指向推理能力的核心問題設計

錢筱珍 陳碧芬

【摘? 要】? 推理是數學嚴謹性的基礎，也是發現數學結論、構建數學體系與交流的重要方式.探究指向推理能力的核心問題設計流程——培養目標確定、核心問題選擇、核心問題設計、子問題鏈設計和核心問題改進，以期在探究核心問題的過程中培養學生的推理能力.

【關鍵詞】? 推理能力；核心問題設計；初中數學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學教育應使初中生達到“三會”的境界，其中包括會用數學的思維思考現實世界［1］. 在這方面，學生推理意識和推理能力的培養至關重要. 然而，學生的推理能力不甚理想，在實際教學中教師也常由于缺乏切實可行的培養方法而停留在知識的傳授上. 因此，培養推理能力無疑是中學教學中的一大重點和挑戰. 問題能促進學習思考，核心問題作為一節課中最關鍵、具有啟發性和挑戰性的中心問題，能促進學生思考，有效落實數學核心素養. 本文旨在探討如何設計指向推理能力的核心問題，并以浙教版“完全平方公式”為例進行具體闡述. 1? 指向推理能力的核心問題設計

指向推理能力的核心問題是指針對教學內容的整體性和學生的認知水平提煉出的中心問題，是在諸多問題中最具思維價值且最能揭示知識本質的關鍵性問題.這些問題有一定的思維深度，能夠激發學生的問題意識和主動參與，旨在引導學生進行邏輯思考和推理，幫助他們理解知識的本質，推動他們在推理能力方面的學習和發展.和一般的核心問題相比，指向推理能力的核心問題主要有以下特征：整體性和深刻性，邏輯性和嚴謹性，以及開放性和創新性.整體性和深刻性強調知識之間的相互關聯和思考問題的深度，邏輯性和嚴謹性注重問題間的邏輯脈絡和推理過程的嚴謹性，開放性和創新性則重在激發學生的探索欲望和創新能力.基于上述特點并結合郭妍提出的邏輯推理的培育路徑［2］，構建指向推理能力的核心問題設計流程，包括培養目標確定、核心問題選擇、核心問題設計、子問題鏈設計和核心問題改進這五個環節（如圖1）.

首先在準備階段，依據課標、教材、學情和邏輯推理培育路徑，確定學生推理能力的具體培養目標. 其次在篩選階段，根據所確定的培養目標整合學習問題，生成一個或多個具有統攝作用且指向推理能力培養的核心問題，并用簡練術語表示出來. 在設計階段對所選問題進行深入分析. 在這個階段，教師需要進一步了解問題的背景和相關概念，確定學生在解決問題時可能遇到的難點及關鍵要素，收集相關問題情境素材，結合培養目標思考核心問題具體、清晰的設問方式，使學生能夠理解和回答. 隨后在細化階段，教師需要將核心問題進一步分解為一系列有序的子問題. 每個子問題都應該與核心問題緊密相關，并且能夠引導學生思考和推理，最終解決核心問題. 注意，子問題鏈的設計應該具有邏輯性和連貫性，確保學生在解決問題的過程中逐步積累知識和提升推理能力. 最后，測評環節貫穿在每一個階段當中，教師可以使用不同的評估方法來驗證問題的有效性，如教師觀察、學生表現評價、小組討論和作品展示等，并根據評估結果對核心問題和子問題鏈進行改進和優化，以更好地促進學生的推理能力的培養.

2? 教學案例

下面以浙教版“完全平方公式”為例，具體闡述如何根據上文所構建的設計流程設計核心問題.

2.1? 準備階段：培養目標確定

課標分析? 課標中對完全平方公式的要求為“理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理”［1］. 立足所選課題，可以將其理解為以下三個方面：第一，學生需要理解完全平方公式的含義、原理和應用. 通過深入理解完全平方公式的含義和原理，學生可以更好地掌握它的應用，提高數學抽象能力. 第二，學生需要了解完全平方公式與幾何圖形之間的關系. 這有助于學生更好地理解完全平方公式，明白平方項的含義以及乘積項的來源. 同時，通過這種幾何視覺化的方式，學生可以更直觀地理解完全平方公式的運用和推導過程. 第三，學生需要掌握利用完全平方公式進行計算和推理的能力. 這包括根據給定的數值計算出完全平方形式的結果，能夠通過完全平方公式推導出其他相關的數學表達式，以及能夠在實際問題中應用該公式.

教材分析? 本課時內容是在整式的乘法以及平方差公式的基礎上，進一步研究多項式與多項式的乘法公式，是前面所學知識的應用和發展. 同時，完全平方公式是后續學習因式分解、配方法等知識的基礎，因此本節課起著承上啟下的作用. 教材從多項式的乘法（數）和圖形面積割補（形）兩個角度得到完全平方公式，再通過例、習題教學幫助學生理解公式，有利于培養學生嚴謹的推理能力和鉆研精神. 結合以上分析，確定本節課的教學重點：完全平方公式的推導和應用.

學情分析? 在本節課之前，學生經歷了數與式的承接，初步實現了從算術思維到代數思維的轉變，完成了冪的運算、整式的乘法和平方差公式等知識的學習，能夠運用整式相關法則進行計算，并能通過合并同類項進行化簡. 同時在學習多項式乘法和平方差公式的過程中體驗了如何用圖形的面積關系來說明多項式乘法的法則，有了初步的數形結合意識，具備了一定的數學活動經驗. 但學生的邏輯思維還不夠嚴謹，對數學的認識還不夠深刻：其一，公式中的字母a，b本身具有廣泛性，尤其是字母a，b是帶有數字系數的單項式時，學生容易忽略公式中字母的結構特征以及含義；其二，從兩數和的完全平方公式到兩數差的完全平方公式要用到換元思想，對學生來說也是一難點. 結合以上分析，確定本節課的教學難點是公式中字母的含義，從兩數和的完全平方公式到兩數差的完全平方公式的推理方法.

