“認識角”的教學：從歷史淵源中尋找啟示

劉加霞 劉琳娜

【編者按】 ?數學史之于數學教育的價值已經取得共識。

近年來，北京教育學院劉加霞教授的團隊在研讀中外數學經典文獻和數學史研究力作的基礎上，聚焦小學數學的多個核心知識，深入挖掘與之密切相關的數學史料，適當選擇數學史料融入教學的方式，開發了多個數學史融入數學教學（HPM）的課例。本期《專題研究》欄目聚焦“角”，依據數學史的梳理，對其教學展開探索。

摘 要： 小學數學中，“認識角”的核心內容是認識角的大小及其作用。

梳理《考工記》《幾何原本》，發現：中國古代用規和矩作為基本工具進行幾何操作，從而構建出一些特殊的角度，以滿足技術規范的要求；古希臘數學則從360°分度體系的角度認識一般意義的角，將角度與圓弧對應起來，成為現代角的測量的本源。由此獲得教學啟示：突出直角的作用，體會度量單位產生的必要性；進一步感悟度量的本質——單位累加；用“長度”表示角的大小及其作用，有跡可循。

關鍵詞：小學數學；數學史；角度；《考工記》；《幾何原本》

一、引言

角是除了“點、線、面、體”之外的類似“原始概念”的一個概念，它既是一個圖形，也是構成其他圖形的基本要素。角的本質在于刻畫直線的方向，因此，角的大?。ń嵌龋┍冉堑亩x更重要。

小學數學學習中，學生要分兩次“認識角”，一般是在二年級和四年級。二年級主要是知道角的各部分名稱，辨認角，知道直角、銳角與鈍角，初步感悟“角的大小與角兩條邊的長度無關，是角兩條邊岔開的程度”；四年級主要是學習角的度量，知道平角與周角等。雖然兩次“認識角”的深度不同，但是，核心內容都是認識角的大小及其作用，而非角的定義。

角的大小與長度、面積、體積等幾何量有較大的差異。后三個量在本質上都是“單位的累加”。例如，作為最基本的幾何量，（線段的）長度就是長度單位在同一方向上的順次累加。因此，學生感知長度最為容易。但是，刻畫角的大小有多種方法，角度單位的累加只是其中一種（沒有量角器也可以刻畫角的大?。?。因此，學生認識角度要比學習其他幾何量更有難度。教學中如何突破難點呢？

一門學科的歷史是這門學科的教學指南，因為學生的理解具有歷史相似性。早在19世紀，美國數學史家卡約黎就曾指出：“學生所遭遇的困難往往是相關學科的創建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難”，因此“數學史是數學教學的有效工具”。 ?［1］ 由此，“認識角”的教學，可以通過追溯角度的發展史來突破難點。

中國古代和西方古代對角度概念和角度計量的建立有不同的發展路徑。本文運用文獻分析法對有關內容進行梳理，從中獲得教學啟示。

二、歷史文獻梳理

（一）《考工記》中特殊角度的表示方法及其運用

中國古代數學對角度的認識一直有欠圓滿。 ?［2］ 劉君燦曾斷言：“中國除了直角之外沒有一般的角度觀念?！??［3］ 關增建也曾指出：“中國傳統計量中沒有角度計量?！??［4］ 角度在天文觀測、農業生產、交通運輸、文化娛樂、軍事戰爭等領域有廣泛的應用，如制造量器、農具、車輛、樂器、兵器等都涉及角度。沒有角度的相關知識，中國古人是如何解決這些現實問題的呢？除了天文觀測中涉及的角度問題（有學者認為，天文分度不是角度 ?［5］ ）以外，古代技術百科全書《考工記》中有相關記載?！犊脊び洝穯柺烙趦汕Ф嗄昵暗拇呵飸饑鴷r期，據考是當時齊國的官書。它是我國最早的手工藝技術專著，重視“就事說事”，在解決不同領域問題時界定了各種特殊的角。

1.用“倨句”表示一般的角度

“在中國古代科技術語中，沒有現代所用的角度這個詞，古人利用‘倨句表示一般的角度概念?！??［6］ 一般情況下，倨表示鈍角，句表示銳角，倨句表示相應角度的大小。

比如，《考工記·磬氏》中有：“磬氏為磬，倨句一矩有半?！边@里的倨句指樂器磬（如圖1所示）的“鼓上邊”與“股上邊”這兩條邊線的夾角，“一矩有半”是135°。

再如，《考工記·冶氏》中有：“戈廣二寸，內倍之，胡三之，援四之，已倨則不入，已句則不 決…… 是故倨句外博，重三鋝；戟廣寸有半寸，內三之，胡四之，援五之，倨句中矩，與刺重三鋝?！边@段文字說明，兵器戈和戟的形制都與角度有關。具體來說，對于戈（如圖2所示），要注意援和胡之間的角度關系：角度太鈍，則不易啄入目標；角度太銳，則雖能創敵而不易割斷之；二者間合適的角度應該是“倨句外博”，即比直角略大一些。對于戟（戈與矛的組合兵器），則要求“倨句中矩”，即援和胡縱橫相交成直角。

