PISA 2022 數學推理分析與啟示
——以樣題為例

王邵懿琳 朱 雁

（華東師范大學教師教育學院 上海 200063）

PISA （Programme for International Student Assessment）是經濟合作與發展組織（簡稱OECD）發起的、全球范圍內影響最廣的國際測評項目之一，主要評估15 歲學生運用閱讀、數學和科學知識與技能應對現實生活挑戰的能力。自2000 年起，PISA每隔3 年進行一次修訂和測評，數學作為主測科目，經歷了PISA 2003、PISA 2012 和PISA 2022。［1］與前兩次測評相比，PISA 2022 數學測評框架在數學素養定義、測評內容的組織以及數學素養評估方面均做出了大幅更新，主要表現為PISA 2022 框架突出數學推理在問題解決中的核心地位，強調真實的數學情境以及21 世紀技能。

一、引言

我國《義務教育數學課程標準（2022 年版）》將“推理意識”作為小學階段的核心素養之一，其定義為：對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。在初中階段，相關的核心素養進一步提升為“推理能力”，其定義為：從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力。［2］與此同時，《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》也明確將“邏輯推理”作為數學學科的六大核心素養之一。［3］美國州立數學核心標準（Common Core State Standard for Mathematics，簡稱CCSSM）也提出對數學推理的要求：抽象化、量化地進行推理，構建可行的論證，評判他人的推理。全美數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）將“推理與證明”作為學校數學原則與標準的五項原則之一。［4］新加坡《2021 年版數學大綱（小一到小六）》［2021 Mathematics Syllabus（Primary 1 to 6）］則強調發展關鍵的數學過程，包括推理和交流。［5］數學推理的重要性在很多國家的課程標準中都有體現，重視數學推理能力的培養與測評是世界各國教育的共同訴求?？梢?，PISA 2022 突出數學推理在問題解決中的核心地位是大勢所趨。

二、PISA 2022 對“數學推理”的界定

（一）PISA 2022 對“數學推理”的界定

從PISA 2012 到PISA 2022，在對數學素養的定義、問題解決周期模型構建的變化中，我們也能夠發現數學推理在PISA 2022 中的核心地位。

PISA 2022 在對數學素養進行定義時，將數學推理調整到了個人能力的首要位置，凸顯數學推理在此次測試中的核心地位，強調在真實情境中解決數學問題，而不局限于純數學的情境，首次在數學素養的定義中提出了“21 世紀公民”的概念。［6］PISA 2022 在數學素養的定義中增加“數學推理”和“問題解決”兩個重要概念。數學素養在運用數學解決實際問題方面發揮著重要作用，而數學推理（包括演繹推理和歸納推理）不僅在問題解決中處于核心地位，還在用數學方法“對社會問題做出明智的判斷，通過考慮信息的數量和邏輯含義來判斷信息的有效性”中發揮著重要的作用，數學推理有助于發展21 世紀技能。

在問題解決模型的構建方面，PISA 2022 也做出了大幅的調整。在PISA 2012問題解決模型中，“表達”“應用”“解釋與評價”是三個獨立的、逐步遞進的階段。而PISA 2022 指出，從真實情境向數學問題的轉化需要數學推理，問題解決的知識和策略的選取需要數學推理，對結果的解釋與評價也需要數學推理。數學推理由此成為主線，貫穿問題解決的全過程，可見數學推理在問題解決模型中的核心地位。

為此，PISA 2022 特別增加了對數學推理能力的考查。與PISA 2012 相比，“表達”和“應用”環節的測試占比仍是25%，而“解釋與評價”環節的測試占比由原來的50%下調至25%，增加“數學推理”環節的測試，其占比為25%。這一重大調整將PISA 數學測試框架對數學推理的重視落實到了實際測試中。

（二）PISA 2022 推理樣題分析

數學推理涉及評估情境、選擇策略、得出邏輯合理的結論、制定和描述解決方案以及應用解決方案。數學推理是數學素養的核心，PISA 2022 框架考查了數學推理的六大核心要素：理解數量、數系與代數特征，理解抽象概念與符號表征，認識數學結構與規則，識別數量間的函數關系，用數學模型構建現實世界，理解變異是統計的核心。自PISA 2015 基于計算機的評價交付使用以來，PISA 2022首次將基于計算機的數學評價作為評估數學素養的測試形式，其好處是計算機能夠給予學生及時的反饋和必要的提示。［7］下文結合三道樣題具體分析此次測試如何考查學生的數學推理能力。

