項目學習中發展數學“三會”
——以“變裝的易拉罐”為例

景昱波, 戴秀梅

(1.杭州市觀成武林中學,浙江 杭州 310000;2.杭州市拱墅區教育研究院,浙江 杭州 310000)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出,在數學學習過程中,學生不僅需要獲得“四基”,提升“四能”,還需要培養“三會”的核心素養[1]．核心素養的培養需要教師更新教學方式,而數學項目學習正是重要的載體．其以真實問題解決為導向,整合數學與其他學科的知識和方法,讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋現實生活現象,體會數學的價值,發展應用和創新意識．數學項目學習的特征可概括為:情境的真實性、問題的挑戰性、過程的完整性、成果的創新性、學科的融合性[2]．但如何設計和實施核心素養導向下的數學項目學習,對一線教師來說仍存在困難．

本文基于對核心素養導向下的數學項目學習的理解,開展案例實踐,并給出相應的教學思考,意在為一線教師的項目學習教學提供借鑒．

1 項目前期分析

1.1 項目內容

生活中有兩種不同的易拉罐,二者容量一樣,價格不同,學生自然會提出驅動性問題“為什么價格不同”．學生通過小組交流,自主提出兩個研究思路:1)價格不同可能和包裝用料相關;2)價格不同可能和外觀設計相關．在問題的分析與解決過程中,促使學生將現實生活與數學建立聯系,通過建立數學模型來解決問題．本項目融合數學、物理、美術等學科,以跨學科的形式進行學習,打破學科界限,學生在項目學習過程中,完善知識結構,提升綜合應用能力,從而發展核心素養．基于以上分析,本項目的教學重點是:建立現實問題與數學的聯系,利用數學建模解決問題．

1.2 學情分析

本項目實施對象是九年級學生．在知識能力上,學生已經學習過圓、黃金比以及函數等相關知識,具備相應的基礎知識．在探究能力上,學生具備合作學習的活動經驗．但學生在數據測量時不夠嚴謹;在模型推導過程中容易出錯,以及對如何建立模型和研究函數模型存在疑問．基于以上分析,本項目的教學難點是:數學模型的建立與利用模型分析問題．

1.3 學習目標

1)通過比較不同易拉罐的價格和外觀,從數學角度分析和思考,培養學生數學分析的能力;

2)通過建立數學模型和制定假設解決問題,培養學生解決問題的能力;

3)通過不斷優化模型,對模型的準確性進行評估,培養學生的實踐意識和反思能力;

4)通過設計易拉罐的外觀,激發學生的創造力和創新思維．

1.4 教學活動結構設計

項目學習對初中生來說是新鮮的,學生會懷有很大的熱情,對此教師需要圍繞驅動性問題和學習目標制定教學活動．在教學活動中應鼓勵學生以小組合作的形式,親歷發現、提出、分析、解決問題的過程．

本項目的教學結構如圖1所示:

圖1

2 項目實施過程

2.1 真實情境,問題驅動

圖2

在超市購買飲料時,可選擇如圖2所示的摩登罐或普通罐,二者飲料容量都是330 ml,而摩登罐(圖2(a))3元/罐,普通罐(圖2(b))2.5元/罐．

問題1通過這個真實情境,你認為我們可以研究什么?

師生活動在了解了情境后,自然會提出驅動性問題“為什么價格不同”.

問題2請同學們先獨立思考,再以小組討論的方式想想導致二者價格不同的原因.

師生活動學生通過交流得到2個統一的研究思路(假設飲料成份相同):

1)價格不同可能和包裝用料相關;

2)價格不同可能和外觀設計相關．

教學說明學生基于真實情境,自主提出驅動性問題,這一過程是培養學生“如何從數學的角度發現和提出問題”的最佳路徑．隨后學生通過獨立思考與合作交流,進一步提出該問題的研究思路,為后續“如何從數學的角度分析問題和解決問題”指明方向．

2.2 問題分析,提出假設

問題3先從思路“價格不同可能和包裝用料相關”展開研究,你認為怎樣用料會導致價格不同?

師生活動學生認為在容量相同的情況下,可能與用料的材質或多少相關．

教師可組織學生查閱相關資料,從資料中可知2種易拉罐的材質都是鋁合金,于是確定價格不同可能和材料用量不同相關．

問題4如何獲得2種易拉罐的鋁合金材料用量?

