數學課堂有效對話的三點認識

黃曉琳

課題信息：福建省教育科學“十四五”規劃2021年度常規課題“中學數學素養立意教學的測評導向推進策略研究”，課題編號為FJJKZX21-576；2021年泉州市基礎教育教學改革專項課題“指向數學應用能力提升的教學評一體化研究”，立項批準號為QJYKT2021-015.

隨著時代的不斷發展，個體的民主意識不斷增強，對話慢慢成為解決人際問題與處理社會關系的有效途徑.教即傾聽，學即訴說.從某種意義上說，教學的本質就是對話，教學中教師既要能說，又要會聽；學生既要會聽，也要能說.但現實的常態課中，囿于師道尊嚴的成見，加之教學進度的藉詞，教師不愿也不舍得對話；礙于對話能力的制約，加之學習慣勢的緣故，學生不會也不敢于對話.在公開課中能夠聽到的對話也常表現出目的不明、層次不清、節奏不好、深度不夠、參與面不廣、真實性不高等問題.

筆者以“任意角的三角函數”為例，探討如何加深數學對話教學的認識，提高數學教學對話的質量，進而達到有效教學的目的，與同行交流切磋.

數學對話教學，需要遵循平等、尊重的原則，師生在課堂中追求彼此信任，通過語言，真誠、科學地進行數學知識的交流、情感的溝通以及思想的碰撞，分享彼此已有的數學經驗并交換過程中生成的各種數學資源，最終達成師生共同的數學發展.

數學嚴謹的邏輯性要求對話必須精心理性地設計，科學而又有序地展開；數學高度的抽象性要求師生將各自冰冷的形式化感知轉化為火熱的非形式化對話，在追問中層層遞進以致本質的理解；數學廣泛的應用性要求教師在知識的應用過程中，通過對話引導學生將知識的認知進一步深化與升華.

1 對話預設與生成的處理

對話必須真誠，追求在真實的狀態下自然地生成；對話也須嚴謹，統籌于精密的計劃中合理地推進.

對話教學有效開展的前提條件就是處理好對話的預設與生成之間的關系，在有限的時間內讓對話的成效達到最優化.筆者認為，解決對話的預設與生成應該考慮以下三點：（1）明確本節課各教學環節及其教學目的；（2）達成各教學環節教學目的需要的對話內容；（3）根據不同的對話內容，設計適切的對話模式.

在毫無準備的情況下，有限的課堂時空中難以生成高質量的對話.要保證課堂的對話能夠順暢、高效，筆者認為可以將預設的對話做成“對話單”，讓學生按要求事先做好準備.

以“任意角的三角函數”的第一環節即引入階段為例，該階段要完成的教學目標有兩個：（1）適當的舊知教學回顧；（2）感知新知的學習意義.

根據學生的實際以及對話教學開展的情況，教師可以設計不同作用及開放程度的對話內容.例如，可以布置對話1“回顧任意角的推廣”、對話2“學習任意角三角函數需要哪些預備知識”這樣具體明確的任務，也可以布置對話3“尋找周期變化的實例”、對話4“三角函數有哪些實際應用”這樣相對開放的任務.其中，對話1和對話2屬于明確性任務，對話3和對話4屬于開放性任務.相對于課堂突然的對話，學生在事先的準備中，通過查找相應資料與文本對話，通過思考如何發言與自我對話，既擴大了學生對話的多樣性，又提高對話的時效性.

對于舊知的回顧，可以采用“闡述—評論—歸納”的對話模式，即教師在課堂中隨機指定一位學生闡述自己對任意角的三角函數所需預備知識的看法，其他同學進行補充式評論，教師適時進行歸納.對于新知的意義，可以采用“演示—感悟—概括”的對話模式，即教師將學生“對話單”中列舉的三角函數的應用實例用投影儀或PPT展示出來，讓大家在分享中感悟，在感悟中辨析，教師再指定一位學生進行概括或者教師自己進行概括.

2 對話時機與節奏的把握

對話注重時機，在恰當的時候進行適當的交流；對話講究節奏，在合適的階段進行適度的溝通.

對話教學有效開展的關鍵環節就是考慮好對話的時機與節奏的把握，在有限的時間內讓對話的成效達到最佳化.筆者認為，處理對話的時機與節奏應該考慮以下三點：（1）明確本節課教學的重點與難點，學習的疑點與易錯點；（2）在教學的重難點處不惜時力進行辨析討論；（3）在學習的疑錯點處反復地引導生疑示誤，以便不斷地釋疑糾錯.

在數學教學中，我們可以借助信息技術將冰冷的形式化語言轉化為形象的圖形語言，再通過通俗易懂的文字語言進行火熱的討論辨析與不斷的糾錯釋疑，將直觀的感知與淺層的思維不斷地引向深化.