1.三角圖案

問題：Alex 繪制了如圖1 所示的黑白相間的三角圖案，前四行已給出。

圖1 三角圖案

（1）前四行中黑色小三角形所占的比例是多少？

（2）如果Alex 要畫出第五行，請問在第五行中黑色小三角形所占的比例是多少？

（3）如果Alex 要畫出更多行，他認為無論畫多少行，整個大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不會超過50%。你支持他的說法嗎，為什么？

分析：本題源于科學情境，設計了逐步遞進的三個子問題，并以計算機交互的形式呈現，考查學生的推理能力。學生首先需要根據題中信息進行簡單計算，進而抽象出第五行和更多行的圖案，這兩步都需要數學推理，需要理解抽象概念與符號表征。

問題（1）需要學生進行簡單運算，屬于“數量”1a 級精熟度的簡單題，主要考查學生的應用能力。問題（2）需要學生思考題干以外部分的圖案，需要學生具有一般化的能力，屬于“變化與關系”2 級精熟度的簡單題，主要考查學生的表達能力。問題（3）需要學生在前兩道題的基礎上將圖形一般化，分析圖案，發現每一行中黑色和白色小三角形之間的數量關系，依據每一行中兩種顏色三角形的數量關系推理整個圖形中黑色小三角形所占的比例，屬于“變化與關系”4—5 級精熟度的難題，主要考查學生的推理能力。

2.球賽得分

問題：《西蘭島時報》報道：澤德蘭籃球隊贏得了賽季的每場比賽，本賽季平均領先19 分。在本賽季邊際勝利已知的情況下，該隊有沒有可能從未以19 分的分差在任何一場比賽中勝出？為什么？

分析：本題來源于社會情境，需要學生用數學模型抽象現實世界，屬于“不確定性與數據”5—6 級精熟度的難題。問題是一個抽象推理題，在本題中并沒有給出球隊每一場的比分，學生并不能直接通過計算得出結論，要求學生根據自己對平均數（即算術平均數）概念的理解，選擇“是”或“否”，并給出合理的解釋。

3.森林面積

問題：在這一單元，你將用電子表格來回答與森林生態系統相關的一系列問題。在下一頁中你將練習如何使用電子表格。

練習中學生必須執行指定操作，熟悉電子表格的功能，包括對列進行排序，對任意兩列中的數據執行計算（加、減、乘或除法），以及生成任意列的平均值。每項操作都附帶如何使用該工具來完成該操作的說明，并且每項操作必須在顯示下一個指令之前完成。只有在所有三個指令都完成后，才能進入下一頁。

練習結束后，學生們會看到使用說明頁，每小問都可以通過點擊文本欄“如何使用電子表格”來訪問說明頁，隨后進入正式的測試階段。本樣題四個小問的具體問題設置如圖2 所示。

圖2 森林面積

分析：本題源于社會情境，設計了四個子問題，并以計算機交互的形式呈現，考查學生的推理能力，學生需要理解數量、數系與代數特征，并利用數量關系推理得到正確答案。

問題（1）主要考查學生的表達能力，需要學生用電子表格進行簡單的減法運算，即“D 列－B 列”，屬于“不確定性與數據”4—5 級精熟度的難題，其難度主要來自計算的順序，如果學生用“B 列－D 列”，則符號顛倒，判斷難度增加。問題（2）主要考查學生的解釋與評價能力，屬于“不確定性與數據”5 級精熟度的難題。學生們必須再設計一個使用電子表格的策略，需要靈活地使用電子表格，根據表格正確地在問題的背景下解釋“變化”，學生執行的操作以及執行操作的順序不同，可能會導致選擇的不同。［8］問題（3）主要考查學生的解釋與評價能力，屬于“不確定性與數據”4—5 級精熟度的難題。學生們必須再次設計一個使用電子表格的策略，一次執行多個操作后才能根據情境評價結果。難點是認識到“最大的變化”不僅意味著增加，還可以是在不同時間段之間，森林面積百分比降幅最大。此時計算順序并不影響結果，本質是尋找變化的絕對值，而不是百分比的增加或減少。問題（4）主要考查學生的推理能力，屬于“不確定性與數據”6 級精熟度的難題。本題要求學生通過發現現有數據的局限性來判斷觀點是否正確，即學生必須認識到，題干并沒有給出每個國家的國土面積，而學生需要理解森林面積百分比是森林面積與國土面積的比值。在題干缺乏明確的支撐信息時，學生根據自己已有的知識進行推理是一件困難的事。

