運動視角尋關聯 定形變換顯路徑
——從一道幾何題的解法談起

郭源源, 繆 娟

(1.南京市雨花臺區教師發展中心,江蘇 南京 210022;2.南京市竹山中學,江蘇 南京 210000)

數學教師的專業基本功不僅包括教學設計能力、課堂教學能力,還應包括較強的解題能力和命題研究能力．一道好的幾何試題,往往具有圖形優美、結構清晰、貼合思維、解法多樣、可變式可拓展等特點,它既是學生感知條件聯想、引發深度思考、提升思維能力的好題目,也是教師進行習題研究、探尋主題拓展、提升專業素養的好素材．下面筆者以江蘇省南京市雨花臺區中考復習中的一道幾何題為例,對其結構、解法和拓展進行探究,供同行研究參考．

1 試題呈現

圖1

例1如圖1,在等邊△ABC中,D是BC上一點,將線段DB繞點D順時針旋轉120°得到DE,聯結BE,CE,F是CE的中點,聯結AF,DF,求證:∠AFD=90°．

2 結構分析

在探尋解題思路之前,應先充分地審題,即弄清主要問題,厘清問題的條件和結論,分析圖形的的構造過程,把握圖形的特征,明晰題目的結構．

2.1 分析條件

此題的條件部分可分為3組:1)等邊△ABC;2)在△DBE中,DB=DE,∠EDB=120°;3)F是CE的中點．

2.2 分析圖形

從構圖角度分析,點D在邊BC上運動,點D一旦確定,旋轉后的點E就確定,中點F也隨之確定,即∠AFD構成．進一步分析∠AFD為定角,與點D在邊BC上的位置無關,而與旋轉120°及中點F有著重要的關系,可以將圖形“特殊化”思考,即當點D與點B重合時,不難發現F位于BC的中點處,由等邊三角形“三線合一”得∠AFD=90°．因此,例1的內部結構必與邊BC上的高有著千絲萬縷的關系,這也是后續形成解題思路的關鍵．

2.3 分析結論

由幾何直觀可猜想結論為∠AFD=90°．因為單一的“直角”能發揮的作用是有限的,所以需要給它找個“家”,即△AFD,分析著眼點從關注直角∠AFD轉移到關注Rt△AFD．結合上述“特殊化”的分析,可進一步猜想△AFD為含30°角的直角三角形,形狀和“點D與點B重合時的△AFD”相同,從而得到更精準的結論:△AFD繞點A運動且形狀保持不變,即進行“定點+定形”的變換．這樣看待圖形變化的眼光就有了,圖形前后“保形”運動的來龍去脈就清楚了,解題思路也隨之誕生．

3 解法探究

經上述結論分析,此題的視角從證明“∠AFD=90°”優化為證“△AFD為含30°角的‘定形’直角三角形”．在等邊三角形的背景下,這種形狀的直角三角形有很多個,而選擇其中不同的三角形作為源頭,即可產生不同的路徑變化,造就不同的“旋轉雙相似”[1],從而產生不同的路徑解法．

思路1以A為定點,繞點A旋轉尋圖形關聯.

圖2

證法1(視為由△AGB旋轉相似而來)如圖2,過點A作AG⊥BC于點G,聯結GF,AD．要證△AFD∽△AGB,根據“旋轉雙相似”模型,只需證△AFG∽△ADB即可．易知G為BC的中點,由FG為△EBC的中位線,得

FG

從而

∠FGC=∠EBD=30°,

可得

∠AGF=∠ABD=60°．

因為

且

所以

因此

△AFG∽△ADB.

進一步可證△AFD∽△AGB,得

∠AFD=∠AGB=90°．

圖3

同證法1,可得

從而

因為∠AHF=∠AGD=90°,所以

△AHF∽△AGD,

即可證得∠AFD=90°．

思路2以D為定點,繞點D旋轉尋圖形關聯.

圖4

證法3(視為由△BGD旋轉相似而來)如圖4,取BE的中點G,聯結DG,GF,AD．易知DG⊥BE,DG平分∠BDE.同理分析,要證△BGD∽△AFD,只需證△GDF∽△BDA即可．由FG為△EBC的中位線可知

FG

得

∠DGF=∠BDG=60°,

即

∠DGF=∠DBA．

因為

且

所以

從而

△GDF∽△BDA,

即可證得∠AFD=90°．

思路3以F為定點,繞點F旋轉尋圖形關聯.

