“情境—問題”教學培育初中生創新意識的案例研究
——以“平方差公式”為例

陳明萬

(貴州師范大學數學科學學院,貴州 貴陽 550025)

創新意識作為貫穿整個基礎教育階段的數學核心素養[1],不僅是對小學生、初中生提出的要求,也是對高中生提出的要求,因為這是培養創造性人才的必經之路.2022年4月頒布的《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)中創新意識的內涵是從日常生活、自然現象、科學情境中發現和提出有意義的數學問題.這與“情境—問題”教學中創設數學情境進而提出數學問題如出一轍.《課標》還指出,要讓學生通過具體的實例,運用歸納類比的思想發現數學知識的關系和規律,提出數學命題和猜想并驗證;敢于嘗試,勇于探索開放性、非常規的數學問題;進一步形成獨立思考、敢于質疑的科學態度和理性精神[2].通過分析可以發現,“情境—問題”教學模式與數學創新意識核心素養之間的關系非常密切,課堂教學中將二者結合,能很好地幫助學生培育其創新意識并有助于提升學生的創新能力[3].

1 問題提出

《課標》的頒布預示著數學課程目標出現了一些新變化.例如,在修訂原則方面,堅持3個導向,即目標導向、問題導向、創新導向.可見,創新仍然是當下以及未來教育的研究熱點,也是未來教育和社會發展的前進方向;“情境—問題”教學是貴州師范大學呂傳漢、汪秉彝兩位教授于2000年提出的一種教學模式,之后進行了一系列的教學實踐研究并取得了豐碩的教學成果,旨在改變傳統數學課堂重學習成績輕核心素養培育的狀況.“情境—問題”教學特別強調問題情境的創設,讓學生在課堂上根據問題情境發現和提出問題,以問題鏈的形式組織學生教學,在解決問題的過程中產生新的情境,進而衍生新的問題,形成“情境—問題”學習鏈,用以培育學生的創新意識和實踐能力,這與《課標》中創新意識的提法不謀而合.“情境—問題”教學模式見圖1[4].

圖1

2 在培育創新意識上的價值

“情境—問題”教學模式是呂傳漢教授團隊經過多年的實踐研究所提出的重要原創理論.2018年,該理論榮獲基礎教育國家級教學成果一等獎[5].

2.1 創設問題情境,喚醒創新思維

傳統的數學教學旨在讓學生按部就班地接受書本上的知識,對知識的來龍去脈并不太重視.然而,“情境—問題”教學的目的是讓學生脫離傳統課堂的牢籠,通過設置數學問題情境的方式,讓學生充分交流,激發學生的問題意識;其創設問題情境的本質是打破學生心理內部的平衡,讓學生的知識結構得以重建,進一步喚醒學生的數學思維,從而使得學生融入學習活動之中,以達到培育學生創新思維的目的.創設問題情境的方式有如下幾種:引發式、矛盾揭示式、出其不意式、似是而非式[6].

2.2 問題提出與解決,培養綜合能力

創新始于問題,沒有問題就沒有創新.這是“情境—問題”教學模式的立足點,創設出來的數學情境不是胡編亂造的、也不是拿來就用的,是要讓學生能夠從中提出數學問題并加以解決的;同時,問題源自于情境,沒有情境便沒有問題[7].這便是為什么“情境—問題”教學模式強調創設問題情境,不能只為了情境而創設情境,也不能只為了問題而設置問題,要從數學教育的目標出發,不僅要讓學生會提出數學問題,以培育學生的創新意識和創新能力,也要讓學生有能力去解決問題,培養學生的綜合能力.

2.3 注重學以致用,培養創造性人才

學習知識,無論是教師引導還是學生自學,最終都要在實踐中進行檢驗.早在2001年,呂傳漢教授發表的文章提出,要以學生為主體培養創造性人才[8],在教學中要堅持以學生為中心,“情境—問題”教學模式充分尊重了學生的主體性,讓學生根據創設的問題情境提出相應的數學問題,進而解決提出的數學問題,最終做到學以致用.這不僅探求了知識的本質,也讓學生探究了知識的完整性;不僅培育了學生的創新意識,而且讓學生領悟了知識的實用性.2014年,張奠宙教授發表了《數學教育的中國道路》一文,時至今日,該文的教育理念仍具有重要意義,中國數學教育特色的核心是“在良好的數學基礎上謀求學生的數學發展”[9].學生的發展是全面的,不是某一方面的發展,這充分表明,學習知識要重視基礎,同時也要與時俱進,基礎與創新同等重要,培養創造性人才刻不容緩.

