基于新型SMO的永磁同步電機無位置傳感器矢量控制系統

袁佳俊 劉 娟 康軒源 雷翔霄

（長沙民政職業技術學院，湖南 長沙 410004）

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor,PMSM）因其具有體積小、效率高、過載能力強等諸多優勢，在電動汽車、數控機床等多個應用領域中發揮了巨大作用，尤其是在先進制造領域傳動系統、大型艦船電力推進系統領域具有巨大的發展潛力[1-3]。為了提高PMSM的控制性能，矢量控制技術被廣泛應用于調速系統，并取得了良好的系統性能。然而，這種控制技術通常需要精確位置信息，通常是由高精度的位置傳感器來實現。但位置傳感器的使用也存在一些弊端，如增加電機的體積、成本和降低運行可靠性。為了解決這些問題，用觀測器來替代位置傳感器成為電機控制領域的重要研究方向。

主流的觀測器有模型參考自適應法（Model Reference Adaptive System,MRAS）、擴展卡爾曼濾波法（Extended Kalman Filter,EFK）和滑模觀測器（Sliding mode observer,SMO）等[4-7]。由于MRAS和EFK算法對電機參數十分敏感，導致魯棒性較差。與之相比，SMO由于具有滑?？刂频奶匦?，能夠快速達到穩定狀態，具有參數不敏感性，因此具有更強的參數魯棒性和較快的動態響應。然而，滑?？刂票旧頃е露墩駟栴}，且觀測到的轉子位置信息易受抖振影響，導致觀測精度降低。因此，改善SMO的高頻抖振問題成為國內外學者的研究熱點。

文獻[8]采用變指數趨近律結合非奇異快速終端滑?？刂品椒ㄓ行p小系統抖振，提高控制系統的動態響應能力和抗干擾能力。文獻[9]則使用sigmoid函數替換傳統滑模觀測算法中的開關函數，減輕了固有的抖振，且省略濾波環節。文獻[10]利用分段指數型函數替代開關函數，分段調節邊界層厚度，有效降低了高頻抖振。文獻[11]采用自適應算法略去了傳統的低通濾波器，提高了觀測精度，顯著減弱了系統抖振。文獻[12]設計了一種新型分數階趨近律，并采用改進的非線性轉速環擴展狀態觀測器來獲取精確的轉子速度信息。文獻[13]則用雙曲正切函數替換傳統滑模觀測算法中的開關函數，提高了速度和位置觀測的精度。這些研究主要通過改變或優化開關函數或增加低通濾波功能來減輕抖振問題。

本文主要是通過改善滑模面來改善高頻抖振，提高觀測精度，提出了一種新型SMO。該新型SMO達到了省略低通濾波器、減小系統穩態誤差、削弱抖振的效果。

1 永磁同步電機數學模型

1.1 靜止坐標系下PMSM數學模型

PMSM在α、β兩相靜止坐標系下數學模型為：

其中：Ld、Lq為d軸、q軸電感；ωe為電角速度；R為定子電阻；微分算子；[uαuβ]T為定子電壓；[iαiβ]T為定子電流；[EαEβ]T為擴展反電動勢（EMF），且滿足：

其中：ψf為磁鏈。

對于表貼式三相PMSM(Ld=Lq=Ls)表達式（2）為僅與電機的轉速有關，則能從其中提取轉子電角速度ωe和電角度θe，即：

2 新型SMO設計

2.1 靜止坐標系下SMO構造

靜止坐標系下Eα、Eβ可以通過構建的SMO估算得到，估算到的擴展反電動勢Eα、Eβ可以通過式（3）反正切函數計算出位置信息，則將式（1）改寫成電流的狀態方程形式：

傳統SMO的設計通常如下：

將式（4）和式（5）作差，可得定子電流的誤差方程有：

設計滑模面函數：

設計滑?？刂坡蔀椋?/p>

其中：

圖1 傳統SMO算法的實現原理框圖

2.2 一階系統積分滑模函數

傳統SMO中是使用s=ce的滑模面函數和等速趨近律=-εsgns的組合，速度跟蹤精度不夠，由式（6）可得本文研究系統是一階系統隸屬于式（10）：

其中：u(t)為控制輸入。本文針對一階系統引入積分設計滑模函數和指數趨近律的組合，減小系統穩態誤差，有效抑制抖振，并且不會出現變量的二階導數。

其中：c>0

跟蹤誤差為e1=x-xd，其中xd為理想信號，定義Lyapunov函數為：

其中，k>0。

將式（14）代入式（13）中得：

對式（12）求導得結合式（11）、式（13）：

不等式方程（16）的解為：

本文采用式（18）積分滑模函數，即：

其中：c1>0,c2>0。本文選取c1=20,c2=1000。

其中：=-Ks是指數趨近項，其解為s=s(0)e-Ks。

在指數趨近律中，為了保證快速趨近的同時削弱抖振，本文選取K=2000,ε=20。

使用積分設計滑模函數和指數趨近律的組合代替傳統滑模函數，則將式（7）、（9）改寫為：

2.3 sigmoid函數SMO構造

傳統的SMO采用不連續的開關函數，盡管一些改進型的控制策略采用飽和函數來替代，以緩解由開關函數突變引起的抖振問題，但抖振現象依然顯著。本文深入對比分析了sgn、sat、sigmoid和tanh這四種常用的切換函數，如圖2所示。開關函數以0為界，當輸入值出現小擾動時，輸出值變化加劇，導致系統出現高頻抖動。sat函數是一條線性變化的直線，這樣可以大大減弱抖振但魯棒性能減弱；sigmoid函數是一條連續變化的曲線，因其能在保證魯棒性的程度下又能為了最大程度減弱抖振問題，本文采用sigmoid函數來替代開關函數。

