一道高考圓錐曲線題的解法探究與反思

高玉立

高考數學真題是眾多優秀命題專家精心設計出來的.其中解析幾何壓軸題，緊扣教材，立足考查學生的能力.

1 試題呈現

試題? （2020全國I卷理科20題，文科21題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一個交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

2 解法探究

第（1）問常規解法，過程略.答案為x29+y2=1.下面只對第（2）問的解法作多角度探索.

思路一：如圖1，注意到kPB=3kPA，以及A，B是橢圓的左、右頂點，從而可以借助橢圓第三定義，利用kAC與kAD關系進行求解.

解法1：利用橢圓的第三定義將非對稱式轉化為對稱式問題.

設P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9，kBD=kPB=t3，可得kBD=3kAC.

又由橢圓的第三定義，知kAD·kBD=－19，所以kAC·kAD=－127，即

y1x1+3·y2x2+3=－127.①

將x=my+n代入x29+y2=1，得

（m2+9）y2+2mny+n2－9=0.

所以y1+y2=－2mnm2+9，y1y2=n2－9m2+9，可得

x1+x2=my1+n+my2+n=18nm2+9，

x1x2=（my1+n）（my2+n）=9n2－9m2m2+9，代入①，化簡可得2n2+3n－9=0.

解得n=32或n=－3（舍去）.

所以直線CD的方程為x=my+32，即直線CD過定點32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點32，0.

綜上，直線CD過定點32，0.

評注：本解法通過橢圓的第三定義巧妙得到直線AC和AD的斜率之積為常數，從而轉化為我們熟悉的斜率之積問題.

思路二：如圖2，注意到kPB=3kPA，利用橢圓的方程實現斜率的轉換，建立kAC與kAD的關系進行求解.

解法2：利用橢圓的方程將非對稱式轉化為對稱式問題.

設P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9=y1x1+3，kBD=kPB=t3=y2x2－3.②

由點C在橢圓E上，得x219+y21=1，則有

y21=－（x21－9）9=－（x1+3）（x1－3）9，

即y1x1+3=－x1－39y1，代入②，得

3y1y2=－（x1－3）（x2－3）.③

將x=my+n代入x29+y2=1，得

（m2+9）y2+2mny+n2－9=0.

所以

y1+y2=－2mnm2+9，y1y2=n2－9m2+9，可得

x1+x2=my1+n+my2+n=18nm2+9，

x1x2=（my1+n）（my2+n）=9n2－9m2m2+9，

代入③，化簡可得2n2+3n－9=0.

解得n=32或n=－3（舍去）.

所以直線CD的方程為x=my+32，即直線CD過定點32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點32，0.

綜上，直線CD過定點32，0.

評注：本解法通過橢圓的方程，將非對稱性韋達定理轉化成傳統的對稱性韋達定理，從而通過基礎聯立使問題得到解決.

思路三：注意到kAC=13kBD，兩次利用斜率建立對偶式，從而實現不聯立方程使問題得到解決.

解法3：利用橢圓的方程構造對偶式.

設P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設直線CD：x=my+n（－3

kAC=kPA=t9=y1x1+3，kBD=kPB=t3=y2x2－3，④

從而有3·y1x1+3=y2x2－3，即

x1y2+3y2=3x2y1－9y1.⑤

由點C在橢圓E上，得x219+y21=1，從而有

y21=－（x21－9）9=－（x1+3）（x1－3）9，

即y1x1+3=－x1－39y1.

同理，有y2x2－3=－x2+39y2.

所以3·x1－39y1=x2+39y2，即

3x1y2－9y2=x2y1+3y1.⑥

由對偶式⑤⑥，解得n=x1y2－x2y1y2－y1=32，即直線CD過定點32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點32，0.

綜上，直線CD過定點32，0.

評注：本解法通過兩次使用橢圓方程得到斜率的兩個對稱式，真正實現了設而不求，大大簡化了計算.

思路四：從題干中的構圖順序，按圖索驥，逐個計算出各個點的坐標，從而使問題得到解決.

解法4：從構圖順序逐點計算.

設P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2）.

（?。┤魌≠0，設直線CD：x=my+n（－3

易知直線PA的方程為y=t9x+t3.

聯立y=t9x+t3，x29+y2=1，消去y，得

（t2+9）x2+6t2x+9t2-81=0，

從而有－3+x1=-6t2t2+9，－3x1=9t2-81t2+9，解得x1=－3t2+27t2+9，y1=6tt2+9，即點C的坐標為－3t2+27t2+9，6tt2+9.