三、PISA 2022 中“數學推理”的數據分析——以樣題為例

本部分將探究PISA 2022 測試中學生的數學總體表現，并選取東亞6 個國家和地區（新加坡、中國澳門、中國臺北、中國香港、日本、韓國）為例進行具體比較。根據學生對樣題的回答情況，分析學生推理能力的表現以及不同精熟度的學生推理能力的差異。由于推理能力是本次測評框架的核心，也將探索推理能力與其他過程維度分項及內容維度分項的關系。

（一）東亞6 個國家和地區的總體表現

由于在PISA 測評中，東亞6 個國家和地區的表現一直處于領先位置，選取其學生數據進行分析，具有一定借鑒意義。

表1 東亞6 個國家和地區的總體表現

在PISA 2022 測評中，東亞6 個國家和地區仍處于領先地位。與PISA 2018 相比，中國澳門和中國香港的數學表現略有下降，但仍具有領先優勢。 除了在解釋與評價、空間與圖形分項上，日本的平均分略高于中國香港的平均分，這6 個國家和地區在過程維度的均分、內容維度的均分排名與數學表現的排名一致，表明東亞學生各方面數學能力、內容知識發展較為均衡。將這6 個國家和地區的數學推理能力均分與OECD 均分進行t 檢驗，結果顯示，東亞學生數學推理能力均分與OECD 均分差異顯著［t（df= 5）= 11.36，p < 0.001］，推理能力優異。

（二）推理能力表現及其與精熟度的關系

本研究將學生的精熟度分為9 個等級（低于1c、1c、1b、1a、水平2、水平3、水平4、水平5、水平6）。東亞6 個國家和地區在數學推理能力上的表現優異，本研究依據樣題得分情況、學生精熟度分析學生推理能力的表現。

1.不同精熟度水平的學生推理能力差異較大

以6 個國家和地區的學生在三角圖案的第三小問中的得分情況為例，處于1a、1b 精熟度的學生都是零分，1c 精熟度的學生有極少部分能拿到滿分，且精熟度越高，拿滿分的學生比例就越多，這說明推理能力與學生的精熟度呈正相關。但精熟度最高的學生仍有零分的情況，這說明即使是精熟度最高的學生也不能從問題中抽象出數學問題的本質，因此面對有挑戰性的問題時，教師及時幫助學生深入地理解，并清楚地交流他們的推理是十分必要的。

2.學生在不同題型中推理能力表現差異較大

在三角圖案題中，隨著學生精熟度的提升，得滿分的學生比例提高，得零分的學生比例大幅減少，回答部分正確的學生比例隨著精熟度的升高先增加后減少，但維持在10%的水平。值得注意的是，在精熟度最高的學生中，仍有25.52%的學生為零分，這表明精熟度高的學生的推理能力也有待提高。

在球賽得分題中，學生得分的總體趨勢與三角圖案題相仿，但精熟度最低的學生得零分的比例比精熟度最高的學生低6.78 個百分點，且精熟度最高的學生得滿分的比例和得零分的比例接近，這說明同一精熟度的學生在推理能力上差異顯著。

在森林面積題中，學生得分情況總體趨勢與前兩題相仿，但最低精熟度的學生在本題中的數據極少?？赡艿脑蚴?，學生在完成前面三個小問時已經遇到困難，不能在規定時間內完整地完成此問題，說明學生在過程維度的四個能力都有待提高。