培養目標確定? “完全平方公式”培養目標，見表1.

2.2? 篩選階段：核心問題選擇

結合培養目標，從五個層次分別初步確定對應的五個核心問題，如表2.

2.3? 設計階段：核心問題設計+細化階段——子問題鏈設計

根據培養目標和初步確定的核心問題設計具體核心問題及子問題鏈，并形成完整的教學設計.

核心問題1? 如何利用多項式與多項式的乘法法則推出完全平方公式？

子問題1：多項式與多項式乘法的法則是什么？如何用字母表示？如何用幾何圖形反映？

子問題2：上述四個長方形中，其中一個演變成正方形，即x=y時，整式的乘法公式如何演變？

追問：結合上述公式，根據以下條件分別求出（x+p）（x+q）的值，并觀察所給p，q的值.

（1）p=1，q=－1；? （2）p=23，q=－23；

（3）p=－3m，q=3m；? （4）p=－12n，q=12n.

子問題3：p，q互為相反數是一種特殊情形，當p=q呢［3］？又會出現怎樣的情形.

設計意圖? 從整體視角出發，以多項式的乘法公式為切入點，將平方差公式和完全平方公式巧妙地融入整式乘法的大體系中，體現它們之間的密切聯系：平方差公式和完全平方公式都是整式乘法中最特殊的兩類情況（p，q相等或相反）.這樣，學生可以更好地理解整個章節知識的連貫性與聯系性.

核心問題2? 利用兩數和的完全平方公式解決其它多項式乘法.

子問題1：用兩數和的完全平方公式計算（填空）.

（1）（a+1）2=（? ）2+2（? ）（? ）+（? ）2=;

（2）（2a+3b）2=（? ）2+2（? ）（? ）+（? ）2=.

追問：兩數和的完全平方公式中的字母表示什么含義？

子問題2：利用兩數和的完全平方公式計算（a-b）2=？

設計意圖? 一方面讓學生深入理解完全平方公式中字母的多重含義，另一方面引導學生利用換元思想從兩數和的完全平方公式推出兩數差的完全平方公式，讓學生體悟代數推理的過程與思想.

核心問題3? 為什么要引入完全平方公式，它解決了什么樣的數學問題？

子問題1：利用完全平方公式計算：

（1）（x+2y）2;（2）（2a－5）2;（3）（－2s+t）2

（4）（－3x－4y）2;（5）992;（6）1032

子問題2：一花農有2塊正方形茶花苗圃，邊長分別為30.1m，29.5m，現將這2塊苗圃的邊長都增加1.5m后，求各苗圃的面積分別增加了多少m2？

設計意圖? 子問題1前4小題是讓學生立足完全平方公式運用整體思想解決問題，后兩道計算題是讓學生運用轉化思想，達到簡化計算的目的.子問題2是現實問題，讓學生體會完全平方公式的實際應用.

核心問題4? 多項式的乘法公式有其幾何背景，這兩個完全平方公式能否也用幾何圖形進行驗證呢？

探究1：用圖2的四張卡片擺出一個大正方形，要求：圖形之間不能有重疊、不能有空隙.圖2? 探究1對應卡片

探究2：用圖3的三張卡片擺出一個大正方形，要求：圖形之間允許有重疊.圖3? 探究2對應卡片

設計意圖? 從圖形面積割補兩個角度再次驗證完全平方公式，在探究的過程中理解完全平方公式的幾何意義，體會數形結合思想，提升學生直觀想象素養.

核心問題5? 梳理完全平方公式的推導過程、總結思想方法.

子問題1：本節課學習完全平方公式的路徑是怎樣的？在這探究過程中體現了哪些數學方法.

設計意圖? 讓學生梳理完全平方公式的學習路徑，以促進學生深入理解和掌握完全平方公式.此外，通過回顧思想方法，凝練問題解決的一般路徑，旨在培養學生解題的基本思路，并提升其問題解決能力.

3? 教學反思

數學的結構化特征決定了各課時內容之間也并非完全獨立的.因此，在設計核心問題時應從整體上分析新舊知識之間的關系. 上述指向推理能力的核心問題設計流程從多方面考慮確定培養目標，催生出核心問題，接著形成具有邏輯關聯性的子問題串，清晰地揭示了數學內容之間的聯系. 在案例中，問題設計也注重整體性策略，以“數”為主、“形”為輔，主要的問題設計流程圖如圖4. 以多項式的乘法作為起點，將“多項式乘法法則”“平方差公式”和“完全平方公式”聯系起來，同時結合長方形面積的變化，將數學與幾何圖形相結合，有效地整合了各個內容之間的邏輯結構. 這樣，同根同源的平方差公式和完全平方公式就能夠作為一個整體呈現，使學生見“樹”還見“林”. 通過核心問題引導學生用全局的視角和系統的思維去構建知識體系，這對于學生理解知識、實現對知識的整體建構以及提升學生的推理能力都大有裨益.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：6.

［2］郭妍，沈建民.高中數學邏輯推理素養的生成價值與培育路徑［J］.教學與管理，2023（03）：94-97.

［3］馮俊.教材整合建構? 強化思維訓練——大單元教學背景下“完全平方公式”的教學設計［J］.初中數學教與學，2021（16）：27-29.

作者簡介? 錢筱珍（1998—），女，浙江杭州人，碩士研究生；從事數學課程與教學研究.

陳碧芬（1979—），女，浙江奉化人，博士，副教授，碩士生導師；主要從事數學課程與教學研究.