指數函數背景創設，復合函數情境應用

顧艷

與指數函數有關的復合函數是指結合指數函數的概念、基本知識與簡單函數（一次函數、二次函數等）復合而成的新函數.

解決與指數函數有關的復合函數情境應用問題，通常借助函數的解析式、相關概念、基本性質、函數圖象等，結合相關的思維技巧，合理轉化，巧妙變換，將復雜的復合函數問題簡單化，從而實現問題的分析與解決，提升學生的思維能力.

1 性質問題

1.1 函數的單調性

例1? 函數f（x）=12x2-2x-1的單調遞增區間為.

分析：根據題意，對指數進行整體化處理，合理構建函數，通過對應二次函數的配方處理，先確定二次函數的單調性，進而確定單調區間，再結合指數函數的單調性與復合函數單調性的規律解決問題.

解析：令t=x2－2x－1，則函數t=（x－1）2－2在區間（－∞，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增.

又函數y=12t是R上的減函數，因此

由復合函數單調性的規律，可知函數f（x）=12x2-2x-1在區間（－∞，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減.

故填答案：（－∞，1）.

點評：復合函數的單調性可以利用復合函數的內、外層函數的不同單調性情況，概括為“同增異減”這一基本規律.特別要注意的是，在解決復合函數的單調性問題時，一定要注意“定義域優先”的基本原則，同時熟練掌握基本初等函數的單調性，在相應的定義域內加以分析與討論.

1.2 函數的值域

例2? 函數f（x）=12x2-6x+5的值域為（? ）.

A.（0，16＼〗

B.＼0，116

D.116，+∞

分析：根據題意，對指數進行整體化處理，引入參數構建二次函數，并通過配方處理確定二次函數的值域；結合指數函數的定義域、函數的圖象與性質，利用復合函數的基本性質來分析與處理.

解析：設u=x2－6x+5，且u=x2－6x+5=（x－3）2－4≥－4.

又指數函數y=12u是R上的減函數，結合函數g（u）=12u，u≥－4，所以0＜g（u）≤g（－4）=16，即函數f（x）的值域為（0，16＼〗.

故選：A.

點評：通過分解復合函數，利用內、外層函數之間的關系，結合內層函數的解析式確定其值域，再通過“由內到外”來求解相應的值域即可.在解決指數函數背景下的復合函數的值域或最值問題時，可以按照“由內到外”的順序研究復合函數的內函數值域A與外函數定義域B之間的關系，保證內函數值域A是外函數定義域B的子集，再結合條件中相關函數的單調性等性質加以分析與求解.

2 常數問題

例3? 已知函數f（x）=aex2-1－1，a為常數，若函數y=f（x）的最小值為0，則實數a的值為.

分析：根據題意，對指數進行整體化處理，引入參數構建二次函數，進而確定二次函數的單調性與單調區間；結合指數函數的單調性，利用復合函數的基本性質，分別討論a=0，a＜0和a＞0時對應函數的單調性與單調區間；結合題設條件進行分析，進而構建函數最小值的關系式，得以確定對應的實數a的值.

解析：設u=x2－1，則函數u=x2－1在區間（－∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增.

又指數函數y=eu是R上的增函數，所以分類討論如下.

當a=0時，可得f（x）=－1恒成立，不符合題意，舍去.

當a＜0時，結合復合函數的單調性，可知函數f（x）=aex2-1－1在區間（－∞，0）上單調遞增，在區間（0，+∞）上單調遞減，此時函數f（x）在x=0處有最大值，無最小值，不符合題意，舍去.

當a＞0時，結合復合函數的單調性，可知函數f（x）=aex2-1－1在區間（－∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增，此時函數f（x）在x=0處有最小值，無最大值，且f（0）=ae－1=0，解得a=e.

綜上所述，函數y=f（x）最小值為0時，a=e.

故填答案：e.

點評：抓住常數的不同取值情況以及常數與復合函數的關系進行分類討論，利用常數的正負取值情況對復合函數在不同區間上的單調性的影響，結合相關的概念與基本知識加以綜合與應用.熟練掌握復合函數的單調性以及基本初等函數的基本性質，是破解此類綜合應用問題的關鍵.

3 應用性問題

例4? 中國的鎢礦資源儲量豐富，在全球已經探明的鎢礦產資源儲量中占比近70%，居全球首位.中國又屬贛州鎢礦資源最為豐富，其素有“世界鎢都”之稱.某科研單位在研發鎢合金產品的過程中發現了一種新合金材料，由大數據測得該產品的性能指標值y與這種新合金材料的含量x（單位：g）的關系：當0≤x＜6時，y是x的二次函數；當x≥6時，y=13x－t.測得數據如表1（部分）.

（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；

（2）求函數f（x）的最大值.

分析：根據情境內容，通過分類討論，在自變量不同的取值情況下，結合對應的函數類型利用待定系數法求解，得以確定對應的函數關系式，并利用不同變量取值情況下，二次函數的最值以及指數型函數背景下復合函數的最值情況，得以確定函數的最大值.

解析：（1）當0≤x＜6時，由題意，設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由題中表格數據可得

f（0）=c=0，f（1）=a+b+c=74，f（2）=4a+2b+c=3，解得a=-14，b=2，c=0.

所以當0≤x＜6時，f（x）=－14x2+2x.

當x≥6時，f（x）=13x－t，由題中表格數據可得，f（9）=139－t=19，解得t=7.

所以當x≥6時，f（x）=13x－7.

綜上，y關于x的函數關系式為

f（x）=-14x2+2x，0≤x<6，13x-7，x≥6.

（2）當0≤x＜6時，f（x）=－14x2+2x=－14（x－4）2+4，所以當x=4時，函數f（x）取得最大值4.

當x≥6時，f（x）=（13）x－7單調遞減，所以f（x）的最大值為f（6）=（13）6－7=3.

而4＞3，所以函數f（x）的最大值為4.

點評：在解決涉及復合函數中的應用性問題時，關鍵是借助對相關文字內容的理解，合理構建數學中的相關模型，為問題的進一步綜合與應用提供條件.研究分段函數背景下的最值問題，要分別討論自變量在不同取值范圍下對應函數的最值或取值范圍情況，然后加以綜合.

復合函數情境應用與創新應用問題是高中數學中的一個知識交匯點與融合點，也是一個重點與難點，是每年新高考數學試卷中必考的重點基本內容之一.借助指數函數背景來創設相應的復合函數情境，結合指數函數自身的特點與性質，并綜合復合函數的相關知識，滲透相關的數學思想方法，構建數學知識網絡體系，優化數學解題思維，提升數學解題能力，全面培養數學核心素養.