基于剪切變換及凸集映射的2D數據重建技術研究

錢 峰

(黃山學院 網絡與信息管理中心,安徽 黃山 245041)

0 引言

高分辨率圖像檢測在數字應用中變得越來越重要.例如,醫學圖像MRI和CT需要能夠顯示出人眼無法辨別的細微病灶,而衛星圖像則至少需要能夠識別出人的長相和汽車的車牌號碼.在集成電路生產中,檢測裝置都需要足夠高分辨率的圖像來保證測量和控制的精度[1].然而,受困于成像感光元件CMOS和CCD的噪聲污染,實際應用中,圖像信噪比往往不夠高,圖像分辨率不但不會增加反而會降低[2].因此,圖像數據重建技術為信噪比差的圖像提供了良好的解決方案.

目前,圖像數據的重建研究主要可以分為兩大類: 空間域和頻域(變換域)的處理[3].空間域的圖像數據重建理論方法有迭代反向投影法、非均勻樣板內插法、最小二乘法、自適應濾波法、估計法和凸集映射等.這些處理方式基本上是傅立葉分析方法的延續[4].基于頻域的處理方法包括逆濾波算法、維納濾波法、去卷積R-L法、基于小波域邊緣保存正則化法和高斯去模糊法[5].

近年來,比較流行高維度稀疏數據法,其通過再降維收斂方式提高稀疏程度[6].主要的方法包括人工神經網絡、支持向量機和深度學習等[7-8].本研究將采用剪切變換理論來探討圖像數據的重建工作.通過剪切變換(Shearlet Transform)的數據稀疏表達能力,對圖像數據進行升維分解,然后對獲得的數據通過降維投影到原空間,之后在原空間內找到缺失數據的投影,并結合集合論中的凸集映射理論,來進行圖像數據的重建工作.

1 相關理論概述

1.1 離散剪切變換的實現方法

1.1.1 剪切變換的頻域離散實現過程

(1)

通過上述分析,Shearlet變換在某一固定尺度上的頻域實現步驟為[10]: 在時間域,實現圖像的多分辨率分解,形成子帶編碼,具體可使用拉普拉斯金字塔變換或高斯矩陣將圖像faj - 1[n1,n2]分解成高頻子帶fdj[n1,n2]和低頻子帶faj[n1,n2],高頻子帶描述的是圖像信息的細節特征,低頻子帶描述是圖像的輪廓特征,之后分別對兩個子帶進行傅立葉變換,仍然在偽極網格坐標系中計算,得到矩陣Pfdj; 然后對矩陣Pfdj利用帶通濾波器進行濾波處理; 之后重新定義笛卡兒采樣坐標后,并對每個子帶進行二維快速傅立葉反變換; 最后對濾波后數據的偽極反方向進行快速傅立葉變換,并相加得到剪切系數.

1.1.2 剪切變換的時域實現

為了提升剪切變換頻域實現的算法效率,同時,為了減少大尺寸算子的應用產生的吉布斯效應[11],本研究采用時間域的剪切變換.離散傅立葉域的剪切變換系數可根據式(2)計算:

(2)

(3)

1.2 凸集映射(POCS)方法的基本原理

凸集映射(Projection on Convex Sets,POCS)或交替投影法是一種在兩個封閉凸集的交集上找到一個點的方法.投影過程是指從給定向量空間的任意一點開始,一直投影到找到滿足所有凸約束集的解為止.重建過程可以定義為:

(4)

其中,yk(x,y)為第k幀低分辨像,hk(x,y,i,j)為點擴散函數,k=1,2,…,N,N為低分辨圖像的幀數,μ(x,y)為噪聲.如果凸集投影算子定義為P={p1,p2,p3,…,pn},其中n為集合P的個數.則凸約束集可定義為:

Ck(i,j)={f(i,j):|rk(x,y)|≤δk},

(5)

(6)

其中,δ=cσ,σ為標準噪聲差.重建圖像在凸集Ck(i,j)上的投影為:

(7)

