基于耦合分析的熱流系統協同設計

溫宇釩 ,何 婷 ,李東海

(1.暨南大學能源電力研究中心國際能源學院,廣東 珠海 519070;2.清華大學能源與動力工程系,北京 100084)

1 引言

為減少二氧化碳排放,響應全球節能減排號召,中國政府在第七十五屆聯合國代表大會上提出“雙碳目標”,力爭在2030年前實現碳達峰,2060年前實現碳中和[1].綜合能源系統作為一種先進的節能減排技術,是提高能源利用效率、降低碳排放的重要手段[2].綜合能源系統涉及多種異質能源耦合互補,包含多種熱流系統,如能源供給環節中的熱電聯產設備、能源交換環節中的換熱器以及能源存儲環節中的蓄熱器.熱流系統深度參與綜合能源系統的能源供給、傳輸與儲存.在多種能源之間相互耦合綜合能源系統中,熱流系統的設計顯得尤為重要.

隨著系統復雜性及其動態性能要求的提高,控制器設計也愈發引起重視.傳統設計過程遵從先設計物理系統,基于物理系統設計控制器的原則進行設計[3].如在熱流系統設計中,通常先假設其在穩態下運行,根據實際物理設計指標(如系統總質量)設計物理系統,然后再根據系統暫態指標(如超調量)的要求設計控制器.然而,這種設計方法忽略了物理系統和控制器之間的耦合關系,在設計物理系統時片面追求物理系統設計指標,導致后續控制器整定難、控制結果難以滿足暫態指標[4–5].因此,引入協同設計方法,在設計物理系統時考慮暫態指標,避免因物理系統設計不合理而導致系統暫態性能不佳.

協同設計是一種設計物理系統時考慮控制器設計的方法,在風機設計[6]、汽車設計[7]、航空器件設計[8]等多個領域有廣泛應用.常見的協同設計方法共有4種,其中僅嵌套設計方法和同步設計能保證所設計系統為最佳[9–10].嵌套設計方法將控制器設計嵌套在物理系統設計中,外部優化循環優化物理系統,內部優化循環針對外部循環的每個物理系統優化控制器.同步設計方法將物理系統設計和控制器設計整合成一個優化問題,同步優化設計出最佳系統.在采用同一優化算法的前提下,嵌套設計方法求解速度慢于同步設計方法[11].為解決這一問題,對于一些簡單的系統,常以線性二次型調節器[12–13]為控制器,以減少嵌套設計方法中內部優化循環的運算量,從而加快整體的求解速度.在熱流系統領域的應用上,Diangelakis等人[14]將系統當作黑箱,通過系統識別技術導出系統狀態空間方程,最后使用多目標優化框架來設計物理系統和模型預測控制器.Nash和Jain[15]以熵產率表示系統效率,將熵產率和魯棒性視為設計指標,采用嵌套設計方法設計熱流系統.隨后Nash和Jain[16]又提出一種基于模型保真度的分解分層控制的協同設計算法,將模型降階分解,并通過引入中間優化程序來解決子問題之間的耦合問題,從而最大限度地提高集總參數控制模型的準確性.Burnak等人[17]在進行系統設計時不僅考慮物理對象和控制器的設計,還將調度任務一同加入設計指標,并推導出物理系統設計、控制器設計和調度過程中參數時的相互映射關系,以解決控制過程和調度過程中時間尺度不匹配的問題.

可以發現,上述研究在設計系統時,都是直接根據實際工程中待設計參數及其物理約束進行設計,未對物理系統與控制器間的耦合關系進行分析,這導致設計過程中參數個數多、取值范圍大的問題.基于此,本文提出一種設計協同設計方法,構造基于時間序列模式距離的相關度函數以分析物理系統與控制器之間的耦合關系,并利用過程中產生的數據進一步縮小參數的范圍,實現熱流系統的高效合理設計.

