線性空間上線性變換可逆的若干等價條件

周慧倩

(洛陽師范學院 數學科學學院,河南 洛陽 471934)

0 引言

線性空間是高等代數的重要研究對象,是研究客觀世界中線性問題的重要理論.線性變換則是線性空間上最基本的一種變換,它反映了線性空間中元素之間的線性聯系.幾何上的旋轉變換、鏡面反射、相似變換、切變等都是線性變換[1].線性變換在泛函分析、積分方程等數學分支中都起著十分重要的作用.力學上描述物體的形變也涉及線性變換,計算機圖形學中也經常用到線性變換.研究線性變換對數學以及力學、物理、計算機、工程等眾多學科都有重要的意義[2].

線性變換可以定義乘法、加法、數乘以及逆運算,數域P上n維線性空間V上的全體線性變換關于加法和數乘構成線性空間L(V).通過線性變換與它在給定基下矩陣的對應,L(V)與P上全體n×n矩陣構成的線性空間Pn×n可建立同構關系[3]193.線性空間L(V)對于乘法也是封閉的,但是逆運算卻不是普遍可以進行的,只有部分線性變換是可逆的.文獻[4][5]列舉了線性變換可逆的一些充分必要條件.本文在此基礎上更深入而全面地探討這一問題,并且在一些證明中采用了不同的方法和思路.首先介紹可逆線性變換的定義和幾點性質,然后結合矩陣理論和映射理論,從線性變換的矩陣、特征值、值域、核以及同構等多個角度進行分析,得到線性變換可逆的若干個等價命題.考慮到無限維情形的特殊性,本文僅在有限維線性空間上討論.

1 可逆線性變換的定義及性質

那么

說明逆變換唯一.

由于L(V)中可逆線性變換的和不一定可逆,因此V的全體可逆線性變換不構成L(V)的子空間.

性質3說明V的全體可逆線性變換的集合對于乘法滿足封閉性,性質2說明該集合中任一元素有逆元,考慮到映射有結合律,V的恒等變換顯然是可逆線性變換,可作為單位元,因此我們有以下結論.

性質4V的全體可逆線性變換關于映射乘法構成群,稱為可逆線性變換群或非退化線性變換群.

2 線性變換可逆的若干等價條件

證明先證明(1)?(2).

AD=E,

說明矩陣A可逆.

于是

因此

再證明(1)?(3).

即

k1ε1+k2ε2+…+knεn=0.

接下來證明(2)?(4).

|A|=λ1λ2…λn,

A可逆的充分必要條件是|A|≠0,即λ1λ2…λn≠0,也即λi均不為0.

最后證明(1)?(5).

f(x)=|xE-A|=xn-(a11+…+ann)xn-1+…+(-1)n|A|.

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(a0≠0)

兩邊同時除以常數項得

聯系線性變換的值域與核以及映射理論,還可以得到線性變換可逆的幾個等價條件.

證明接著證明(1)?(6).

再由引理3,可得(6)?(7)?(8).

接下來證明(1)?(13).

3 結語

定理1、2給出了有限維線性空間上線性變換的14個等價命題,分別從矩陣、基、特征值、值域和核以及映射等角度進行研究,得到了線性變換可逆的13個充分必要條件.結合高等代數中的其他知識,我們還可以繼續研究這一問題,派生出更多的等價命題.另外,如果考慮無限維線性空間的情形,會有什么樣的結論,也是非常值得探討的問題.