3 平方差公式教學分析

本內容選自北師大版《義務教育教科書·數學》(七年級下冊)第1.5節“平方差公式”.

3.1 主體思路

案例設計的主體思路如圖2所示:

圖2

3.2 課標內容要求

內容層面:通過具體實例,了解平方差公式.

學業層面:能判定并計算具體多項式與平方差公式的題目,通過題目發現問題、提出問題、分析問題和解決問題,培育學生的創新意識.

3.3 教學目標

1)讓學生通過創設的問題情境發現問題和提出問題,并進一步通過探索的規律分析和解決問題,領悟學習知識是一個過程,而不是簡單地知道結果,讓學生自己推導并證明平方差公式.

2)讓學生對所學習的知識加以運用,明白數學與生活的密切聯系,體會從問題情境中探索新知的過程.

3.4 教學重、難點

重點:會推導平方差公式并能進行簡單運算,理解平方差公式的幾何背景.

難點:能將平方差公式運用到相關問題情境中,深刻領悟公式中字母的含義.

3.5 平方差公式教學

3.5.1 復習回顧

師:同學們,上一節課我們學習了整式乘法中的多項式乘以多項式,關于其運算法則,你們還有印象嗎?

師:回答得非常好!接下來我們一起探究今天的學習內容.

3.5.2 情境導入

情境1從前有一個故事,講的是一個地主把邊長為30 m的正方形土地租給張三種植棉花.第2年的時候,地主對張三說:“我想把我的土地進行重新劃分,你租的地一邊減少5 m,相鄰的另一邊增加5 m,租金不變,這樣你也沒有吃虧,你看怎樣?”張三聽完,想著應該也沒有吃虧,就答應了地主.當他回到家和鄰居們說完,大家異口同聲地說道:“張三,你吃虧了!”他感覺到很驚訝.

問題1請同學們思考一下:張三真的吃虧了嗎?

設計意圖“情境—問題”教學能夠培育學生的核心素養.本課例中的問題情境是學生熟悉且感興趣的,學生通過情境中的問題信息,能主動從情境中發現問題和提出問題,從而培育學生的創新意識和實踐能力.

3.5.3 合作探究

師:同學們,我們已經學習過多項式乘以多項式,請大家動筆運算下面的幾組題.

澆水：覆蓋前如連續陰雨，林地已完全濕透，可以不澆水。如果覆蓋前1周左右沒有降水，則必須澆水，而且一定要澆透(2～3 d完成)，用水量約60～80 t/667 m2，下挖30 cm，抓一把泥土捏一下不散即可進行覆蓋。

1)(2x-5)(2x+5);

2)(-3a-b)(b-3a);

3)(-5m+8n)(8n+5m);

4)(x-1)(x+1)(x2+1)．

問題2仔細觀察運算的結果,你發現了什么規律,你能大膽地指出你發現的規律嗎?

生1:我發現它們的運算結果只有2項.

師(追問):那這2項有什么規律嗎?

生2:好像等于前一個數的平方減后一個數的平方.

師:能再具體一點嗎?或者哪位同學補充一下.

生3:其中一個項相同,另一個項相反的兩個多項式相乘,其結果等于相同項的平方減去相反項的平方.

師:回答正確.我們把兩數和與兩數差的積運算,稱為平方差運算,其公式為(a+b)(a-b)=a2-b2,這個公式就是我們今天要學習的平方差公式.

設計意圖通過創設問題情境,讓學生對本節課學習的內容產生興趣.此時學生的心理活動非常豐富,急切地想知道情境中的張三是不是真的虧了.緊接著拋磚引玉,通過多項式乘以多項式讓學生去發現規律,本課例中第1)～3)小題為基礎訓練題,第4)小題的難度稍高,能夠讓學生進一步驗證并提出自己發現的問題.這不僅促進了學生的問題意識,提升了學生的推理能力,還能培育學生的創新意識.

3.5.4 驗證結論

師:同學們,現在我們知道了平方差公式的基本形式,你們知道怎么證明平方差公式嗎?

情境2在公元3世紀,我國古代數學家趙爽用“面積割補法”證明了平方差公式.下面的兩幅圖就是當時數學家趙爽用來證明平方差公式的方法,同學們,結合圖3和圖4,你們能證明平方差公式嗎?請大家仔細想一想并相互交流.