2.“以矩生度”構造出以直角為基礎的特殊角

中國古人對角度概念，首先是認識了一些特殊角。并且，中國古代技藝采取用特定的名稱表示特定角度的方法，沒有角度單位（如當下的1°角）的概念。具體來說，中國古人稱“直角”為“矩”（矩本是畫直角和方形的曲尺），以矩為基礎角度，通過一些幾何操作，進一步創生出其他角度概念。這樣的方法稱作“以矩生度” ?［7］ 。

比如，《考工記·車人之事》中有：“車人之事，半矩謂之宣，一宣有半謂之欘，一欘有半謂之柯，一柯有半謂之磬折?！比粲矛F行分度法表示，這些角度的具體數值為：矩＝90°，宣＝ 1 2 ×90°＝45°，欘＝45°＋ 1 2 ×45°＝ 67°30′， 柯＝67°30′＋ 1 2 ×67°30′＝101°15′，磬折＝101°15′＋ 1 2 ×101°15′＝151°52′30″。用圖形表示則如圖3所示。矩、宣、欘、柯（在“車人為車”中柯也是長度單位，合今約60厘米 ?［8］ ）、磬折就是一套特定條件下實用的角度單位制體系?！犊脊び洝分?，“韗人”制鼓、“車人”制耒、“匠人”興修水利等都用到了“磬折”這個角度。因為“矩”是很容易得到的，所以這樣的操作方法在實踐中并不繁難?？梢?，中國古人就是在“具體問題具體分析”中摸索出解決實用角度問題的獨特路徑的。

需要注意的是，有文獻認為，“磬氏為磬，倨句一矩有半”中磬的“鼓上邊”與“股上邊”的夾角就是磬折，因此，磬折的大小應該是“一矩有半”，即135°，但是，關增建認為，“磬氏制磬”中的倨句并沒有明確地被稱為磬折，因此，磬折的大小應該是“一柯有半”，即151°52′30″。 ?［9］ ?史學界對于磬折到底是多少仍有爭議，而對于倨句表示一般的角度概念則無爭議。

3.“以規生度”構造出與周角相關的角度

“以矩生度”產生了宣、欘、柯與磬折，但是，僅有這幾個特殊的角度，還不能滿足生產生活需要，不能解決更多有關角度的現實問題。鑒于規和矩是古代最常用的幾何工具，《考工記》中還采用了“以規生度”的方法來確定其他一些特殊角度。 ?［10］

比如，《考工記·筑氏為削》中有：“筑氏為削，長尺博寸，合六而成規?！币馑季褪橇选跋鳌保〞叮┑牡侗诚蛲?、依次排列而成一個圓（如圖4所示）。由此，每把“削”的刀背彎曲成一個圓弧，其弧長是相應圓周長的六分之一，其所對的圓心角用現代360°分度系統來看就是60°。這里，實際上是用弧長刻畫角度。

再如，《考工記·弓人》中有：“為天子之弓，合九而成規；為諸侯之弓，合七而成規；大夫之弓，合五而成規；士之弓，合三而成規?！边@里，也都是用弧長表示角度。

《考工記》中記錄的“以規生度”方法，可以看作弧度制的萌芽：雖然沒有明確地用圓心角的度數表示角的大小，但是圓弧度量與角度度數表達在邏輯上是等價的。這種方法在描述星體的位置與運動方面有不可磨滅的價值。中國古代天文觀測中的蓋天說、渾天說都是用圓弧長度刻畫天體的位置，重在圓弧的線性度量。

總之，中國古代無論技藝器具還是天文觀測中都沒有發展出一般角的概念，重視的都是特殊角。由于中國古代數學中“矩”還指矩形，《周髀算經》《九章算術》中是用“隅”來稱謂直角的，數學家們的注意力還是在“隅”這個特殊角上?！稘h書·律歷志》中有：“角，觸也，物觸地而出，戴芒角也?！边@里，角雖然不再指獸角，但仍然表示尖銳的形狀，而沒有抽象為數學上的角。北宋沈括的《夢溪筆談》中論及“隙出術”時所談的角是方錐的頂角，即立體角。直到南宋楊輝的《詳解九章算法》、明朝程大位的《算法統綜》中所使用的“角”，才與現代角的含義基本上沒有出入。中國古代數學著作中的角概念重在刻畫邊與邊的交會空間，即重在圖形角，研究角是為了研究幾何圖形，而不是抽象的角概念。 從技藝器具中的特殊角、天文觀測中的圓弧度量到圖形中的角，是角概念在中國古代發展的基本路線。中國古代幾何中的“角”與天文中的“度”沒有在“圓”中統一起來，是最大的遺憾。

（二）《幾何原本》中對角度的界定及其對當下的影響

關于什么是“角”，西方幾何學也有不同的觀點，概述有三：角是兩條直線方向的差別；角是從一邊旋轉到另一邊的量；角是兩條直線相夾的那部分平面。 ?［11］

不同于中國古人“就事論事”地采用構造法解決角度測量的問題，早在古巴比倫時期，人們已經將圓周分為360度，每度分為60分，每分分為60秒。到了古希臘時期，人們已經有了清晰的角度概念，輔之以相應的測量儀器和測量方法，角度計量的建立也就水到渠成了。這一切，在古希臘數學名著《幾何原本》中有完整的體現。