圖5

證法4(視為由△GFE旋轉相似而來)如圖5,以EC為邊構造等邊△GEC,聯結GF,AG,AD．易知GF⊥CE,GF平分∠EGC.同理分析,要證△GFE∽△AFD,只需證△FED∽△FGA即可．由△CBA和△CEG都是等邊三角形,可證

△CGA≌△CEB,

從而

AG=BE, ∠AGC=∠BEC.

由∠CGF=∠BED=30°,可得

∠AGF=∠DEF．

因為

且

所以

因此

△FED∽△FGA,

即可證得∠AFD=90°．

評注上述3種思路都是聚焦△AFD,想方設法從已有的圖形結構中尋找含30°角的直角三角形與△AFD“配對”,形成“定點+定形”的變換．從而借助運動的眼光,關聯這兩個形狀相同的三角形,映顯出圖形變化的路徑,再通過路徑之間量的關系證得相似,即從“聚焦形”到“關聯形”,再到“量化形”,這也是“旋轉雙相似”模型常用的分析策略[2]．

思路4倍長中線,補全圖形尋整體關聯.

圖6

證法5(倍長DF,關聯△ABC)如圖6,延長DF到點G,使得DF=FG,聯結AD,AG,CG．要證△AFD是含30°角的直角三角形,只需證△ADG是等邊三角形,再關聯等邊△ABC,只需證△AGC≌△ADB即可．由EF=CF,DF=FG,易證

CG∥ED,CG=ED,

可得

CG=BD, ∠GCD=∠EDB=120°,

即

∠ACG=∠ABD=60°．

因為AB=AC,所以

△AGC≌△ADB,

即可證得∠AFD=90°．

圖7

證法6(倍長AF,關聯△DBE)如圖7,延長AF到點G,使得FG=AF,聯結AD,DG,EG．要證△AFD是含30°角的直角三角形,只需證△ADG是含120°角的等腰三角形,再關聯△DBE,只需證△DEG≌△DBA即可．由EF=CF,AF=FG,易證

EG∥AC,EG=AC,

可得

EG=AB, ∠EHD=∠ACB=60°．

又由∠EDB=120°,得

∠DEG=60°,

即

∠DEG=∠ABD．

因為DE=DB,所以

△DEG≌△DBA,

即可證得∠AFD=90°．

評注上述思路不再拘泥于△AFD,而是著眼于整體構造．基于中點,通過倍長中線構造能與△ABC或△DBE直接關聯的三角形,即“共頂點的等腰三角形”,從而形成“手拉手”全等的思路方法．這是八年級全等章節中非常重要的基本模型,也是解題中對“中點”條件常用的處理策略．

思路5互相補形拼直角,構旋轉相似模型.

圖8

且∠AFD等于HE與CG的夾角,即∠AFD=90°．

評注△AFD,△DBE分別為等邊三角形、含120°角的等腰三角形．這兩種形狀的三角形本身是關聯的,它們恰好是含30°角的直角三角形斜邊中線所分割的兩個部分.因此,通過補“形”,讓這兩個部分的三角形達到形狀相同的效果,直接形成“定點+定形”的旋轉背景,從而看透AF與FD的數量和位置關系,這也是后續將問題“一般化”的拓展研究視角．

4 問題拓展

通過變換構造幾何圖形,其內在元素的數量和位置關系是非常多的,其變式問題也是無窮無盡的.一般而言,可借助“特殊化”“一般化”“可逆化”等方法將問題變式繼續拓展研究．本文限于篇幅,筆者在這里只借助“一般化”,對問題進行拓展．

4.1 位置的一般化

從構圖的角度來看,可認為點D的確定帶來了后續整個圖形的確定,因此可以對點D的位置進行“一般化”．

變式1(D為平面內任意一點)如圖9,△ABC是等邊三角形,D是平面內任意一點,將線段DB繞點D順時針旋轉120°得到DE,聯結DE,BE,F是CE中點,聯結AF,DF,求證:∠AFD=90°．

圖9 圖10

簡證1(同證法1～4的思路)如圖10,過點A作AG⊥BC于點G,聯結GF,AD．要證△AFD∽△AGB,只需證△AFG∽△ADB即可．由FG是△BEC的中位線可知∠CGF=∠CBE,進一步可得

∠AGF=∠ABD．

同證法1得

因此

△AFG∽△ADB,

即可證得∠AFD=90°．

圖11

簡證2(同證法5～6的思路)如圖11,延長DF到點G,使得DF=FG,聯結AD,AG,CG．由EF=CF,DF=FG,易證

CG∥ED,CG=ED,

可得

CG=BD, ∠FCG=∠FED．

又由四邊形BDEC的內角和為360°,知

∠DBC+∠DEC+∠BCE=240°,

即

∠DBC+∠BCG=240°,

從而

∠ACG=∠ABD.

