復合材料壓力容器的概率和非概率可靠性設計

林 峰 王 宇

（1.楊凌職業技術學院機電工程學院；2.93146 部隊）

復合材料壓力容器相比傳統的金屬壓力容器，因具有耐腐蝕、重量輕及可設計性強等特點，而廣泛應用在航天領域［1］。為此，它的結構設計問題也日益被關注，迄今國內外已對該類容器的結構設計和強度校核開展了許多研究。 文獻［2］對容器結構材料性能的隨機分布進行了概率統計分析。 文獻［3］考慮了設計變量的隨機性，采用Monte-Carlo方法和響應面法對復合材料壓力容器結構進行了基于概率的可靠性分析，但其中Monte-Carlo法和響應面法的計算量較大。 文獻［4～6］對復合材料壓力容器進行了結構優化設計，但未考慮設計參數的隨機性。 文獻［7］基于有限元方法研究了溫度和纏繞角對復合材料壓力容器的爆破壓強的影響，但未考慮溫度和纏繞角的隨機性。 文獻［8］對復合材料壓力容器進行了可靠性壽命預測，但只考慮了設計參數的隨機性，并未考慮在設計參數無法得到概率統計特性時的情況。

目前，對復合材料壓力容器的結構分析大多數仍然是基于確定性方法，雖然可靠性方法在結構分析和設計中有所應用， 但往往是采用Monte-Carlo方法研究概率可靠性，計算效率很低，而且沒有考慮設計參數的非概率性。 事實上，在考慮不確定性問題的可靠性方法中［9］，包括概率可靠性方法和非概率可靠性方法。 概率可靠性方法是以復合材料壓力容器結構的各基本參數為隨機變量，在給定其概率分布的基礎上對結構的可靠性進行分析的一種方法。 然而，概率方法是有一定局限性的，特別是研究對象屬于小樣本、貧信息問題時，其不確定參數的概率統計特性難以獲得或根本就無法獲得。 此時，非概率的可靠性方法將是更為合理的方法。 由于該方法無需不確定參數的概率統計特性，只關注不確定參數的變化范圍，因此它可以作為概率方法的補充。

筆者首先基于隨機因子法，對復合材料壓力容器結構進行了概率可靠性分析，推導了纖維強度的均值和標準差計算表達式，分析了隨機變量的變異系數變化對容器厚度尺寸的影響，通過實例對壓力容器厚度進行了可靠性設計。 然后基于區間因子法，對復合材料壓力容器結構開展了非概率可靠性分析，導出了纖維強度的均值和離差計算表達式，考察了區間參數的離差率變化對容器厚度尺寸的影響，并通過實例對壓力容器厚度進行了非概率可靠性設計。

1 復合材料壓力容器的強度分析

復合材料壓力容器由金屬內襯和復合材料層組成，金屬內襯主要起密封氣體和提供纏繞芯模的作用，而真正起承壓作用的是復合層，內襯破壞只會引起氣體泄漏，復合材料層失效將導致產品爆破。 通常復合層是由樹脂基和碳纖維組成，樹脂的極限拉伸強度和拉伸模量約為纖維的2%～5%，且當殼體爆破時，破壞處的樹脂幾乎全部開裂，已起不到加強作用，此時殼體完全由纖維網格結構承受內壓。 所以在計算壓力容器爆破壓強時，可忽略樹脂的作用，將容器殼體視為完全由纖維纏繞而成。

根據纖維纏繞殼體設計的網格理論［10］，復合材料層的縱向和環向纖維厚度tα、tθ的表達式分別為：

式中 Kα——纖維強度發揮系數；

p——爆破壓強；

R——筒體半徑；

α——纖維纏繞角；

σc——纖維強度。

在進行纖維纏繞殼體設計時，為了使計算出的壓強與實際相符，纖維強度發揮系數Kα的選取極為關鍵［10］。 在目前的工程中，通常是直接將各參數實驗結果的平均值代入式（3），來反算出Kα，而不考慮各參數的隨機性。 然而實際應用中，結構本身和作用荷載的不確定性是客觀存在的。如：一類批量生產的工程結構其物理參數取值的分散性，其幾何尺寸加工的偏差，其激勵載荷幅值的不確定性等。 參數和載荷的不確定性包括隨機性和區間性。 因此，為使纖維強度發揮系數Kα的確定更加精確與合理，結構參數和載荷的隨機性將是考察的重點，其中包括筒體半徑R，纖維強度σc，纖維纏繞角α，纖維強度發揮系數Kα，纖維總厚度t和爆破壓強p， 以此開展基于概率的網格分析來確定Kα值，這對精度要求很高的航天復合材料壓力容器的設計將更具有現實意義。