圖3 圖4

問題3根據圖3和圖4,驗證平方差公式(已知圖4根據圖3割補而來).

生4:設圖3的陰影部分面積為S1,圖4的陰影部分面積為S2,則

S1=S大正方形-S小正方形=a2-b2,

S2表示一個大的長方形的面積,長方形的長為a+b,寬為a-b,因此,

S2=(a+b)(a-b)=S1=a2-b2.

師:很好!這是一種證明方法,還有其他證明方法嗎?

生5:老師,還可以用梯形的面積來計算.

師:請在黑板上書寫你的證明過程.

生5:在圖3中,我們可以沿著對角線剪成2個全等的梯形,求陰影部分的面積即求一個梯形面積的2倍.而一個梯形的上底為b,下底為a,高為a-b,故陰影部分的面積為

與圖4求得的面積一樣,即驗證了平方差公式.

師:剛才同學們用兩種幾何方法證明了平方差公式,說明同學們已經掌握了平方差公式.回到之前的問題情境,張三是不是真的吃虧了?哪位同學能通過口述進行回答.

生6:根據剛剛驗證的平方差公式,我們可以用平方差公式來驗證張三虧還是不虧的問題.他最開始租地的面積為

30×30=900(m2),

而一邊減少5 m和相鄰的另一邊增加5 m,即是長方形的面積

(30-5)(30+5)=302-52=900-25=875(m2).

在租金不變的情況下,租地的面積減少了25 m2,因此,張三虧了.

師:回答得很好.在沒有學習平方差公式的時候,我們很難一下子判斷張三是不是真的虧了,但是通過學習,并驗證了平方差公式之后,是不是感覺這個問題其實很簡單.平方差公式在以后的學習中是很重要的,而證明平方差公式的方法還有很多,同學們可以查閱相關資料了解其他證明方法.

設計意圖平方差公式的證明在本節課中非常重要.數學知識不是讓學生死記硬背,學生的興趣來源于教師的教學.在上述案例中,教師首先以古代數學家趙爽的“面積割補法”為問題情境,讓學生知道趙爽也是通過這種方式證明平方差公式的,直接激發了學生的問題意識,迫切地想知道如何證明平方差公式.教師通過創設問題情境,激發學生發現和提出問題的能力,引導學生積極思考;學生通過觀察圖形又引入了新的證明方法,促進了學生創新精神的培育.最后回扣本節課的問題情境,讓學生感嘆數學的神奇之處.

3.5.5 公式應用

師:我們學習并且驗證了平方差公式,如何運用平方差公式呢?

問題4下列哪些式子能用平方差公式計算?哪些不能?如果不能,請說出理由.

1)(m+n)(-m-n);

2)(m-n)(n-m);

3)(a+3b)(3b+a);

4)-(2-x)(x+2);

5)(-3x+2y)(2y-3x)．

生7:只有第4)小題能用平方差公式進行計算.

師(追問):請板書或者說出你的理由.

生7:因為我們學習的平方差公式是

(a+b)(a-b)=a2-b2,

它代表的意義是兩數和與兩數差的乘積,其中兩個數是相同項和相反項的關系.而第1)小題和第2)小題的兩個數均為相反項,第3)小題和第5)小題的兩個數均為相同項,第4)小題前面的負號可以先不看,即

(2-x)(x+2)=(2-x)(2+x)=22-x2=4-x2,

則

-(2-x)(x+2)=-(4-x2)=x2-4.

師:很好!這位同學分析得很完整,你能總結運用平方差公式需要注意的地方嗎?

生7:我認為運用平方差公式需要注意的關鍵點可以概括為4個字“一同一反”,兩個多項式相乘,若式子中剛好存在“一同一反”的關系,則可以運用平方差公式進行運算.

師:這位同學總結得很好!我們在運用平方差公式的時候要緊緊抓住兩個多項式剛好“一同一反”的關系,這樣才能利用平方差公式進行運算.

問題5計算下列各式,并觀察它們的共同特點.

1)5×7=____,17×19=____,59×61=____;

2)6×6=____,18×18=____,60×60=____.

生8:老師,我發現下一個式子的結果比上一個式子多1.

師(追問):結合今天的學習內容,你能探索其中的規律嗎?

