應用旋轉矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣

楊文明

(山東省煙臺第三中學)

人教版高中物理教材定量分析了光的雙縫干涉條紋特征,而對于單縫衍射問題,教材未定量展開,但這并不妨礙高中生對定量探究單縫衍射圖樣心生好奇。新課標注重提高全體學生的科學素養,本文介紹旋轉矢量法,討論如何應用旋轉矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣,培養學生應用數學知識解決物理問題的能力,加深對光的衍射規律本質的理解,引導學生知其然,更知其所以然。

生活中有很多光的衍射現象:早晨或傍晚,透過羽毛看太陽,可以看到彩色的太陽光如圖1(a);黑夜里,打開手機閃光燈后拍攝光盤,可以看到漂亮的光圈;如圖1(b)在激光光束的傳播路徑上,放置一個直徑略微小于光束直徑的小鋼球,在小鋼球后方,光束陰影的中央出現一個亮斑,如圖1(c)。這些都是光的衍射現象,反映了光的波動性。

圖(a)透過羽毛看太陽,看到彩色的光

光繞過障礙物偏離直線傳播的現象即是光的衍射?！把堋弊值谋疽馐鞘裁茨?

甲骨文“衍”字的外部表示水流的邊界,中間是河流之形,如圖2。這是一個具有畫面感的文字,仿佛可以看到夏季大雨過后,雨水匯集在河溝,水頭奔涌向前。因水在向前流動時又沿途自然分散開,故“衍”字引申為“漫延”之意。用“衍”字定義光繞過障礙物偏離直線傳播的現象,相當準確、傳神。

圖2 “衍”字的甲骨文

2022年山東省高考第10題對單縫衍射知識進行了深度考查。題目如下:某同學采用圖3甲所示的實驗裝置研究光的干涉與衍射現象,狹縫S1、S2的寬度可調,狹縫到屏的距離為L。同一單色光垂直照射狹縫,實驗中分別在屏上得到了圖3乙,圖3丙所示圖樣。下列描述正確的是

( )

甲

A.圖3乙是光的雙縫干涉圖樣,當光通過狹縫時,也發生了衍射

B.遮住一條狹縫,另一狹縫寬度增大,其他條件不變,圖3丙中亮條紋寬度增大

C.照射兩條狹縫時,增加L,其他條件不變,圖3乙中相鄰暗條紋的中心間距增大

D.照射兩條狹縫時,若光從狹縫S1,S2到屏上P點的路程差為半波長的奇數倍,P點處一定是暗條紋

可以看出,B選項考查的是狹縫寬度改變后,中央亮條紋寬度如何變化。人民教育出版社高中2019版新教材,選擇性必修一第98頁,對于“狹縫寬度改變后,中央亮條紋寬度如何變化”這一問題的處理相對簡單,僅給出了紅光分別經過0.4 mm 和0.8 mm的單縫形成的衍射圖樣。密立根說:“科學靠兩條腿走路,一是理論,一是實驗。有時一條腿走在前面,有時另一條腿走在前面,但只有使用兩條腿,才能前進”。高中學生,尤其是高二的同學或參加競賽學習的同學,具備矢量運算的數學基礎,難免對定量探究單縫衍射圖樣心生好奇。為了加深對光的衍射規律的物理本質的理解、培養學生應用數學知識解決物理問題的能力,本文介紹旋轉矢量法,討論如何應用旋轉矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣。

1.旋轉矢量法

圖4 旋轉矢量的端點在x軸上的投影點的運動為簡諧運動

2.同一直線上兩個同頻率簡諧運動的合成

如圖5,設有兩個同頻率的簡諧運動

x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2)

圖5 兩個同頻率的簡諧運動的合運動

0時刻,兩個同頻率簡諧運動的合運動可以表示為x=x1+x2=A1cosφ1+A2cosφ2

合運動可以表示為x=Acosφ

任意時刻,兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為同頻簡諧運動,由矢量合成公式知

應用旋轉矢量法求合振幅可以用圖6表示。

圖6 應用旋轉矢量法求合振幅

由此拓展開來,多列簡諧波x0=A0cosωt,x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2),xn=Ancos(ωt+φn),其相干疊加可以用圖7表示。

圖7 多列簡諧波的疊加

3.應用旋轉矢量法推導單縫衍射的光強公式

圖8 單縫衍射光路圖

如圖9所示,P處的合振幅Aθ就是各子波的振幅矢量和。光屏上不同的P點對應的θ不同,Aθ亦不同,即光屏上光強不同。

圖(a)N個子波的振幅矢量和

可以求出多縫干涉的合振幅Aθ

在衍射圖樣中心處θ=0,因而狹縫上相鄰兩光帶之間的相位差也為0。如圖10所示。

圖10 衍射圖樣中心P0處的振幅

在這種情況下,向量箭頭首尾相接地排成一條直線,因而合成的振幅具有極大值A0,P0處振幅表達式為A0=NA

于是,P點的振幅大小可寫成

由于光的強度與振幅的平方成正比,若P0處的光強為I0,則P處的光強I為

4.單縫衍射圖樣的定量分析

4.1 衍射光強最大值

衍射光強的最大值在θ=0的位置,此時,N個子波振幅矢量排在一條直線上,合振幅最大,即光強最大。

4.2 衍射光強極小值(暗紋)的位置

由此發現,在其他條件相同時,波長越長,光的衍射現象越明顯?，F如今,5G、人工智能、自動駕駛等領域飛速發展,芯片集成度不斷提高,晶體管尺寸在不斷縮小,因此要生產更小的晶體管,減少因為光的衍射造成的影響,就需要波長更短的光源,這就是高科技公司在研發EUV(Extreme Ultra-violet)光刻機的原因。

4.3 衍射光強的分布曲線

圖11 衍射光強的分布曲線

進一步計算,可以得到單縫衍射各次級大的位置和相對光強,如表1。

表1 單縫衍射極大值的位置和相對光強

4.4 中央亮條紋寬度

光屏上中央亮條紋的寬度

回到上述高考題,B選項中,遮住一條狹縫,另一狹縫寬度增大,狹縫越大,衍射條紋越窄,圖3丙中亮條紋寬度減小,故B錯誤。

愛因斯坦說過“宇宙最不可理解之處,就是它可被理解”。應用旋轉矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣,可以加深學生對光的衍射規律的理解,進一步激發學習物理的熱情,培養學生應用數學知識解決物理問題的科學思維能力,加深對光的衍射規律本質的理解。平時教學中,注重對物理概念、規律的深刻理解,不僅可以拓展學生的知識面,引導學生知其然,更知其所以然,而且對高中教育與高等教育的銜接也是有益的,因此,建議中學物理教師多做些這樣的嘗試。