HPM視角下“正弦定理”的教學

夏宇

課題信息：宿州市教育科學規劃課題“HPM視角下高中數學教學創新設計的實踐研究”，課題編號為JKY20211093.

HPM是數學史與數學教育之間關系的簡稱，數學史融入數學教學是當下HPM研究的一個重要領域.在高中數學中，正弦定理是求解三角形的重要工具.在“正弦定理”的教學中，教師應該嘗試多種不同的教學模式.翻開數學史料，筆者發現古人已經探索出多種不同的正弦定理的證明方法，有不少漂亮的證法有必要介紹給學生，讓學生感受古人的智慧.基于此，本文中在HPM視角下，開發不同于以往的“正弦定理”的教學設計.

1 歷史的回顧

三角學研究歷史悠久，中國古代數學家商高和古希臘數學家畢達哥拉斯都證明了直角三角形中的勾股定理.對于反映任意三角形中邊角關系的正弦定理，雖然在歷史上發展較為緩慢，但也有不少證法.阿拉伯數學家和天文學家納綏爾?。?］最早用同徑法證明了正弦定理；16世紀中葉，法國數學家韋達在《數學法則》中借助外接圓證明了正弦定理；17世紀，英國數學家哈里斯利用直角三角形法證明了正弦定理；19世紀，尼克遜用輔助直徑法證明了正弦定理；上世紀50年代，逐漸出現了解析幾何的方法.隨著數學家們對正弦定理堅持不懈的研究，其證明方法也越來越多姿多彩.教師帶領學生跟隨古人的腳步，探索方法，體會思想，提升素養.

2 教學設計與實施片段

2.1 引入

師：在初中階段，我們學習了勾股定理和銳角三角比，能夠在直角三角形中進行邊角的計算.我們也知道，在任意三角形中，大邊對大角，小邊對小角，那如何準確表達任意三角形的邊角關系呢？這就是今天要給同學們介紹的正弦定理.

2.2 知識生成

師：公元2世紀，古希臘天文學家托勒密就已知曉正弦定理，到了中世紀，阿拉伯著名天文學家阿爾·比魯尼也知道正弦定理的內容.但是，最早記載證明正弦定理的是阿拉伯數學家和天文學家納綏爾丁.

如圖1，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.分別在BA，CA的延長線上取點E，G，使BE=CG=1.分別以B，C為圓心，1為半徑作圓弧交BC的延長線于點J，I.分別過G，A，E作BC的垂線，垂足分別為H，D，F.所以半弦EF=sin ∠ABC，GH=sin ∠ACB.由△ABD∽△EBF，得ABBE=ADEF，同理可得ADGH=ACCG，兩式相比得到ABAC=sin ∠ACBsin ∠ABC，進一步可得asin A=bsin B=csin C.此即正弦定理的內容.

生：正弦定理結構對稱，內容簡潔.納綏爾丁的作圖比較巧妙，但證法有點繁瑣，不易想到，可望而不可即.

師：巧妙的證明說明古人對問題進行了深入研究和持續的思考，值得我們學習.

2.3 方法探究

師：16世紀中葉，法國數學家韋達在《數學法則》中借助外接圓證明了正弦定理.如圖2，△ABC外接圓圓心為O，半徑為R，作OD⊥BC于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥AB于點F.你能根據圖形試著證明正弦定理嗎？

生：因為∠BOC=2∠BAC，所以∠BOD=∠BAC.在Rt△BOD中，BD=OB·sin ∠BOD，所以BCsin ∠BAC=2BDsin ∠BOD=2OB=2R，從而正弦定理得證.

師：很好！

生：這不僅證明了正弦定理，還可以看出定理中的比值是有幾何意義的，這個比值就是△ABC外接圓的直徑.

師：是的，這種證法邏輯清晰，簡潔明了.我們再次體會了古人的睿智.