《幾何原本》給出了角的一般定義，描述了角的分類、角的表示方法，以及如何對角進行比較。其中有關角度單位體系及角度單位的進位原則和具體測量方法的記錄如下：

凡大小圓界，俱定為三百六十度，而一度定為六十分，一分定為六十秒，一秒定為六十微，一微定為六十纖。

夫圓界定為三百六十度者，取其數無奇零，便于布算。

凡有度之圓界，可度角分之大小。如甲乙丙角，欲求其度，則以有度之圓心置于乙角，察乙丙甲之相離可以容圓界之幾度。如容九十度，即是甲乙丙直角；若過九十度者，為丁乙丙鈍角；不足九十度者，為丙乙戊銳角。觀此三角之度，其余可類推矣。

這里提到的“有度之圓界”就是現在學生學習角的度量必備的量角器，描繪的角度測量方法如圖5所示。

需要說明的是，上面所引的內容出自清朝數學家梅玨成編纂的《數理精蘊》第二卷，來自意大利傳教士利瑪竇與明代學者徐光啟合作編譯的《幾何原本》。由于所翻譯的底本的差異，目前通行的漢語版《幾何原本》（翻譯的底本是西斯版，更符合《幾何原本》的本意，而沒有加入后人的解釋）中并沒有這些內容。

雖然利瑪竇與徐光啟合作編譯的《幾何原本》不能很好地體現《幾何原本》的本意，尤其是不能凸顯幾何學的公理化思想，但是，他們把360°圓心角分度體系介紹到了中國。我們接受了360°圓心角分度體系，從而有了表示角度大小的單位劃分，有了統一的單位制度就能進行測量，有了測量就能發展成為計量。當然，要建立真正的角度計量，還必須建立相應的角度基準（如檢定角度塊）和測量儀器，但是無論如何，沒有統一的單位制度，就不可能建立角度計量，因此可以說，《幾何原本》的引入為中國角度計量的出現奠定了基礎。

綜上，中國古代在沒有角度定義和單位體系的情況下用規和矩作為基本工具進行幾何操作，從而構建出一些特殊的角度，以滿足技術規范的要求，重在解決實際問題。古希臘數學則從360°分度體系的角度認識一般意義的角，將角度與圓弧對應起來，成為現代角的測量的本源，重視通過公理化思想建構幾何知識體系。中國古代數學關注“實用性”（當然，劉徽除外）與古希臘數學重視邏輯推理（強調理性精神）形成了鮮明的對比。

三、教學啟示

通過有關角度的歷史文獻梳理，可得如下啟示：認識事物可以從特殊到一般，小學生認識角可以從特殊的角度入手，感悟直角無處不在，再認識銳角、鈍角等，然后進一步認識構成角的要素，辨別、描述一般的角。教學中，可以探究前述古代先民們創造的工具中的角度，了解這些特殊角的名稱以及各個角之間的大小關系，感悟角也可以“分割、累加”，為用量角器測量角積累度量經驗，并感悟悠久燦爛的中華傳統文化。具體來說，二年級和四年級“認識角”的教學要重視以下內容：

第一，突出直角的作用，體會度量單位產生的必要性。在以往的教學中，為幫助學生認識角的度量單位，通常會讓學生多次進行“用小角量大角”的活動，經歷度量單位產生的過程，感悟統一度量單位的必要性。通過史料梳理，發現《考工記》中的角度大多以“矩”為源，而“矩”也是學生最常見的圖形或角度。教學中，要以此為“切入點”和“主線”，貫穿角的分類、角的度量全過程。

第二，進一步感悟度量的本質——單位

累加。與以往學習的有關度量的知識聯系起來，認識到角的度量不是一個孤立的知識模塊，而與長度度量、面積度量具有內在的一致性——度量單位累加，當然也有不同——角的單位累加更復雜。教學中，不要急于讓學生進行沒有思維含量的“量角”活動（如機械記憶“二合一看”），而要重視“要量的角”如何與“量角器上的角”重合，如何讀出量角器上角的度數，即重視“角的單位”是按順時針還是逆時針依次累加的。

第三，用“長度”表示角的大小，有跡可循。古人在“以規生度”的過程中是用“弧長”表示“角度”的?；跉v史相似性，學生用“長度”表示角的大小似乎很自然。課堂上隱約有很多學生是用“長度”表示角的大小的：當角的兩條邊長度固定時，用兩條邊另一端點連線的長度表示角的大小。教學中，不要忽視學生的一些思維生長點，而要撬開一個小口，鼓勵學生基于學習興趣深入研究，也為中學學習三角函數積累經驗。

參考文獻：

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［8］ 陳睿鋒.《考工記》中初見端倪的原始角度計量技術［J］.中國計量，2015（6）：63 64.