在比較中感悟運算本質的一致性

杭雅琴 蔣明玉

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，數的運算教學，要讓學生經歷算理和算法的探索過程，理解算理、掌握算法。感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，提高運算能力和推理能力?！靶导臃ê蜏p法”是蘇教版小學數學教材五年級上冊的教學內容，如何引導學生深刻體會整數加減法與小數加減法運算本質上的一致性呢？教師要深研教材，重組教材，精心設計，多次對比，引發學生深度思考，溝通小數加減法、整數加減法在算理和算法上的聯系，深刻體會運算本質的一致性，提升學生的運算能力和推理能力，發展核心素養。

一、創設情境，提出問題

師：同學們，學校正在舉行“五星級書香兒童”閱讀比賽。周末，書店正好搞促銷活動，大家紛紛去書店購買自己喜愛的圖書。（出示場景圖和書的價格）你們能據此提出什么數學問題？

生：《青鳥》和《故鄉》一共要多少元？

生：《金銀島》比《昆蟲記》貴多少元？

師：真棒，這些問題你們會列式解答嗎？

生：4.75+3.2。

生：5.6-4.64。

師：仔細觀察這些式子，你們發現了什么？

生：這些算式是小數加減法。

師：今天這節課我們就一起來研究小數加減法。

（板書：小數加法和減法）

【思考】結合全校正在舉行的“五星級書香兒童”閱讀活動，教師創設真實情境，激發學生的學習興趣，引導學生發現問題，提出問題，讓學生感受到小數加減法是日常生活中常用的數學知識。真實情境拉近了學生與生活的距離，學生體會到數學來源于生活也應用于生活，同時也為后面借助元、角、分探究小數加減法的算理提供情境依據。

二、分層探究，明晰算理

（一）自主探究小數加法

1.自主嘗試，鏈接經驗

師：買《青鳥》和《故鄉》一共要多少元？

4.75＋3.2等于多少呢？你們會計算嗎？試試看。

生：我是這樣列豎式計算的（如圖1-①）。

生：我也是列豎式計算的（如圖1-②）。

2.猜想驗證，合作探究

師：這兩種豎式計算究竟哪種是正確的呢？請大家試著進行探究吧（如圖2）。

小組反饋：

第一組：我們組認為①是正確的。我們用的是估算的方法：4.75元大約是5元，3.2元大約是3元，合起來大約是8元。

第二組：我們組認為①是正確的。我們是用元、角、分來驗證的：4元7角5分加3元2角是7元9角5分，也就是7.95元（如圖3）。

師：你是把元和元相加、角與角相加、分與分相加。

第三組：我們組也認為①是正確的，我們是畫方塊圖驗證的，如圖4所示，把4.75看作4個1、7個0.1和5個0.01，3.2看作3個1和2個0.1。然后4個1和3個1相加，7個0.1和2個0.1相加，5個0.01和0個0.01加，結果是7.95。

第四組：我們組也認為①是正確的，我們是借助計數器來驗證的：個位上的珠子撥在一起，十分位的珠子撥在一起，百分位上的珠子撥在一起，結果是7.95（如圖5）。

3.橫向對比，溝通聯系

師：大家用不同的方法驗證了第一種算法是正確的。仔細觀察這幾種驗證方法，它們有什么相同之處呢？先獨立想一想，再和同桌互相議一議。

生：它們都是把相同單位的數相加在一起的。

生：它們都把相同數位對齊了。

師：無論是用“元角分”、方塊圖，還是計數器的方法，都遵循了一個共同的道理：把相同計數單位的數相加。也就是都把相同數位對齊，相同數位上的數直接相加。

4.剖析錯例，明晰算理

師：圖1-②的算法錯在哪里了？

生：相同數位沒有對齊。

生：要把小數點對齊，這樣相同數位才能對齊。

師：是的，在小數加法中只有小數點對齊了，才能保證相同數位對齊，才能把相同數位上的數直接相加。

【思考】在教學時，如果教師只呈現小數位數相同的情況，不利于學生深刻理解小數加法運算的本質。因此，教師可以整合教材中例1和例2的教學內容，在解決購買圖書這一實際問題的過程中，直接呈現小數位數不同的小數加法，引導學生通過獨立思考、自主探究、猜想驗證，經歷探索小數加法的計算過程。學生借助已有的知識和經驗，在交流、追問、對比中感悟到不同驗證方法背后的相同之處，聚焦核心概念“計數單位”，凸顯“相同的計數單位相加”這一結論。