2 問題描述

2.1 熱流系統模型

根據質量守恒定律和能量守恒定律,建立熱流系統的第一性原理模型.如圖1所示,熱流系統主要由存儲罐、加熱部件、散熱部件組成,涉及熱存儲、加熱、散熱、熱傳輸4個熱力學過程.在泵的作用下,溫度為Tt的工質以質量流量˙mc從存儲罐流向加熱部件.加熱部件由外部熱源˙Qa供熱,其管壁溫度為Tw,a.工質從管壁吸收熱量,溫度上升至Ta.在加熱部件下游,工質以質量流量˙mE離開熱流系統,不再參與后續循環.剩下的工質在泵的作用下流向散熱部件.散熱部件主要由殼體和管束組成,溫度為Tc的冷卻液以質量流量˙mr流經散熱部件的管束外部,管束管壁溫度維持在Tw,r.工質從管束內部流過,將熱量經由管壁傳遞給冷卻液,工質溫度下降至Tr.最后,冷卻后的工質回流到存儲罐中,開始下一次循環.

圖1 熱流系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of thermal-fluid system

整個過程中,因熱傳輸過程的存在,工質的溫度變化存在一定的延遲,其主要取決于不同部件之間的距離以及工質質量流量.本文以T′代表延遲溫度,即T′=T(t-τab),延遲時間τab=ρAcLab/ ˙m,其中:ρ為工質密度;Ac為管道的橫截面積;Lab為管道長度;˙m為工質的質量流量.

存儲罐內工質質量因部分工質在加熱部件下游脫離系統而發生變化.同時,存儲罐內工質的溫度與進出工質的溫度和流量有關,即

系統的熱量變化等于進出系統工質熱量之差.因此,可得到加熱部件和換熱部件出口工質的溫度和管壁溫度為

其中: 下標t,a,r,w分別代表存儲罐、加熱部件、散熱部件、換熱部件管壁;cp為工質的比熱容;cp,w為換熱管管壁材料的比熱容;cp,c為冷卻液的比熱容;Mt為存儲在存儲罐的工質總質量.管束的換熱面積As=πLrefD,Lref為管束總長度;D為管束直徑.熱容C=AcLrefcpρ;Ac為管束的橫截面積.管束管壁質量mw=0.25πρwLref(),Di,Do分別為管束內外直徑.式(3)–(6)左項代表系統的熱量變化率,右邊第1項代表進入系統熱量的變化率,右邊第2項代表離開系統熱量的變化率.冷卻液帶走熱量c→w根據熱效率–傳熱單元數法方法[18]得到

2.2 熵產率模型

熵是系統不能做功能量的總和,作為一種描述熱力學特性的物理狀態,可通過傳質或傳熱過程在系統內傳輸.在真實系統中,熵可用來描述系統內部不可逆反應發生的情況.為進一步描述系統不可逆過程發生的激烈程度和熵的變化情況,引入熵產率gen,即

其中: 右邊第1項代表傳熱過程引起的熵變;右邊第2,3項代表傳質過程引起的熵變;右邊第4項代表不可逆過程引起的熵變.

熱流系統中,系統熵產率變化主要由存儲罐、加熱部件以及散熱部件中工質質量流量與溫度變化引起,結合前文對熱流系統模型的數學描述,推導出熱流系統熵產率的數學模型為

2.3 熱流系統協同設計問題描述

系統設計分為物理系統設計和控制器設計兩部分.物理系統設計需要在滿足物理約束的前提下,調整系統各部件參數,使對應設計指標達到最優.控制器設計則是基于所設計的物理系統,調整控制器參數,使系統的動態響應能力與抗擾能力最佳.在上述設計流程中,控制器設計基于物理系統,受限于物理系統.但這兩個環節的設計目標不同,隸屬于不同的優化過程,這使得系統設計成為一個復雜的問題.以本文研究的熱流系統為例,其系統協同設計框架如圖2所示.

圖2 熱流系統協同設計框架Fig.2 Co-design framework for thermal-fluid system

熱流系統中,物理系統設計是指對系統各部件參數的選擇,具體為罐體儲存工質質量,管道長度Lta,Lar,Lrt,Lr,La.本文物理系統的設計目標是追求較低的穩態效率和較小的系統總質量,控制器的設計目標為加熱部件管壁溫度Tw,a和散熱部件管壁溫度Tw,r跟隨設定值.系統采用兩個PID(proportion integration differentiation)控制器,分別對工質質量流量˙mc和冷卻液質量流量˙mr進行調節,因此,控制器設計參數為控制器的增益系數,即P1,I1,D1,N1,P2,I2,D2,N2.另外,在進行控制器設計時,需對系統暫態熵產率的上限進行限制,同時以最小化暫態熵產率為優化的目標之一.為量化控制器的控制效果,采用誤差絕對值積分(integral of absolute error,IAE)指標衡量加熱部件管壁溫度Tw,a和散熱部件管壁溫度Tw,r的控制效果.熱流系統各部件參數作為耦合量,將物理系統設計和控制器設計整合成系統協同設計問題.因此,系統協同設計的優化目標為物理系統設計目標和控制器設計目標的綜合,即系統穩態熵產率、暫態熵產率、系統總質量和IAE之間的線性組合.