1.3 結合POCS的剪切變換數據重建

眾所周知,如果兩個不在同一直線上的向量可以組成一個二維空間,那么這兩個向量稱為基向量,假設: 圖像缺失的數據是Y,原始圖像元素為X1,X2,它們構成一個二維空間或平面(X1,X2,Y).當向量Y與二維圖像空間垂直時,向量Y在X1和X2該空間上的投影為零(見圖1a); 當向量Y與二維圖像空間平行時,向量Y在該空間上的投影就是它本身(見圖1b); 當向量Y與二維空間不平行也不垂直時,向量Y在二維空間上存在投影(見圖1c),此時對應的方程組無解,但存在最優解.在基向量上分布乘某一系數,不能得到全部向量Y,但可以得到部分的投影向量P.為了使向量Y最大,問題就變成了如何使投影向量P最大,這個投影向量P可以分解成投影向量P和誤差向量e的組合,當誤差向量e在垂直一維空間中最小時,投影P最大.

圖1 Y和二維空間的關系

1.4 圖像質量的衡量指標

1.4.1 信噪比

信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)用來比較期望信號的強度與背景噪聲.它被定義為信號功率和噪聲功率之間的比值,用分貝(dB)表示.比值大于1(高于0分貝)表示信號大于噪聲.通常,信噪比用于描述電子信號,但也可以應用于各種其他形式的信號.信噪比的定義是:

(8)

式中Gt為最大灰度值,Gb為像素灰度平均值,σ為像素灰度的標準差.

1.4.2 峰值信噪比

峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)是指信號能夠表征的最大功率與影響其表征精度的破壞性噪聲功率之間的比值.由于許多信號具有非常寬的動態范圍,因此PSNR通常用對數分貝(dB)為單位表示.峰值信噪比的定義是:

(9)

式中MAXI為圖像點顏色的最大數值,如果每個采樣點用8位表示,那么最大值就是 255.MSE為圖像像素點均方差.

2 結果分析

2.1 實驗環境

測試環境: 操作系統為Windows 10,處理器為Intel(R) Core(TM) i5-6500,內存為6GB DDR4 RAM,仿真平臺為Python 3.7和Matlab 2010a,數據處理采用Origin 8,圖像重建采用Shearlab 3D,標準庫文件采用Open CV.本研究以Barbara圖像為研究對象,Barbara原圖像如圖2所示,圖像格式為JPG的灰度圖,尺寸為512×512.

圖2 Barbara原圖像

2.2 傅立葉變換及頻域濾波

為了檢驗離散剪切變換在圖像數據重建中的效果,分別測試數據缺失比例為40%、50%和70%的圖像重建效果,不同缺失比例的缺失圖和重建圖如圖3所示.

圖3 不同缺失比例的缺失圖和重建圖

不同缺失狀態下的重建結果如表1所示,程序的平均運行時間約為125 s,這證實了算法的有效性.在輸入數據大小一定的情況下,剪切尺度參數的選擇十分重要,如果剪切尺度過大,會對圖像復原結果產生振鈴現象.

表1 不同缺失狀態下的重建結果

2.3 剪切波實現不同方式實驗對比

為了驗證基于剪切變換處理凸集映射圖像的效果,我們采用了圖像金字塔模式進行頻域實現,并將結果與時域方法進行比較,不同剪切波實現方式重建結果如圖4所示.當圖像缺失狀態達到50%時,采用剪切變換處理的圖像重建效果要比圖像金字塔模式處理的效果好.這主要是因為圖像金字塔模式經過傅立葉級數展開后,選取有限項進行合成,由于不連續點的周期函數的存在,合成波形中出現峰值,這在圖像上表現為振鈴效應,它大大降低了圖像的質量.此外,基于圖像金字塔模式的計算復雜度高,采用頻域和時域兩種方式恢復圖片的結果如表2所示,但此時運行時間較長,達到了368.2 s.相反,剪切變換處理的數據冗余量較少,運行時間只有91.48 s.綜上所述,本研究提出的時域實現剪切變換的數據算法是可行的.

圖4 不同剪切波實現方式重建結果

表2 采用頻域和時域兩種方式恢復圖片的結果

3 結語

本研究通過傅立葉變換和偽極網格坐標系變換的實驗,驗證了離散剪切變換對圖像數據恢復的有效性,恢復后的圖像輪廓和紋理表達非常清晰.之后對比了剪切變換的不同實現方式(時域和頻域)對缺失50%的圖像數據重建質量的影響.結果表明: 基于時域的剪切變換數據算法是可行的,數據冗余較少,運行時間較短,重建后的圖像質量較好.