以“任意角的三角函數”的第二環節即抽象階段為例，該階段要完成的教學目標有兩個：（1）自然地實現定義中的“長度比”到“坐標比”的躍升；（2）合理地辨析“終邊點法”與“單位圓法”的關系.

根據學生的實際以及對話教學開展的情況，教師可以設計不同開放程度的對話.如，對話5“喚醒長度比的經驗—感悟引入坐標比的必要—討論辨析長度比與坐標比的聯系與區別”，對話6“從相似比角度分析終邊點法—從簡約性角度引出單位圓法—討論辨析終邊點法與單位圓法的聯系與區別”，這樣的對話按剝絲抽繭、層層遞進的方式進行概括；或者對話7“直接對比闡述長度比與坐標比—討論辨析長度比與坐標比的聯系與區別”，對話8“直接對比闡述終邊點法與單位圓法—討論辨析終邊點法與單位圓法的聯系與區別”，這樣的對話按開門見山、直截了當的方式進行分析.對話5、對話6要求教師能夠敏銳地把握時機，在抽象過程中，設置高質量的對話，通過不斷的追問引領學生完成概念形式化的構建.按抽象的階段，對話5是從長度比到坐標比，教師可以設計1個設問、3個追問、1個討論，即設問初中三角函數的定義，追問“銳角改為鈍角，能否再用長度比？”追問“角的變化過程中，還有其他不變的比值嗎？”追問“能否從函數角度分析一下三角函數的三要素？”討論一下長度比與坐標比的聯系與區別.對話6是從終邊點到單位圓，教師可以設計1個演示、3個追問、1個討論，即軟件演示固定終邊上的動點，追問“變化過程中的變與不變？”追問“能否讓比值更簡潔？”追問“能否從函數角度分析一下三角函數的函數值符號與值域？”討論單位圓法與終邊點法的聯系與區別.對話7、對話8對學生對話素養要求比較高，教師必須通過“對話單”事先讓學生明確并精心準備兩個討論議題，課堂上教師通過分組，先由分組代表上臺闡述兩種方法，再讓組員對兩種方法的聯系與區別，或優點與缺點進行討論，教師只需適當地對學生的辨析進行歸納總結并板書即可.

3 對話深度與廣度的控制

對話要有深度，務求數學味的問題導引思維；對話也要廣度，調動盡量多的學生參與其中.

對話教學有效開展的重要保障就是控制好對話的深度與廣度，在有限的時間內讓對話的成效達到最大化.筆者認為，處理對話的深度與廣度應該考慮以下三點：（1）研讀課標要求，把握正確方向是控制對話深度、廣度的前提；（2）鉆研教材相關內容及高考真題，選擇典型素材是控制對話深度、廣度的關鍵；（3）根據學生數學現實，設計適切方案是控制對話深度、廣度的保障.

變式教學是我國數學課堂的特色，融變式于對話，促進概念內涵的深化理解，以及概念外延的拓展應用；活動融入教學是課程改革的追求，在活動中進行對話，既擴大了對話交流面，又提高對話的思維深度.教師可以從這兩個方向設計對話.一個方向是例題的變式追問.如例題1：求5π3的三角函數值.可以在同學板演后進行單位圓法與終邊點法的解法對比的對話；例題2：已知點P（1，t）在角α的終邊上，若cos α=23，求t.可以在進行三角函數定義問題的解法、規范與易錯點總結時對話.另一個方向是例題的活動談論.如設計活動1：利用尺子、量角器、圓規任意畫一個角，并計算其三角函數值；活動2：利用尺子、量角器、圓規任意畫一個正弦值為－23的角.后面設計“說一說，活動1中三角函數值是如何計算的？活動2的角是如何畫的？三角函數的定義在上述活動中的作用是什么？”的對話

以“任意角的三角函數”的第三環節即應用階段為例，該階段要完成的教學目標有兩個：（1）通過應用掃清學習障礙，明辨思維誤區；（2）通過應用，對比并優選方法，規范語言表達.

以教材例1為例，筆者設計了四種不同的對話方案.①對話9：對角的終邊進行變式，強調終邊的理解；

②對話10：對解法進行變式，強調解法的對比；③對話11：對不同象限角的對比，通過討論擴大對話參與面，暴露學生應用的更多問題，并在此基礎上進行格式、解法的討論概括；④對話12：將例題改編成活動方案，讓學生分組操作，增加問題的趣味性，體驗知識的實用性，在正反兩向應用與師生間的互動對話中，進一步明晰“長度比”與“坐標比”二者的聯系與區別，感悟“單位圓定義法”與“終邊坐標法”各自的優勢與局限.