3 熱流系統的協同設計

3.1 基于時間序列模式距離的相關度度量

時間序列分段線性表示是將時間序列表示成一段段相鄰的直線.時間序列分段線性表示有3種狀態: 上升、下降和不變,對應表示為M ∈{1,-1,0}.對時間序列進行差分,通過差分值符號判斷狀態,并映射到M,得到一組時間序列的分段線性表示,將其稱為時間序列分段線性的狀態向量.時間序列模式距離可以反映具有相同長度序列之間趨勢的差異程度[19].時間序列S1,S2的模式距離定義為

其中:m1i和m2i為對應狀態向量的第i個值;k為時間序列狀態向量的長度.

顯然,|m1i-m2i|取最小值0 時兩時間序列分段的變化趨勢相同,取最大值2 時兩時間序列分段的變化趨勢完全相反.因此,當DS1,S2遠大于k時,兩時間序列呈負相關,DS1,S2接近于0時,兩時間序列呈正相關.構造相關度度量函數為

r越接近于1,兩時間序列相關度越高;r越接近于0,兩時間序列相關度越低.相較于其他方法,如灰色關聯度分析法,在計算序列距離時,本文采用反映序列趨勢動態變化相似性的模式距離而非幾何距離,解決了其他方法不能辨別序列形狀相似性的問題.

3.2 協同設計方法的改進

為應用基于時間序列模式距離的相關度度量方法,剔除低相關的物理系統參數,進一步縮小物理系統設計參數范圍,本節提出了一種將嵌套設計方法和同步設計方法相結合的協同設計方法,如圖3所示.

圖3 協同設計流程Fig.3 Process of co-design

首先,采用嵌套方法生成待分析數據.不同的是,在內環求解時不以獲得最優控制器為目的,為加快求解速度,僅求解一組使系統穩定的控制器參數.同樣,外環求解物理系統的參數時,在其取值范圍內隨機選取.外環求解:

其中:γ1,γ2,γ3,γ4為各優化目標權重;x為待設計參數;下標p與c分別代表物理系統和控制器;上標e與t分別代表系統處于穩態和暫態.

然后,將生成的物理系統參數與控制誤差數據按生成順序構造成時間序列,進行差分與映射后得到時間序列的狀態向量.利用相關度度量方法,計算物理系統參數與控制誤差間的相關度.低相關度參數對控制器設計影響小,進行單獨設計.高相關度參數根據不同取值對應的控制效果進行標注,將控制效果好的數據標為正常數據,其余為異常數據,根據標記結果對數據進行分析,從而縮小參數的選取范圍.

最后,在簡化且縮小范圍的物理系統參數～xp的基礎上,采用優化時間較短的同步設計方法求解出最佳物理系統參數和控制器參數,具體如下:

優化目標表達式內各優化目標權重將物理系統設計與控制器設計整合在一起.在約束條件中,參數空間從xp縮小至,尋優空間減小,間接加快了求解速度.相較于式(15)與式(16)所示的嵌套設計方法,同步設計方法只有一層優化循環,求解時所需迭代次數更少,求解速度更快.

4 仿真計算結果

4.1 熱流系統設計實例

熱流系統參數如表1所示,按照前文提出的協同設計方法設計系統,具體流程如圖4所示.

表1 熱流系統參數Table 1 Parameters of thermal-fluid system

圖4 熱流系統設計流程Fig.4 Design process of thermal-fluid system

首先,使用嵌套設計方法得到物理系統參數與對應控制效果數據.隨機選取物理系統參數,線性化物理系統后采用頻域整定方法[20]設計控制器,得到3000組系統參數對應控制效果{IAEa,IAEr}數據.隨后將嵌套設計方法得到數據按生成順序構造時間序列,進行差分和映射操作得到其時間序列的狀態向量,根據式(14)計算各物理系統的參數與控制誤差的相關度,如表2所示.