表2 6 個國家和地區得分情況統計表

值得注意的是，學生在三角圖案中獲得滿分的比例最高，說明學生對科學情境中的空間與圖形內容掌握較好，這可能是因為在本題的前兩個小問中已經展示了前五行三角形之間的數量關系，學生能夠利用已有的圖形進行推理，有一定的推斷基礎。而在涉及真實情境的比分題中，學生得滿分的比例最低，說明學生從真實情境中進行抽象推理，歸納出數量關系、代數性質的能力較弱。在同樣涉及真實情境的森林面積題中，不同精熟度的學生在得分情況上差異顯著，精熟度低的學生很難在真實情境中進行抽象推理。由于此題沒有森林面積的計算過程，學生不能抽象出森林面積與國土面積的數量關系，發現問題的本質。

因此，關注不同精熟度學生的推理能力提升，縮小相同精熟度下學生推理能力的差異，提升在不同情境內容中，學生發現問題本質、進行合理推斷的能力對提高學生學業表現十分重要。

（三）推理能力與其他過程維度及內容維度的關系

1.推理能力與其他過程維度關系顯著

由相關分析可知，推理能力與過程維度的“表達”“應用”“解釋與評價”能力顯著正相關。數學推理能力是一種較為高級的思維能力，需要學生理解數量、數系與代數特征，理解抽象概念與符號表征，認識數學結構與規則，識別數量間的函數關系，用數學模型構建現實世界，理解變異是統計的核心。數學推理與過程維度其他指標相關性高，也能夠說明數學推理作為問題解決的核心，能夠驅動表達、應用、解釋與評價。

2.推理能力與內容分項關系顯著

由相關分析可知，推理能力與“變化與關系”“數量”“空間與圖形”“不確定性與數據”顯著正相關。PISA 2022 數學素養測評框架數學學科內容強調了4 個主題，分別為數量領域計算機仿真主題、不確定性與數據領域突出條件決策主題、變化與關系領域突出增長現象主題、空間與圖形領域突出幾何估計主題。而計算思維、決策、幾何估計都離不開數學推理，從數學推理與數學內容的強正相關可以看出，數學推理在數學內容的理解、內化和深入中是不可或缺的。

四、對我國數學教育的啟示

（一）加深學生對概念的理解

概念、判斷、推理是邏輯思維的三種基本形式。概念理解是數學推理得到準確結論的基礎，明確了概念的內涵與外延后，才能研究這個概念有哪些性質、與其他概念之間有什么關系。［9］例如，在“數量”“不確定性與數據”兩項內容上，學生對算術平均數、森林面積的數據概念理解不透徹，導致無法做出正確的推理。PISA 2022 測評框架也強調了數學推理對六種核心要素的理解，這啟示教育者需要讓學生經歷概念發生過程。任何一個概念的形成都需要經過修正、補充，教師可以從真實情境、歷史材料等角度出發，讓學生在學習中自己歸納出概念的定義后，再給出嚴謹的定義，引發學生思考兩個定義之間的差異，加深對概念本質、性質的理解。對測試結果的分析顯示，概念理解與推理能力是密不可分的，學生在理解概念的基礎上才能做出正確的推理，在進行推理的過程中才能夠加深對概念本質的理解。

（二）關注學生差異，滿足學生需求

學生的學習方式、學習速度、已有知識結構存在客觀的差異，導致學生在學業表現上存在差距，這就要求教師設計個性化的課堂，滿足不同學生的需求，縮小學生的差距。從測評結果可以看出，東亞6 個國家或地區在數學推理能力上的表現突出，但不同精熟度的學生在同一問題中的表現卻有很大差異，學生從真實情境中進行抽象推理的能力較弱?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017 年版2020 年修訂）》明確提出，學生需要具備邏輯推理的能力，因此，我國教師也需要關注學生個體的差異，針對學生不同能力發展的水平，為學生提供必要的支持，幫助學生實現能力的提升。

（三）在情境中理解數學

PISA 測評一直以來都十分重視問題情境。PISA 2022 著重考查了學生在靈活多變的情境中解決數學問題的能力［10］，但結果顯示，學生在從真實情境中抽象出問題本質再進行合情推理的過程中，普遍感覺較為困難。情境是數學問題的載體，數學推理是問題解決的核心，因此，我國也需要加強真實情境的應用，引導學生用數學方法描述現實情境，再展開運算或證明，最后將結果放在現實情境中進行解釋。在情境中，學生可以經歷數學推理的全過程，感知、理解、掌握推理的方法，并且真實情境能夠調動學生已有的數學知識，幫助學生建立完整的知識體系。