師：17世紀，英國數學家哈里斯利用直角三角形法證明了正弦定理.如圖3，在△ABC中，AD⊥BC于點D.請同學們思考，哈里斯是如何證明正弦定理的？

生：在Rt△ABD中，AD=ABsin B；在Rt△ACD中，AD=ACsin C.所以可得ABsin B=ACsin C，即ABsin C=ACsin B.

師：你的證明非常好，哈里斯和你的思路一樣，不過表達有點區別.當時人們對三角函數的定義與現在不同，他是這樣證明的：ABAD=Rsin B，ACAD=Rsin C，兩式相比得ABAC=sin Csin B.到19世紀，英國數學家伍德豪斯在證明過程中，把三角函數看成比值，R統一取為1，則有AD=ABsin B=ACsin C，這就和同學們的證明一樣了.

生：這種證法也很簡潔??！

師：19世紀，尼克遜用輔助直徑法證明了正弦定理.如圖4，在△ABC中，AD⊥BC于點D，作△ABC外接圓O，直徑BE=2R，連接EA，EC.請同學們結合圖形思考，尼克遜是怎樣證明正弦定理的？

生：容易看出，△BAE∽△ADC，則ABAD=BEAC.又因為AD=ABsin ∠ABD=ACsin ∠ACD，所以bsin ∠ABC=csin ∠ACB=2R.

師：很好，同學們能將前面的證法進行遷移.

師：上世紀50年代，逐漸出現了解析幾何的方法.在△ABC中，建立如圖5所示的兩種平面直角坐標系，你能分別寫出點C的坐標嗎？又如何證明正弦定理呢？

生：在圖5①中，點C（bcos A，bsin A）；而在圖5②中，點C（acos（π－B），asin（π－B）），即點C（－acos B，asin B）.易知，它們的縱坐標相同，所以bsin A=asin B，即asin A=bsin B.

師：很好！這樣我們大致把古人對正弦定理的證法梳理了一番，大家有什么體會呢？

生：可以看到，隨著數學的發展，證明思路越來越多，證明方法越來越簡潔.每一種方法都值得我們好好領悟.

生：是的，我們不能低估古人的智慧，要學習他們研究問題時追求嚴謹的科學精神以及堅持不懈的意志品質.

師：同學們說得非常好！其實數學家們還有其他一些證明正弦定理的方法，同學們可以課下再去查閱資料.

3 教學感悟

首先，本節課筆者對數學史料的應用方式主要是復制式和重構式［2］.納綏爾丁的證明方法比較麻煩，所以通過復制式直接介紹給學生，重在體會理解；后面幾種方法較為容易，所以通過重構式帶領學生一起探究.通過實踐發現，在HPM視角下進行正弦定理的教學，學生興趣高昂，思考積極，整堂課鮮活、有趣、精彩、有生命力，效果很好.

其次，在教學中滲透數學家的故事，介紹數學知識的演進，可以讓學生體會知識之和諧，方法之多變，探究之美妙.

知識之和諧：在教學中，注意引導學生去體會正弦定理的簡潔性、對稱性；在用各種方法證明時，體會思路的自然生成.

方法之多變：通過多種方法的探究，開闊了學生的視野，提高了他們一題多解的能力，提醒數學的學習需要解放思想，創新進取.

探究之美妙：教師作為引導者，引領學生去思考，去解決問題，學生在一次又一次的艱辛思考中，體會到數學探究的美妙之處.

最后，筆者認為，HPM視角下的數學教學既可以提升學生核心素養，也可以發揮其德育價值.例如，本節課中，以問題驅動學生去尋找知識本源，提升邏輯推理素養；以圖形為輔助，提升直觀想象素養.本節課的教學過程也是正弦定理的歷史發展過程，學生在探究中受到數學文化的浸潤，這種文化的力量會持續地影響學生的思維習慣.同時，學生也會學習到數學家們求真、求善、求美的精神和堅毅的品質.

參考文獻：

［1］汪曉勤.20世紀中葉以前的正弦定理歷史＼.數學通報，2016（1）：1-5，27.

［2］汪曉勤.HPM：數學史與數學教育＼.北京：科學出版社，2017.