一類帶阻尼項的分數階微分方程的振動性質

林文賢, 黃肖慧

(1.韓山師范學院 數學與統計學院,廣東 潮州 521041; 2.江門市蓬江區教師發展中心,廣東 江門 529000)

0 引言

分數階微分方程是用于描述科學和工程領域的許多實際過程和現象的數學模型,如族群動態、神經網絡、工業機器人、黏彈性、電路、最優控制、生物技術、經濟學。近年來,分數階微分方程理論取得了很大的進展[1-5]。振動現象普遍存在于自然界和工程技術等領域,如橋梁的振動、汽車發動機的振動、建筑物的振動、地震的振動、航空器的結構振動、化學反應過程中的復雜振動等,因而在分數階微分方程的研究中,解的振動性理論受到廣泛關注[6-12]。在振動性理論中,阻尼項起著重要作用。為此,本文將討論如下帶阻尼項的非線性分數階微分方程

(1)

(H1)r(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),p(t),q(t)∈C([t0,∞),[0,∞));

本文注意到文獻[11]研究了在r=1,p∈C([t0,∞),(-∞,0))和η=1的情形下方程(1)解的振動性問題,文獻[12] 研究了在η=1的情形下方程(1)解的振動性問題。

本文的目的是繼續文獻[11-12]的研究, 建立方程(1)的若干振動準則,推廣和改進文獻[11-12]的結果, 并給出實例加以闡述。

定義1[1]稱

(2)

為函數y：(0,∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階積分,如果(2)式的右端在(0,∞)上是逐點定義的,這里α>0為一常數,Γ是通常的Gamma函數。

定義2[1]稱

(3)

為函數y：(0,∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階導數,如果(3)式的右端在(0,∞)上是逐點定義的,這里α>0為一常數,n=[α]+1,[α]是α的整數部分。

引理2[13]假設y(t)是方程(1)的一個解,且

引理3[14]設λ>1,U≥0,V≥0,則有λUVλ-1-Uλ≤(λ-1)Vλ。

1 主要結果

定理1 若對某一個t0>0有

(4)

(5)

證明：設y(t)是方程(1)的一個非振動解。不妨設y(t)是方程(1)的一個最終正解,則存在t1≥t0,使得y(t)>0及G(t)>0,t≥t1。利用引理1,由方程(1)、條件(H1)和(H2), 可得

(6)

(7)

利用引理2,有

(8)

對式(8)從t2到t積分,可得

(9)

定義Riccati變換

(10)

則w(t)>0,t≥t1。利用引理1,由式(1)和(10),可得

(11)

取

由式(11)和引理3有

(12)

對式(12)從t1到t積分得

下面利用Philos型的積分平均技巧[15],得出方程(1)的新的振動定理。為此引進如下一類函數J。令

D={(t,s)|t≥s≥t0},D0={(t,s)|t>s≥t0}。

函數H(t,s)∈C(D,R)稱為屬于J類, 記作H∈J, 如果

(ⅰ)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(13)

證明：設y(t)是方程(1)的一個非振動解。不妨設y(t)是方程(1)的一個最終正解。如同定理1的證明,可以得到式(11),兩邊乘以H(t,s),并從t1到t-1積分得

(14)

由分部積分法,有

(15)

將(15)代入(14)得

(16)

取

由式(16)和引理3有

(17)

(18)

令t→∞,有

與條件(13)矛盾。定理2證畢。

注：文獻[11]研究了方程(1)當r=1和η=1的情形下解的振動性問題, 文獻[12] 研究了在η=1的情形下方程(1)解的振動性問題, 定理1和定理2推廣和改進文獻[11-12]的結果。

2 應用

例1 考慮分數階微分方程

(19)

及

因此,定理1的條件全部滿足,從而方程(19) 的所有解都振動。