具體化—形象化—形式化:數學抽象素養培養的路徑
——以“單調性與最大(小)值”為例

紀 斐

(麗水中學,浙江 麗水 323000)

1 案例背景

2022年10月,“浙派名師名校長培養工程”高中數學名師班在浙江省淳安縣第二中學開展了新課程背景下的課堂教學研討活動.該活動針對人教A版《普通高中教科書·數學》(必修第一冊)第3.2.1節“單調性與最大(小)值”進行同課異構.

在第3.2.1節“單調性與最大(小)值”的教學中,增函數與減函數以及函數單調性概念的獲得是一個重要的主題.因此,教師通過教學設計如何從“函數圖象的變化趨勢”這一單調性的感性描述到“函數單調性”概念的數學形式化定義成為這節課教學的關鍵.

函數的單調性是函數的一個核心概念,它反映了函數在某個范圍內的變化趨勢,在數學學科和生活實踐中有著廣泛的應用.函數的單調性是繼函數的概念之后介紹的函數的首個重要性質.因此,函數的單調性這一概念,無論是在學生的學習還是在教師的教學中都有著十分重要的作用.

在教學中,該如何引導學生關注函數圖象的這一變化趨勢?如何關聯自變量x的變化與函數值y變化之間的關系?如何用形式化的數學語言來描述這種變化關系并得到函數單調性的概念?函數單調性概念的本質又是什么?這些都值得關注.

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在“教學與評價建議”中指出,要結合特定的教學任務,思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點;要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯;要關注數學學科核心素養目標在教學中的可實現性,研究其融入教學內容和教學過程的具體方式及載體[1].基于這樣的理念,本文選取了這次課堂教學研討活動中的3個案例,分析并探討在高中數學概念教學中,培養數學抽象這一學科核心素養的路徑與策略.

2 案例呈現

教學片段1教師1的課堂情境引入部分.

師:大家都知道淳安的地勢高低起伏很大,老師從家里開車到學校,由于山路太多,高低起伏,如果車開得很快,那么就像在坐過山車一樣.

全體學生都笑了.教師在黑板上畫了一段近似W型的曲線.

師:如果要研究所畫的行程中的高度變化趨勢,該怎么研究?

生1:要放在坐標系中研究.

師:對于上升階段的圖象,如何描述它的變化趨勢?

生2:函數值y隨自變量x的增大而增大.

師:這是文字語言的描述,能不能用符號語言描述?

生3:當x1

師:我們前面剛學過函數符號,函數值可以用什么表示?

生4:當x1

師:很好!當x1

生5:不能,有的地方增大,有的地方減小.

師:能否用無數個來說明?

生6:不能.

師:如何描述更合適?

生7:所有的.

師:嗯,也就是說對任意的x1

生8:某一部分.

師:對,應該再加上在某個區間內.對于區間D內任意兩個自變量x1,x2,當x1

教學片段2教師2的單調性概念形成與辨析部分.

在得出本節課要研究函數的單調性這一主題之后,教師2提出問題:“我們應該怎么研究單調性?”接著用PPT給出圖1,再利用動畫功能從圖1中慢慢分離出圖2.然后,在同一張PPT頁面上呈現兩個圖象,并進行對比,利用3種語言抽象概括出單調性的定義.

圖1 圖2

例1結合圖形,寫出下列幾個函數的單調區間:

1)f(x)=kx+b(其中k≠0);

2)f(x)=x2;

師:第3)小題的單調區間是什么?

生9:f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞減.

師:很好!請大家思考,能不能說f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞減?

思考一段時間后,教師請生10回答.

生10:不能.比如-1<1,但是f(-1)

師:很好!利用了我們在第一章學過的全稱量詞與存在量詞命題的知識,要說明剛才的命題不成立,只需要找一個反例就可以了.當然我們也可以嚴格證明,接下來請看例2……

教學片段3教師3的課堂導入部分.

開場用PPT給出教材中的導語:函數描述了客觀世界變量之間的一種對應關系,可以通過研究函數的性質獲得對客觀世界中事物變化規律的認識.什么是函數的性質?變化中的不變性就是性質,變化中的規律性也是性質.