因為AB=AC,所以

△AGC≌△ADB,

即可證得∠AFD=90°．

評注雖然點D的位置變了,但條件中所有涉及的關系都沒有變,因此整個圖形的關系結構仍然是存在的,例1中的所有證法思路仍然是成立的,其他證法同理可得．

4.2 數量的一般化

位置“一般化”后,繼續思考數量能否“一般化”呢?例1中的等邊三角形與含120°角的等腰三角形有著密切的關聯．若變成頂角為α的等腰三角形與頂角為(180°-α)的等腰三角形,還會有這樣的結論嗎?

變式2(△ABC與△DBE為頂角互補的等腰三角形)如圖9,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,D是平面內任意一點,將線段DB繞點D順時針旋轉(180°-α)得到DE,聯結DE,BE,F是CE中點,聯結AF,DF,求證:∠AFD=90°．

圖12

思路1該題仍然可以借助變式1的思路．如圖12,過點A作AG⊥BC于點G,聯結GF,AD．由∠BAC=α,∠BDE=180°-α,易證得

圖13

△HBC∽△EBG,

進一步可證

△HBE∽△CBG．

后續與上述證法7的思路如出一轍,證明略．

評注雖然位置與數量關系都改變了,但整個圖形的結構關系依然不變,原題中的所有解法思路仍然適用．通過拓展研究,得到了更“一般化”的結論:兩個頂角互補的等腰三角形,若其中一對底角的頂點重合,則另一對底角頂點連線的中點與各頂角頂點連線形成的夾角為直角,可以簡稱為“腳踢腳”模型．它的各類解法是“旋轉變換”中路徑問題的另一種呈現,也是“中點”聯想構圖的典型方式,同時還是“手拉手”旋轉相似的局部關聯體現．因此,例1是研究幾何圖形、挖掘內部關系結構的經典素材．

5 寫在最后

蘇霍姆林斯基曾說過,教師所掌握的知識深度,應當比他課堂上講的知識多百倍,以便在課堂上能靈活自如地玩轉教學,能游刃有余地指導學生的思維發展．這說明了教師不斷學習、不斷研究的重要性．數學是思維的科學,思維又是隱性的,需要好的主題和素材作為思維的載體,引發學生思考的熱情,而這種熱情正是數學教學要追求的“一股勁”．因此,作為數學老師,平時更應該養成勤思考、善發現、愛鉆研、能積累的品質.只有教師不斷地去研究,才能讓模型結構化、脈絡化,也才能發現和提出更多新的問題．只有教師愛思考,學生才會愛思考,同時思考過程中思維的發展也正是數學的魅力所在[3]．例如,本文中的頂角互補的等腰模型,這是“手拉手”全等和旋轉相似問題之后的又一次思考,圖形內部蘊藏的關系更密切,可變式的方向也更多．若對變式2繼續進行“一般化”探究,將△ABC和△DBE“兩腰相等”的條件弱化成“兩邊對應成比例且夾角互補”,則∠AFD還會是直角嗎?它的大小由哪些元素來決定?讀者可繼續思考研究．

“窮盡所有可能與變式”是研究同一類問題的常用方式.鉆透每一種變式,從“定”與“變”的視角看問題,借助圖形變換揭示問題內部的結構和體系,從而感悟問題內每個元素之間的聯系．在這樣的研究方式下,題目將從一題走向無限,從封閉走向開放,充滿著靈氣和生命力．因此,筆者認為,教師對問題的認知,不能僅拘泥于問題本身,還需要養成變式、窮盡、拓展的習慣,這樣不僅有助于提高自身對問題的認識,還有助于提升自己的解題能力和命題水平,同時也有助于提升教師的深度教學和學生的深度學習．