，你能否設計、制作一個工具進行二等分角？學生根據角尺的結構特征、數學原理，小組合作制作二等分角工具，作品如圖3.

問題5：工具中將點A放在與角頂點重合，還是將點C放在與角頂點重合？

實際操作，小組討論得出一致意見：將箏形點A放在與角頂點重合時，適合二等分較小的角;將點C放在與角頂點重合，適合二等分較大的角.因兩組邊的長短問題，影響工具的開合范圍，此工具在實際使用過程中存在短板.

問題6：如何改善工具，使工具更具廣泛的適用性？

從問題5中得到啟發，將工具的四邊調整為等長線段，就可以兼顧優點，規避短板，改善后菱形工具作品如圖4.

問題7：制作實物工具的流程是怎樣的？

問題提出知識依據設計方案制作工具使用工具改善工具實物工具

問題8：借助工具可以把一個角二等分，還可以幾等分？

生：四等分、八等分、十六等分、三十二等分……

師：怎樣操作？

生：用工具把角二等分后，再分別二等分，重復操作……

師：還可以幾等分？

生：三等分、五等分……

師：怎樣操作？（提示學生借助工具解決問題）

生：用量角器測量……

師：結合二等分角工具，你可否設計一個工具實現三等分角？

設計意圖? 引導學生制作工具，動態理解知識本質和數學原理，在實際使用中分析利弊，激發學生再思考，不斷完善實物工具，總結得出制作工具的流程，為下面三等分角工具的制作積累經驗和方法.

6.2? 問題探究

活動二? 制作三等分角實物工具.

圖5操作? 根據二等分角工具制作的經驗，直接將兩個二等分角工具疊合在一起，沿著重合的頂點開始旋轉其中一個工具，當工具的一條邊與另一個工具的對角線重合的時候，此時形成的三個角剛好相等，如圖5.

問題9：如圖5，為什么此時的三個角相等？

生：連接BC，因二等分角工具是一個菱形，故△ABC≌△DBC，得到∠ABC=∠DBC，同理可證△EBG≌△FBG，得到∠EBG=∠FBG，進而把∠ABF分成了三個相等的角，此時BC，BG就是三等分線.

師：還有不同的證明方法嗎？

生：可以根據菱形的性質證明角等，BC，BG也是兩個二等分角工具的對角線，根據菱形的性質，對角線平分一組對角，也可以說明BC，BG就是三等分線.

師：太棒了！制作? 小組分工，根據流程操作，黑板展示，并介紹結構特征、操作方法、工作原理，作品如圖6.實際操作過程中發現，張合度很小，解決三等分銳角可以，鈍角有些困難，整體結構不牢，在老師啟發下，只要解決中間的推桿就可以解決張合度的問題，類比雨傘中的環形扣，同學們用紙環代替，優化三等分角工具，可以解決任意角三等分問題了，作品如圖7.

設計意圖  引導學生制作三等分角工具，經歷設計、作圖、操作、完善的過程，培養主動探究、團隊合作意識，體會知識的本質、實物工具與數學知識之間的聯系，將靜態知識轉化為動態獲取的方式，極大地鼓舞了學生學習熱情和探究欲.

6.3? 問題拓展

活動三? 老師借助網絡畫板，制作了剛才的二等分角工具，引導同學們繼續探究思考，如圖8.

問題10：如圖8，移動點D的位置，此工具的功能是否改變？

師：操作網絡畫板向學生展示點D的位置變化情況.

生：不會改變，因為DA=DC始終沒變，兩個三角形依舊全等，特別當點A，D，C三點共線時，此時是一個等腰三角形，BD就是三線合一.

活動四? 老師借助網絡畫板，制作了剛才的三等分角工具，引導同學們繼續探究思考，如圖9.

問題11：如圖9，三等分角的本質是什么？

師：操作網絡畫板向學生展示，啟發學生思考.

生：這個工具，就是兩個二等分角工具的結合，把二等分角工具中的每一個角當作單位角，進行組合就可以實現角的三等分.

師：太棒了！問題12：如果給你一個二等分角工具和一個三等分角工具，如圖10，你可以把角幾等分？

生：將工具結合在一起，可以四等分、五等分、六等分、七等分……

師：網絡畫板操作，向學生展示.

設計意圖? 融合信息技術教學，使得工具更加直觀、形象，引導學生探究自制實物工具的本質，把二等分角工具看成單位角與三等分角工具隨意組合，可以實現角的任意等分，在解決問題的同時，發現新的問題，反復思考，繼續解決問題，助力學生從合情推理能力到演繹推理能力的發展.