師:同學們,學習數學最主要的是要用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界.請大家觀察圖3中各個函數圖象,說說它們從左到右有什么變化規律?

圖3

生11:圖象有起伏,有的變大,有的變小.

師:是什么在變大,什么在變小?

生12:從左向右,有的部分圖象y的值隨x變大而變大,有的部分圖象y的值隨x變大而變小.

師:很好!大家觀察得很仔細,像這種函數值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質,稱為函數的單調性.

3 案例的反思

從上面的3個案例可以看出,從函數的單調性概念的引出,到初步形成學生對單調性概念的理解,到最后給出單調性概念的形式化定義,3位教師的教學設計各有側重.但仔細反思和總結,我們發現“具體化—形象化—形式化”是以“單調性與最大(小)值”這節課的教學為載體、培養數學抽象素養的有效途徑.

3.1 “具體化”起始

教師1先從學生日常熟悉且能引起共鳴的現實生活經歷入手,通過建立坐標系,將從家里到學校路線的高低起伏變化抽象成一個函數圖象性質的問題.具體的生活情境為抽象的研究提供了必要的基礎.學生從具體的實例中結合已學過的知識抽象出函數單調性的概念,可以較快地初步理解函數單調性的定義,為后續概念的辨析打下基礎.當然,上述課堂教學中函數單調性定義的抽象過程的關鍵點是在教師的引導下完成,學生從中積累了經驗.更重要的是,通過對現實問題的一步步抽象分析,學生慢慢理解了函數是構建數學模型的有效數學語言,更進一步理解函數單調性的研究不僅僅是數學本身的需要,也是更好地表達現實世界的需要.

在初中階段,學生主要是通過正比例函數、反比例函數、一元二次函數的圖象的變化趨勢來認識函數的單調性.對于增函數,從函數圖象上來說,是上升的趨勢,用文字語言描述為函數值y隨x的增大而增大.隨著學生認知水平的提升,到了高中階段,可以進一步用抽象的數學符號語言來表述函數的單調性:增函數即對某區間內的任意兩個自變量x1,x2,當x1

3.2 “形象化”輔助

單調性通常是函數的一個局部性質,當然也有些函數在整個定義域上是單調的.為了強調這一點,不少教師都會在抽象出函數單調性的定義后花費不少的時間來辨析.在辨析過程中用大量的文字說明并反復強調,利用定義中的“任意”來解釋,但任意性的理解恰恰是單調性定義理解的難點所在,較為抽象的辨析反而增加了學生對函數單調性理解的難度.

教師2的做法是在單調性概念形成之前精心設計,充分利用圖形語言將較抽象的辨析問題形象化.對于具有多個單調區間的函數圖象,利用動態效果,將其單調的一部分圖象單獨截取出來并對比呈現,這一細節的設計非常精彩.函數圖象部分的動態分離,使學生印象深刻,效果更好.在此環節中無需再用更多的語言說明,兩個圖象進行對比,一目了然,非常直觀,讓學生比較自然地形成了單調性是函數局部性質的印象.這種數學直覺的建立為函數單調性嚴格定義的抽象形成起了潛移默化的作用,同時也對后續單調區間的學習起到了很好的先導作用.臺上一分鐘,臺下十年功,沒有教師平時對教材深刻思考的教學積累,也就不會有課堂上的神來之筆.

教師3借助幾個特殊函數的圖象,通過問題“你能說說它們從左到右有什么變化規律?”,讓學生對函數單調性形成感性認識.

圖4

3位教師都利用教材并通過分析函數圖象的變化趨勢以加深學生對增函數概念的理解:如圖4,增函數是對某區間內的任意兩個自變量x1,x2,當x1

數學核心素養的培養需要我們認真思考,從細微之處著眼,從教學細節入手.對數學抽象素養的培養,在平時的課堂教學設計時要多從圖形語言入手,思考如何讓抽象的問題更加形象,更加有利于學生對數學概念本質的理解,從而更好地運用數學抽象思維解決問題.