圖2 sgn、sat、sigmoid、tanh函數圖像根據實際控制

要求得sigmoid函數公式：

其中：a是正常數，它的大小影響函數的收斂性。

本文對sigmoid函數的a值進行了深入討論，針對a取2、10、20、100進行了詳細的圖像分析，如圖3所示。從圖3的波形分析中可以得出，在a>1的條件下，隨著a值的增大，sigmoid函數的收斂速度加快，滑?？刂葡到y的響應速度也隨之提升。然而，a值的增大也導致了函數邊界層厚度的減小，使得曲線特征更接近sgn函數，如圖3中a=100的曲線所示，這可能導致滑模抖振的產生。相反，當a取值較小時，sigmoid函數的邊界層厚度增大，曲線更為平滑，產生的滑模抖振較小，如圖3中a=2的曲線所示。在本文中選取a=20，以滿足系統的精度和魯棒性要求。使用sigmoid函數來替代傳統的開關函數，可以將式（5）進行如下改寫：

2.4 李雅普諾夫穩定性分析

在各種改進型的SMO中，最終的目標都是使估計值收斂到滑模面上。為了驗證新型SMO的穩定性，采用了李雅普諾夫（Lyapunov）函數進行判斷。

建立Lyapunov穩定性方程為：

對式（23）求導得：

根據穩定條件，需要滿足：

本文研究對象為表貼式PMSM有Ld=Lq，將式（6）代入式（25）得：

由于sigmoid函數性質，值域為（-1,1），所以εsigmoid(sβ)eq相比于Ksβ可忽略，所以將式（26）改寫為：

2.5 反正切函數的轉子位置估計

傳統SMO控制量通常為了獲取連續的擴展反電動勢估計值需要加入一個低通濾波器。但通過低通濾波處理后觀測反電動勢會發生幅值和相位的變化。因此為了獲取精確轉子位置信息，通常將式（3）進行補償。

由于濾波處理后會導致相位延遲，直接影響觀測精度。為了解決這一問題，本文采用sigmoid函數替代不連續的高頻切換信號，從而消除高頻切換信號的影響。同時，利用積分滑模面可以實現濾波的效果，避免了濾波器后觀測反電動勢發生的幅值和相位變化，并減少了角度補償環節的需求。綜上所述，新型SMO算法的實現原理如圖4所示：

圖4 新型SMO實現原理框圖

3 仿真實驗結果與分析

在MATLAB/Simulink仿真平臺上，基于一臺三相永磁同步電機進行系統仿真，系統參數詳見表1。選用定步長ode3（Bogacki-Shampine）算法，并將仿真步長設置為2×10-7s。在控制策略方面，采用id=0的電流、轉速雙閉環控制，并將參考轉速設定為Nref=1000r/min。根據仿真結果，進一步分析了基于SMO的矢量控制系統的仿真特性。

表1 PMSM-SMO仿真系統參數

綜上所述，基于SMO的三相PMSM無位置傳感器矢量控制系統如圖5所示，該系統在傳統的矢量控制技術基礎上進行了改進，增加了無傳感器控制策略。在無傳感器控制策略中，轉速反饋值和轉子位置的估計均依賴于SMO的輸出，從而實現了對機械傳感器的有效替代。

圖5 基于SMO的三相PMSM無位置傳感器矢量控制系統

根據圖5的矢量控制系統，本文構建了仿真模型，并進行了四組不同觀測器的仿真實驗，分別為基于開關函數、飽和函數、sigmoid函數SMO以及新型SMO。電機速度變化曲線如圖6～圖7所示。從圖6可以看出，在穩態時，飽和函數、sigmoid函數以及新型SMO的速度平穩性明顯優于開關函數。進一步觀察圖6（a）中的局部放大圖A、B，可以發現基于新型SMO的系統在啟動階段能夠更快地穩定到目標轉速，跟蹤速度快且精度高。

圖6 基于不同SMO矢量控制系統的轉速變化

圖7 基于不同SMO矢量控制系統的轉速誤差變化

由圖7可見，相較于基于開關函數的傳統SMO控制系統中，轉速誤差劇烈波動，啟動階段的抖振較大?；趕igmoid函數的傳統SMO控制系統中，穩態誤差在1.5~1.9r/min范圍內，抖振有明顯的減弱。

而在基于設計的新型SMO控制系統中，從啟動到穩態的過渡時間明顯縮短，且轉速誤差在0.1~0.4r/min范圍內，抖振有顯著削弱。與上述三種觀測器相比，新型SMO的效果更佳。從仿真結果可以看出，電機在加速到目標轉速1000r/min過程中，新型SMO的轉速估計誤差在加速階段有所改善，穩定運行后轉速估計誤差在0.1附近波動。

4 總結

本文利用sigmoid函數特性在降低系統抖振的同時還引入了積分滑模面，旨在提高系統的跟蹤精度并進一步削弱抖振?；谶@兩項改進，設計了一種新型SMO。為了驗證其穩定性，根據Lyapunov穩定性分析，并在MATLAB/Simulink仿真平臺上，對該系統進行了仿真實驗。通過與基于開關函數、飽和函數和sigmoid函數的SMO控制系統進行比較，結果顯示新型SMO在穩定運行過程中的速度觀測誤差在0.01附近波動，顯著降低了系統抖振，并提高了觀測精度。