表2 待設計參數與控制效果的相關度Table 2 Correlation between designed parameters and control effect

相關度高于10%的參數定義為高相關度參數,其余為低相關度參數.顯然,只有{Lr,La}為高相關度參數.為驗證低相關度參數對熱流系統的影響,在原設計中最小化低相關度參數,將各低相關度參數設為最大值,進行仿真比較.

圖5的仿真結果表明,低相關度參數的變化對控制效果基本沒有影響.從熱流系統角度分析,參數Lta,Lar,Lrt為系統各部件間的距離,僅會給系統響應帶來延時,低相關度表明各部件距離對系統響應延時影響較小.參數為罐體儲存工質的初始質量,影響系統慣性,低相關度說明罐體儲存工質的初始質量對系統慣性影響不大.

圖5 低相關度參數對控制效果影響Fig.5 Influence of low correlation parameters on control effect

為進一步縮小高相關度參數范圍,對不同高相關度參數對應的控制誤差進行分析.如圖6所示,控制誤差IAE在1000左右時(即log(IAE)在3附近),隨著設計參數的縮小,IAE急劇增大,這說明此參數范圍下控制系統已出現振蕩發散的情況.因此,將Lr,La對應的IAE中小于1000的數據標記為正常數據,其余的標記為異常數據,如圖7所示.

圖6 高相關度參數對控制效果影響Fig.6 Influence of high correlation parameters on control effect

圖7 數據分類Fig.7 Classification of data

從圖7可知,正常數據和異常數據的分布都較為集中,有明顯分界.因此,重新調整{Lr,La}取值范圍,將下界由{5,5}上調至{11,12}.

經低相關度參數剔除和高相關度參數范圍縮小,物理系統待設計參數由6個縮減至2個,參數個數減少66%,選取范圍縮小26%.低相關度參數{Lta,Lar,Lrt,的取值對控制器的設計影響較小,根據物理系統設計指標直接設計,即系統穩態熵產率和系統總質量最小.隨后,采用同步設計的方法,利用優化算法,同步調整物理系統和控制器參數{Lr,La,P1,I1,D1,N1,P2,I2,D2,N2},使目標函數到達最小值.本文選用NOMAD(nonlinear optimization with the mesh adaptive search)算法[21]進行求解,這是一種基于網格自適應直接搜索的算法,可以有效地探索設計空間,在優化問題中被廣泛應用[22–23].

4.2 協同設計方法的分析與比較

本文熱流系統的協同設計中,權重γ1,γ2為物理系統在設計中所占的權重,權重γ3,γ4表征控制器在設計中的重要程度.為簡化計算,γ1和γ3取相同值,則可整合并成.為研究權重選擇對系統設計的影響,本文采用3組不同權重對系統進行協同設計.根據系統響應,分析權重選擇對系統協同設計的影響.設計過程中所采用的擾動如圖8所示,由熱源的階躍擾動、冷卻液溫度的加入一階慣性環節的階躍擾動以及模擬工質泄漏的方波擾動組成.

圖8 系統擾動Fig.8 System disturbance

表3為采用不同權重的協同設計方法以及順序設計方法的物理系統參數、控制器參數、優化目標結果.比較協同設計2和協同設計3的結果可知,增大權重γ2可以減少系統總質量,但當權重γ2過大時,會使得控制效果不佳.比較協同設計1和協同設計3可知,增大權重γ4可以減少對應的IAE值,同時可以降低系統熵產率.

表3 不同協同設計方法的優化結果Table 3 Design results of different design methods

為進一步體現本文提出的協同設計方法與現有設計方法的區別,采用文獻[15]中的順序設計方法設計系統.順序設計方法步驟為:先設計物理系統,使系統在最大擾動下穩定運行且總質量和穩態熵產率盡可能小,在此基礎上設計控制器,使控制誤差積分和暫態熵產率盡可能小.從表3中性能指標和圖9 中控制響應曲線可以看出,順序設計方法可以使系統總質量相對較小,但在控制器性能表現上相對不足.在多種擾動源作用下,即使采用不同權重系數,本文所提出的協同設計方法總體上具有更好的擾動抑制效果.在采用同一權重下,相比于順序設計,協同設計使得加熱管壁溫度Tw,a波動范圍由360.9～366.5 K 減小至361.8～365.1 K,對應的IAE減少29%.另外,從圖10可知,協同設計使得系統的熵產率更低,在面對擾動時熵產率最大波動值由22.43 W/K減小至19.76 W/K.