同理，可得點D的坐標為3t2－3t2+1，－2tt2+1.

解得n=x1y2－x2y1y2－y1=32.

所以直線CD過定點32，0.

（ⅱ）若t=0，則直線CD的方程為y=0，過點32，0.

綜上，直線CD過定點32，0.

評注：本解法依據題干中圖形的形成順序，從直線PA與橢圓方程聯立求出點C坐標，再從直線PB與橢圓方程聯立求出點D坐標，進而求出直線CD的方程，這種思路更加自然，不足之處是運算量比較大，因此需要學生平常反復訓練計算.

3 思路總結

對于上述四種思路，前三種思路都是直接從直線CD：x=my+n出發.

思路一利用了橢圓的第三定義kDAkBD=e2－1將非對稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1轉化成了對稱式.

思路二利用了橢圓方程x219+y21=1的變形形式y1x1+3=－x1－39y1將非對稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1轉化成了對稱式.

思路三兩次利用了橢圓方程x219+y21=1，x229+y22=1的變形形式得到兩個非對稱式x1y2+3y2=3x2y1－9y1，3x1y2－9y2=x2y1+3y1構成的對偶式，從而確定定點.

思路四是基于圖形的形成順序，依次算出C，D兩點的坐標，然后求出CD的方程，最后算出定點坐標.

四種思路的關聯如圖3所示：

直線CD過定點

設出CD：x=my+n

思路一：通過第三定義實現非對稱式化對稱式

思路二：通過橢圓方程將非對稱式化為對稱式

思路三：通過橢圓方程得到兩個非對稱式構成的對偶式

思路四：分別通過直線PA，PB求出C，D的坐標——寫出直線CD的方程得到定點

韋達定理是解決直線與圓錐曲線相交問題的常見工具，可以有效解決x1+x2，x21+x22，1x1+1x2之類的式子，而像本題中出現的3·y1x1+3=y2x2－3，由于對應的變量前的系數是不相等的非對稱結構，就可以采用本文中的思路進行非對稱轉化.下面提供的一道練習題，就可以采用本文中的思路去解決.

練習? 已知F為橢圓E：x24+y23=1的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過點F作直線l與橢圓交于M，N兩點（不與A，B重合），記直線AM與BN的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.

4 解后反思

4.1 注意條件的轉化

很多學生之所以認為解析幾何問題較難，是因為不會使用題中的條件.因此，教師需要引導學生加強用代數運算的方式解決幾何曲線問題這一思想的滲透，用合理的代數方式轉化條件中的幾何表述，在注重積累的基礎上提高條件轉化的合理性.比如，本題中通過橢圓定義的使用，將非對稱的韋達定理問題轉化成對稱性的韋達這理問題，從而簡化了計算.

4.2 注重計算能力的訓練

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據法則解決數學問題的素養［1］.

高考試題是為了選拔適合高校并為將來社會服務的人才，因此對計算能力的要求很高.在平常的教學中，要加強學生計算能力的培養，讓學生在遇到復雜運算時不畏懼并保持高度的細心，這也是今后從事科研工作所不可或缺的品質.

4.3 注重微專題的變式精講

這類非對稱的定點與定值問題，其實并不是全新的問題，這就要求我們在日常教學中對于一些典型性問題要精編精整理，以微專題的形式實現知識方法的串聯、整合，由易到難，層次分明，循序漸進，力求貼近學生的知識經驗和能力基礎，貼近學生的情感態度與思維水平，使得學生的技能水平自然而然得到提高.

4.4 注重學生思維能力的培養，適應新高考要求

高考是選拔性考試，是為了給高等學校尤其是高水平大學挑選合適的人才.我們的數學教學也要培養學生的思維能力，能夠創新性地解決問題.通過對一道題的多角度、多方法的思考，不斷提升數學學科素養，以適應時代發展的要求.

當然，本題也涉及到極點、極線的背景，對于一些學有余力的學生，在日常教學中也不妨給他們適當補充點課外知識，激發他們的興趣.教師要讓學生盡可能完成“跳一跳”可以完成的任務［2］.總之，這道高考題內容豐富，解法多樣，立足基礎，又能充分發揮學生的創新性，讓人回味無窮，實在是一道好題！

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）＼.北京：人民教育出版社，2018.

［2］波利亞.怎樣解題＼.北京：科學出版社，1982.