生8:老師,我發現5×7=62-1,17×19=182-1,59×61=602-1,而1可以看作12,那這是不是說明兩個數的乘積可以運用平方差公式計算呢?

師:通過觀察上面的式子,是任意兩個數的乘積都可以嗎?還是有什么限制條件呢?

生9:我剛剛進行了驗證,發現要相鄰的兩個數或者接近的兩個數之和能被2整除才能運用平方差公式進行計算.兩數之和除以2所得的數即為平方差公式運用的本質所在,如教材上的

118×122=(120-2)(120+2)=1202-22

=14 400-4=14 396.

如果兩個數不相鄰,比如21×91,運用平方差公式,得

21×91=(56-35)(56+35)=562-352

=3 136-1 225=1 911,

這并沒有簡化運算,反而增加了運算量.

師:很好!通過分析我們發現,平方差公式有時候可以簡化我們的運算,但學習知識要活學活用,舉一反三,而不是拿來就用.生9分析得很不錯!

設計意圖問題4引導學生判別平方差公式,這里的問題情境可以看作是數學情境,讓學生對比平方差公式,總結并論述自己發現的關于判別平方差公式的方法;問題5屬于知識探究,讓學生觀察兩組算式,發現兩個數的乘積與相鄰項之間的關系,提出相近的兩個數之和能被2整除便能運用平方差公式進行計算,培養了學生發現問題和提出問題的能力,培育了學生的創新意識.

3.5.6 作業鞏固

師:同學們,我們這節課學習了平方差公式,并且利用幾何背景驗證了平方差公式,接下來通過作業檢驗今天的學習成果,共設置了4種題型.

1)直接計算型.如

(-5m+9n)(-9n-5m), (x-3)(x+3)(x2+9).

3)化簡求值型.如

(3x-y)(y+3x)-(y+x)(y-x),

其中x=1,y=3.

4)幾何背景型.如圖5,從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形(其中a>b),把剩下的陰影部分拼接成梯形(如圖6),通過這兩幅圖形的面積,能夠驗證的乘法公式是______.

圖5 圖6

設計意圖數學知識的教學不能止于課堂,課后作業也應該是學習數學知識的一部分,作業要精心挑選.本節課共布置了4種題型的作業,從基礎到提高,層層推進,學生從簡單計算到復雜運算,經歷題型的多變,拓寬學生的知識視野.幾何背景的題目可以培養學生觀察和直觀想象的能力,對于今后實踐能力和創新精神的提升均有重要意義.

4 思考與建議

4.1 精心設置問題情境,培育學生創新意識

正如前文所述,教師在教學中要合理設置問題情境.創設問題情境的方式有很多,本文所設置的問題情境大致有引發式、似是而非式.毫無疑問,這些問題情境都很好地激發了學生學習數學的興趣.初中生,特別是初一的學生,如果一開始就失去了學習數學的內部動機,那么在今后的數學學習中,將會越來越吃力,這無疑會阻礙學生的數學學習.“情境—問題”教學模式把課堂還給學生,以學生為中心開展教學,充分調動學生的積極性和主動性,創設學生感興趣的問題情境、與學生相關的問題情境等.特別強調,在設置問題情境的過程中,要讓學生提出與數學知識相關的數學問題,否則,就變成了為問題情境而設置情境了,學生通過問題情境能發現并提出相應的數學問題,有助于培育學生的創新意識.

4.2 教學方式靈活多變,主動探究孕育創新

本節課采用“情境—問題”教學進行授課,通過精心設置問題情境,引導學生從情境中發現問題,讓學生帶著問題學習,積極思考,主動探究,旨在通過這樣的授課方式,培養學生對數學學習的興趣和自信心.而創設的問題情境能很好地激發學生的學習熱情,讓學生主動探索新知,不僅培養了學生的推理能力,也讓學生敢于提出自己發現的問題,對學生的創新精神和實踐能力均有不同程度的促進.學生創新意識的培育任重而道遠,教育教學不能急功近利,而是要徐徐圖之.“平方差公式”作為最基本的乘法公式之一,采用“情境—問題”教學,學生能很快進入學習的狀態,教師引導學生發現和提出問題,整節課下來學生的精神狀態都是充滿激情的,這就為培育學生的創新意識奠定了堅實的基礎,學生通過問題情境主動探究,本身就孕育了潛在的創新意識.長此以往,定能促進學生創新意識的培育,實現創造性人才的培養目標,體現數學學科的育人價值.