6.4? 文化延伸

播放視頻介紹古希臘三大幾何難題的誕生和發展過程.“三等分角”是古希臘三大幾何難題之一，是幾何尺規作圖中的名題，和“化圓為方”“倍立方”問題并列為古希臘三大難題，三等分角的完整敘述為：“在只用圓規和一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分，進行尺規作圖時，已證實無解.”

設計意圖? 通過數學文化的介紹，讓學生感知數學的獨特魅力，本課借助實物工具不僅解決了三等分角問題，還實現了對任意角的三等分，強化了學生運用工具解決問題的意識，激發濃厚的學習興趣和熱情.

6.5? 課堂小結

本節課你有什么收獲？

設計意圖? 讓學生談談經歷識工具、做工具、用工具的學習感受.提升對工具的感性認識，體會工具和解決實際問題之間的便捷關系，體會敢想、敢做、質疑、思考在學習數學中的重要意義.7? 教學思考

7.1? 在課堂小結中碰撞火花

在總結中讓學生表達學習感受、學習方法與困惑.小結中學生說到“我們學過了角平分線的知識、全等三角形的知識，今天感受到知識確實可以解決問題”“在遇到復雜問題的時候，可以先從簡單的問題入手，把不會的問題轉化為熟悉的問題來解決”“制作工具時畫出圖紙很重要”“工具可以解決三大幾何難題之一：三等分角，工具是否可以解決另外兩大幾何難題呢”，以上發言不難看出，興趣的火花已然在學生心中生根發芽，正是這種興趣激發學生強大的學習動力.

7.2? 在制作工具中理解知識

利用實物工具開展學習活動，可以激發學生學習興趣和動力，從而創造性制作和發明工具.角尺工具中的全等三角形知識在充分理解后，創造性發明了二等分角工具，更加適用、便捷，讓抽象的數學知識變得形象直觀，內隱的數學思維變得可視化［3］，靜態的知識通過自制工具展現的更加直觀化、具體化，將兩個二等分角工具進行融合便可以創造出三等分角工具，繼續融合可以制作任意等分角工具，而這一切的靈感來源于“設計本就是知識理解與再創造的過程”.

7.3? 在使用工具中感知原理

數學實驗工具的使用改變了學生傳統接受知識的方式，將靜態知識轉化為動態獲取的過程，學生也由被動接受知識向主動探索學習轉化，在使用角尺工具解決二等分角問題時，進一步感知原理，激發學生對知識再理解，設計新的二等分角工具、三等分角工具，經歷使用工具的過程，強化了對工具原理的認識，在完善實物工具的同時，進一步理解工具原理與數學的關系，培養學生分析問題的能力，在創造中感知動手做數學的樂趣，改觀傳統談“數學”色變的現象，激發了學生對數學的興趣與熱愛.

數學實驗教學是近年來教育改革的趨勢之一，對于推動初中數學課程改革具有現實意義.借助實物工具，動手“做”數學是實驗課類型之一，文中學生制作工具、使用工具進行操作、驗證、理解、探究活動，有助于學生理解數學、領悟知識、感知原理，切實改變了初中數學教與學的方式.制作工具、使用工具是實驗探究活動的呈現方式之一，注重經歷觀察、操作、推理、探究的過程，從問題情境出發，逐步探究，實際操作，建立模型，解決問題；特別在實際操作中，使用自制實物工具解決問題的同時，發現新的問題，不斷調整完善實物工具，在遵循認知規律的基礎上，讓學生經歷從感性認識到理性思維的飛躍.實物工具類型實驗課已經開啟，電子工具的開發與設計、數學實驗資源的開發與建設等問題，有待進一步思考，未來已來，任重道遠.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：89.

［2］董林偉，等.初中數學實驗的理論與實踐研究［M］.南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.

［3］董林偉.數學實驗工具：助力初中生數學學習的應然選擇［J］.數學通報，2018（11）：1-4.

作者簡介? 周青松（1987—），男，江蘇蘇州人，中學一級教師，李明樹（初中數學）名師工作坊成員；主要從事初中數學實驗課堂教學研究.

李明樹（1977—），男，江蘇蘇州人，中學高級教師，蘇州工業園區初中數學兼職教研員，李明樹（初中數學）名師工作坊主持人;榮獲蘇州市教學成果獎二等獎，主持或參與各級規劃（重點）課題14項；發表文章近40篇，其中3篇被中國人民大學《復印報刊資料（初中數學教與學）》全文轉載.