3.3 “形式化”提升

在課堂上,教師對數學概念的認知水平是高于學生的.教師覺得顯然的事情,對于學生來說,有可能是難以接受的,這就需要教師先稚化自己的思維,盡可能貼近學生的認知水平,以學生的認知水平為出發點降低抽象問題的理解難度,多設置“階梯”,讓學生的理解一步一步上臺階,最終達到深度理解.

另外,教師對數學概念本質的高水平理解更應在課堂教學中體現出來.雖然在這3堂課中,每位教師都較好地通過從圖形語言到文字語言再到數學符號語言的抽象形成了函數單調性的概念,但綜觀3位教師的教學,還是可以看到他們在處理單調性的形式化定義時,多少帶著點生硬、“不自然”的感覺.

首先,教師1對定義中“任意”這個詞的啟發和鋪墊還不夠;其次,3位教師對定義中的“當x1

4 案例的啟示

數學抽象素養是指通過對數量關系與空間形式的抽象,得到數學研究對象的素養.主要包括:從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并用數學語言予以表征.數學抽象主要表現為:獲得數學概念和規則,提出數學命題和模型,形成數學方法與思想,認識數學結構與體系[1].

基于此,教師在教學中要充分認識數學抽象這一學科核心素養的內涵與外延.

4.1 精準定位

正如教師3所總結的“用數學的眼光觀察現實世界,用數學的思維思考現實世界,用數學的語言表達現實世界”,這正是數學抽象素養的主要內容.

該教師導入環節設置的目的就是從3個圖象中函數的變化趨勢抽象出一般規律,從而得到這節課要研究的對象“函數的單調性”,這一抽象過程也正是數學抽象素養的基本要求.

4.2 精心設計

筆者以前也曾多次觀摩過“函數的單調性”的公開課,有些教師在課堂一開始就拋出課本上的3個圖象讓學生觀察,直接讓學生回答“可以研究哪些性質”.學生的回答五花八門:有答增減性的,有答對稱性的,有答變化趨勢快慢的,有答圖象是否過原點的,有答圖象在x軸上方的.這些回答都是學生基于不同的觀察角度所得出的結論,雖說學生也都在積極參與,但是注意力比較分散,沒有集中到這節課要研究的主題上來,其原因就是研究問題的方向不夠明確.

其實,對于函數單調性的概念,在初中階段,學生已經初步了解正比例函數、反比例函數具有單調性的特征.因此,在高中階段繼續研究函數單調性的概念時,應突出“從左向右”這一細微提示,為學生從特殊函數圖象中找出共同的規律性指明方向,從而讓學生把思考目標聚焦到初中曾研究過的單調性上來,更好地突出這節課的研究主題.

因此,教師在平時的課堂教學中培養數學抽象素養還需要在教學設計上充分考慮學生的認知水平,于細微處下功夫.

4.3 呈現本質

眾所周知,數學抽象是數學的基本思想,是形成理性思維的重要基礎,它貫穿在數學產生、發展、應用的過程中,不僅反映了數學的本質特征,也是使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統的有力抓手.

函數單調性概念的本質在于處理無限變化的趨勢,通過用單調區間內任意兩個點的函數值的大小變化來考查函數在某個范圍內的變化,以“兩點”刻畫“無窮”,即以“有限”把握住了“無限”.因此,在教學中,要多設置具體的情境,多運用“具體化”“形象化”的教學手段,多方位剖析數學概念,讓學生積累從具體到抽象的活動經驗,幫助學生理解數學概念的本質,培養學生把現實問題抽象成數學問題的意識,并在理解的基礎上運用數學抽象的思維方式思考并解決問題.

數學抽象素養落實的一個很好的載體是概念課教學,但數學抽象的培養不僅體現在概念課的教學中.“具體化—形象化—形式化”這一有效路徑,應貫穿在教師日常的課堂教學過程之中.“精準定位,精心設計,呈現本質”可以使得課堂教學的研究方向更加明確,學生學習的重心更加穩固,它不僅架起了從動態觀察到理性分析的橋梁,也為數學概念的抽象和概念的形成起到鋪墊和指引的作用,它能夠有效地讓學生在學習數學的過程中逐漸培育和發展數學抽象這一學科核心素養.