（二）遷移學習小數減法

師：《金銀島》比《小王子》貴多少元？5.2-4.64又等于多少呢？有了小數加法的學習經驗，相信這一題一定難不倒大家，試試看。

師：老師發現大家有三種不同的算法，一起看，哪種算法正確？

生：我認為圖6-①和6-②的算法都是正確的。

師：第②種方法和第①種方法比，在被減數的末尾添了一個0，請問可以在5.2的后面添上0嗎？為什么？

生：可以，這是利用了小數的性質。

師：對于第③種方法，你有什么想說的嗎？

生：百分位上是0減4，他沒有減，而是直接把4抄下來了，所以是錯的。

師：是的，可別小看百分位上添的這個0，它不僅便于我們看出幾減4，還能更好地體現出相同數位對齊，提高我們計算的正確率。

（三）加減法對比，溝通聯系

師：今天我們學習了小數加法和減法，請同學們比一比，說一說它們有什么相同的地方？

生：無論是小數加法還是小數減法，都要把小數點對齊進行計算。

生：小數點對齊了，相同數位才能對齊，相同數位上的數才能相加減。

生：可以利用小數的性質在小數的末尾添“0”進行計算。

師：說得真好，我們在計算小數加減法時，都要把小數點對齊（也就是相同數位對齊），從低位算起。

【思考】學生獨立完成后，教師收集學生中的典型算法引導他們進行辨析，通過充分的討論、交流，在添“0”和不添“0”的對比中，及時化解小數減法計算的易錯點，得出小數減法的計算方法。接著設置小數加法與減法之間的對比環節，溝通加減法之間的聯系，通過對比讓學生感受小數加減法運算背后的相通之處：都是把相同數位上的數相加減。計算時都要把小數點對齊，也就是相同數位對齊。進一步理解小數加減法的算理和算法。

三、練習鞏固，內化延伸

師：大家不僅善于思考，而且善于表達，真會學習。接下來，請大家在下面的圓圈里填上運算符號（如圖7），在需要的地方添上小數點，使豎式成立。

［學生獨立完成練習后，教師收集學生不同的作品展示（如圖8）］

師：這幾種方法都對嗎？

生：都對。

師（故作疑惑狀）：圖8-①和圖8-②的小數點都對齊了，圖8-③行嗎？

生：行，不點小數點就是整數加法。

師：計算整數加法時，我們是怎么計算的？

生：計算整數加法時，我們要末位對齊，從個位加起。

師：再比一比，看看整數加法和小數加法有什么相通之處嗎？

生：我覺得整數的末尾對齊就是小數的小數點對齊，它們是一回事，只是整數的小數點沒標出來。

生：整數加法和小數加法都要從最末位算起。

生：都要把相同數位上的數相加。

師：看來，無論是整數加減法的末位對齊，還是小數加減法的小數點對齊，都是為了相同數位對齊，相同計數單位的數直接相加減。

【思考】教師巧妙設計練習，讓學生再次經歷對比，即整數加減法和小數加減法的對比，通過對比，讓學生對“相同數位對齊”有了新的認識，感悟到整數加減法和小數加減法背后的相通之處，以“計數單位”為抓手，將整數加減法和小數加減法的計算統一成“相同計數單位的數相加減”。算法與算理逐步統一的過程，也正是學生將小數加減法納入整數運算系統、擴充運算知識鏈的過程。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗小學）