以下給出利用概率的網格法求解纖維強度發揮系數Kα的具體步驟。

首先，通過文獻［11］的實驗得到了隨機參數的數字特征， 結果列于表1， 封頭形狀為扁橢球形，使用橡膠內襯，纏繞線型為螺旋與環向復合纏繞，螺旋纏繞角α。

表1 復合材料壓力容器的測定結果

其次，求結構復合參數ξ的平均值。 對式（3）利用代數綜合法［12］，可得ξ的均值μξ為：

將表1中的數據μσc=2560 MPa，σσc=108 MPa，μR=75 mm，σR=0.33 mm，μt=1.98 mm，σt=0.02 mm，μp=41.5 MPa，σp=2.08 MPa代入式（4），得隨機參數ξ的均值μξ=3.2653。

將μξ=3.2653，μA=0.8214，νA=0.68%代 入 式（5），得Kα=0.8211，將結果代入式（6），得隨機參數ξ的標準差σξ=0.013。

現對爆破壓強p的計算值和表1中的實驗值進行比較，以驗證基于概率的網格法獲得的纖維強度發揮系數Kα值的精確性和合理性。

由式（3）得：

將表1中相關數據以及根據Kα=0.8211時計算得到的μξ=3.2653，σξ=0.013分別代入式 （8）、（9），得壓強p的計算值為：μp=41.4 MPa，σp=1.82 MPa。表1中p的實驗值為：μp=41.5 MPa，σp=2.08 MPa。若采用傳統的安全系數法，當取安全系數n=2，則有許用強度［σc］=σc/n，將其和表1其他數據代入式（7），得到p=20.45 MPa。比較p的計算值、實驗值和安全系數法計算結果顯見：基于概率的網格法相較于傳統的安全系數法，可以得到取值的變化范圍，因此該法更符合工況；傳統的安全系數法得到的結果相較于基于概率的網格法的結果過于保守，然而基于概率的網格法得到的結果與實驗值比較吻合，且略小于實驗值，表明基于概率的網格法是安全可行的，同時結果更精確。

2 基于隨機因子法的復合材料壓力容器結構概率可靠性設計

2.1 隨機因子的引入和概率可靠性設計

隨機因子法［12］其主要特點是：原理簡單，不改變原結構分析方法和求解過程； 計算量較小，對均勻隨機場結構問題只需一次分析就可獲得結構響應的主要數字特征。

設，隨機變量X的概率密度為fX（x），其均值和標準差分別記為X和σX， 則變異系數為νX=σX/X。令，X=X～Xˉ，其中X～為X的隨機因子，根據文獻［12］隨機因子X～的均值為1，其變異系數等于對應原隨機變量X的變異系數。

在本文的復合材料壓力容器結構的概率可靠性設計中，依據隨機因子法σc服從正態分布，假設許用強度［σc］也滿足正態分布，即：σc～N（μσc，σσc），［σc］～N（μ［σc］，σ［σc］），且相互獨立。 對于非正態變量，總可以利用當量正態化的方法將其轉化為正態變量。 根據應力-強度干涉理論，可得結構不發生強度破壞的可靠度Pr和可靠性指標β為：

從式（12）出發，利用代數綜合法可導得纖維強度σc的均值和標準差分別為：

其中νp、νR、νt、νA分別是隨機參數p、R、t、A的變異系數。

分析式（13）、（14）可知，諸隨機參數變異系數的變化均對纖維總厚度t的可靠性設計結果產生影響。 其中：當νR增大而其他參數不變時，μσc和σσc均增大，由式（10）可知β將減小。 欲使β不變，則當其他參數不變時必須增大纖維總厚度的均值t；νR、να、νp、νt的增大將導致t增大； 當其他參數不變時，νσc增大導致σσc增大，則根據式（10），其右邊分母增大，使β減小。 為使β不變，須使分子增大，即μσc減小，由式（13）知，增大t可使μσc減小，故當νσc增大時，t將增大。

2.2 概率可靠性設計算例

由表1得，p=41.5 MPa，R=75 mm，νp=5.10%，νR=0.40%，νt=1.2%，另外，由第1節的算例，得A=μA=0.8214，νA=0.68%，Kα=0.8211。

將以上數據代入式（13）、（14）中，得到：μσc=5082.30/t，σσc=239.84/t。若設計要求復合材料壓力容器結構的可靠度為Pr=0.999999， 根據式（10），查標準正態分布函數值表，得對應的可靠性指標β=4.755，且由表1得到μ［σc］=2560，σ［σc］=108，代入式（10），解得t=2.68 mm。 若取νt=1.2%，根據正態分布3σ準則，設計出復合材料壓力容器的纖維總厚度為：t=t±3tνt=2.68 mm±0.096 mm。

對此壓力容器若應用傳統的網格法進行可靠性設計，即認為纖維強度發揮系數Kα=0.8，代入式（10），設計出的纖維總厚度t=2.71 mm±0.098 mm。

采用傳統的安全系數法［11］設計出的纖維總厚度t=4.017 mm。 為對比，將上述3種方法的設計結果一并列于表2。

表2 復合材料壓力容器設計結果對比

由表2顯見，相對于傳統的安全系數法，基于隨機因子的可靠性設計方法使得壓力容器的纖維總厚度明顯減??；基于概率的網格法可靠性設計的結果是3種方法中最優的，由此也驗證了第1節中關于基于概率的網格法可靠性設計結果要優于傳統的網格法可靠性設計結果的結論。 這里需要說明的是： 文中在運用隨機因子法之前將cos2α降次，采用泰勒級數展開公式，保留線性項，對該項的近似導致結果偏大，使得計算結果更接近于許用值，因此設計結果是趨向安全的；代數綜合法中的近似計算也使計算結果偏大于實際值。 所以采用基于隨機因子法的概率可靠性設計結果是安全可靠的。