圖9 不同設計方法的控制效果Fig.9 Control effects of different design methods

圖10 不同設計方法的熵產率變化Fig.10 Changes in entropy generation rate of different design methods

4.3 控制器參數整定分析與比較

為比較不同控制器參數整定方法對熱流系統控制效果影響,采用頻域整定方法[20]和Skogestad[24]提出的簡單內?？刂?simple internal model control,SIMC)整定方法設計控制器,與協同設計方法3 所優化出的控制器進行比較.表4為基于頻域方法整定的PID參數以及SIMC-PID參數.

表4 不同方法整定的控制器參數Table 4 Controller parameters tuned by different methods

施加圖8所示擾動,控制系統以加熱部件管壁溫度Tw,a和散熱部件管壁溫度Tw,r保持恒定為控制目標,將外部熱源˙Qa、工質泄漏質量流量˙mE和冷卻液溫度Tc的變化視為擾動.由圖11可知,不管采用何種方法整定控制器,擾動對系統內各狀態都有一定影響,但不同方法整定的控制器在擾動作用下表現出的抗擾能力有所不同.應對較小擾動時,如施加的冷卻液溫度擾動,3種方法整定的控制器都能滿足控制目的,但對于較大的擾動,如熱源擾動,頻域方法整定的控制器無法使加熱部件的管壁溫度快速恢復到設定值,調節過程中會出現短暫振蕩.相較之下,協同設計和SIMC整定的控制器都能使管壁溫度在一個振蕩周期內到達設定值.但從調節時間和超調量等指標分析,協同設計的控制器的控制效果顯然優于SIMC整定的控制器.

圖11 不同參數整定方法下的控制效果Fig.11 Control reseults under different tuning methods

為更直觀比較不同控制器的抗擾能力,在系統的不同位置施加周期性擾動,如圖12所示,在前30 min內于冷卻液溫度施加不同幅值與頻率的周期性擾動,在30 min至60 min內于工質質量流量施加不同頻率的周期性擾動.如圖13所示,散熱部件管壁溫度Tw,r對兩種周期性擾動都更為敏感,3種控制器中僅協同設計方法整定的控制器可基本抑制因擾動造成的Tw,r的周期性波動.相反的,加熱部件管壁溫度Tw,a僅受第2種擾動影響,3種控制器都無法抑制因擾動造成的Tw,a的周期性波動,但相比于其他方法整定的控制器,在協同設計方法所設計控制器下Tw,a波動幅值更小,對周期性擾動抑制效果更佳.因此,協同設計方法所設計控制器在抗擾上優于頻域方法和SIMC方法整定的控制器.

圖12 周期擾動Fig.12 Periodic disturbance

圖13 不同參數整定方法下控制器的抗擾效果Fig.13 Anti-interference effect of different tuning methods

5 結論

本文以熱流系統為研究對象,建立相應數學模型,通過構造基于時間序列模式距離的相關度度量函數,分析物理系統與控制器的耦合關系,在此基礎上提出一種協同設計方法設計熱流系統.具體結論如下:

1)基于時間序列模式距離的相關度度量函數可以有效分析物理系統與控制器的耦合關系,減少待設計參數,數據分析方法可以有效縮小設計參數范圍;

2)協同設計方法所設計系統在多源擾動下的控制誤差小于順序方法設計的系統,對應控制器抗擾能力優于頻域方法和SIMC方法整定的.

作為初步工作,本文的熱流系統模型為理想模型,未來可以以實際工程中的熱流系統為建模對象,考慮工程應用上的細節,如換熱器幾何結構等,并且可以進一步研究與綜合能源系統的耦合關系.此外,相較于其他先進控制方法,本文所使用控制器較為簡單,未來工作可進一步考慮使用其他先進控制器.