在概率可靠性設計中，結構各隨機參數的變異系數可能會波動。 為此，這里分別考察了當壓力容器結構的可靠度為Pr=0.999999時，R、α、p、t和σc這5個隨機參數變異系數的變化對厚度均值t設計結果的影響，見表3。

表3 各隨機變量不同的變異系數對應的可靠性設計結果

由表3可以看出， 隨各隨機參數的變異系數變大，設計結果變大，這與2.1節分析的結果是一致的。 但各參數的隨機性對設計結果的影響不同，由圖1可以看出，按照影響程度大小排列（曲線斜率），纖維強度＞筒體半徑＞爆破壓強＞纖維總厚度＞纏繞角。 為此，在復合材料壓力容器結構設計中，應對影響較大參數的變異系數（即取值的分散性）加以控制。

圖1 各隨機變量不同的變異系數對應的可靠性設計結果

3 基于區間因子法的復合材料壓力容器結構非概率可靠性設計

3.1 區間因子的引入和非概率可靠性設計

非概率可靠性的概念最早由文獻［13］提出，文中指出若系統能容許不確定參量在一定范圍內的波動，則系統是可靠的。 文獻［14］隨后在對此概念的討論中提出了解決隨機-區間混合條件下的概率凸集模型。 文獻［15］提出了非概率可靠性的區間方法，將結構性能的變化范圍與要求的變化范圍相比較，以確定結構的安全程度。

在本文的復合材料壓力容器結構的非概率可靠性設計中，由區間運算法則［15］σc是區間變量，假設其許用值［σc］也為區間變量，根據應力-強度干涉理論，仿照概率可靠性指標的定義，可得結構不發生強度破壞的非概率可靠性指標Z為：

當Z＜-1時，結構失效；Z＞1，則結構可靠，且Z的值越大，結構的安全程度越高；而當-1≤Z≤1時，即結構可能安全，也可能不安全。 從嚴格意義上講，此時不能認為結構是可靠的。 因此，當所有不確定參數均為區間變量時，可認為結構只有兩種確定性狀態：可靠或不可靠。

由式（11），令cos2α=A，以區間因子法導得纖維強度σc的表達式為：

由于利用3σ準則將隨機數轉化為區間數，使得區間數的離差偏小，將導致計算結果相比概率可靠性設計的結果偏大。

3.2 非概率可靠性設計算例

在非概率可靠性設計中，由于區間參數離差率的變化將對設計結果產生影響， 同前處理，分別考察了當壓力容器結構的非概率可靠性指標Z=1時，R、α、p、t和σc這5個區間參數離差率的變化對厚度均值tC設計結果的影響，見表4。

表4 各區間變量不同的離差率對應的可靠性設計結果

由表4可以看出， 區間變量的離差率變大，導致設計結果變大， 與第3.1節的分析結果相吻合。 但是不同參數的離差率對結果的影響程度不同，通過圖2可知，按照影響程度大小排列（曲線斜率）， 纖維強度＞筒體半徑＞爆破壓強＞纖維總厚度＞纏繞角。 另分別對比表3、4中同種參數對應的可靠性設計結果，做出圖3，通過圖3可以看出， 總體上非概率可靠性設計的結果離散程度較小， 因此非概率可靠性設計容許參數較大的不確定性。

圖2 各區間變量不同的離差率對應的可靠性設計結果

圖3 不同變量變化時概率和非概率計算結果

4 結論

4.1 通過基于隨機因子法和區間因子法的概率和非概率可靠性計算得到的設計結果均更符合實驗結果，且均明顯優于傳統安全系數法，表明可靠性方法使得設計結果更精確更合理，更節省材料。

4.2 概率可靠性設計中，隨機變量的變異系數按照影響程度大小排列，纖維強度＞筒體半徑＞爆破壓強＞纖維總厚度＞纏繞角。 非概率可靠性設計中，區間變量的離差率按照影響程度大小排列的規律和概率可靠性設計是一致的。 對隨機概率和區間概率兩種設計中同種參數取值波動時對應的設計結果，可知非概率可靠性設計結果的離散程度較小，也就是說非概率可靠性能容許較大的不確定性。

4.3 在計算精度上，以設計厚度的均值作為比較標準，基于隨機因子法得到的概率可靠性設計結果比基于區間因子法得到的非概率可靠性設計結果更接近實際值，表明概率可靠性方法的精度較高。 但在計算復雜度上，該方法中關于隨機因子法的計算公式比較冗長， 推導過程也較為繁瑣。 區間算法顯然更容易，該方法無需代數綜合法或矩法等計算，并省去了求導的過程，計算公式簡潔。