師生活動師生共同探討,制定方案．

方案1學生對易拉罐的高、直徑、厚度進行測量,分別計算用料體積、質量和價格．

方案2學生通過稱一稱獲得用料的質量,計算價格．

2.2.1 方案1的實施過程

追問1在測量的過程中會遇到什么困難?

學生提出以下困難:

1)易拉罐并非標準圓柱體,在罐身與上下底面連接處存在弧形,且上下底面的形狀不同;

2)易拉罐底面直徑的測量存在難度,需確保所測弦過圓心;

3)易拉罐的厚度不易測量,并且罐身與上下底面厚度不同．

結合實際情況提出模型假設:

1)假設2種易拉罐都是圓柱體;

2)假設易拉罐均由相同的鋁合金材料制作;

3)假設易拉罐的上下底面都為圓形,且形狀大小無差別;

4)假設易拉罐罐身的厚度相同,上下底面的厚度相同．

方案1中的符號說明如表1所示:

表1 方案1中的符號說明

教學說明學生通過查閱資料明確研究對象．師生共同探討制定2種研究方案．進一步,學生思考方案1數據測量過程中的問題,從而提出合理假設,用符號表示,并為后續建立模型奠定基礎．

問題5結合大家提出的測量過程中的困難,該如何測量高度、直徑和厚度?

師生活動學生很容易獲得高度,并通過小組合作獲得了如下4種測量底面直徑的思路:

思路1將罐底描在紙上,利用圓的軸對稱性,對折即可．

思路2利用圓的周長公式C=πd,將紙繞罐身一圈測量周長,求直徑．

思路3利用圓周角定理的推論(90°的圓周角所對的弦為直徑)確定直徑．

思路4利用三角板與直尺制作簡易卡尺,測量直徑．

最終通過查閱文獻資料獲得易拉罐的制作工藝和材料厚度．

方案1中的數據結果如表2所示:

表2 方案1中的數據結果

模型建立由圓柱體的底面半徑r、高h、罐身厚度t、上下底面厚度kt,計算用料體積

V=2πr2kt+2πrht;

(1)

由鋁合金的密度ρ,計算制作用料質量

m=ρV;

(2)

最后結合鋁合金的單價P,可得用料總價

W=Pm.

(3)

問題6在利用模型解決問題前,還需要什么數據?

師生活動學生查閱資料可得鋁合金密度為2.7 g/cm3,單價為25元/kg．

學生將數據代入模型,結果如表3所示:

表3 代入模型后的結果

2.2.2 方案2的實施過程

學生通過稱重,得到數據結果如表4所示:

表4 方案2的數據結果

結論1普通罐的鋁合金用料價格反而比摩登罐的高,可知摩登罐比普通罐定價高和用料無關．

教學說明本環節是對研究思路1的探究．學生通過查閱資料或是小組討論獲得數據,通過數學模型得到摩登罐比普通罐定價高和用料無關的結論．教師在教學過程中需通過有效問題進行引導,并給學生思考與交流的時間,學生定將還教師無限的可能．

2.3 優化模型,解決問題

問題7再從“價格不同與外形設計理念相關”展開研究,摩登罐的設計特殊在哪里?

師生活動學生通過獨立思考與小組交流,獲得如下2種想法:

想法1摩登罐的長、寬比例更加協調,符合大眾的審美.

想法2由于摩登罐的用料比普通罐少,說明在材料的利用率上更高．

問題8結合所測數據,思考摩登罐的長、寬比例為何更加協調,其背后是否蘊含數學知識?

問題9能否利用數學知識說明摩登罐的設計材料利用率更高?

師生活動利用所測數據,計算發現摩登罐的實際容量L1=370 ml,而普通罐的實際容量L2=389 ml.因此,摩登罐的空間利用率高于普通罐．

追問2當摩登罐的實際容量固定時,易拉罐的高度h與底面半徑r是否具有函數關系?

追問3能否將模型(1)轉化成V關于r的函數模型?利用函數模型說明摩登罐的設計更有優勢.

(4)

圖3

將摩登罐的數據帶入函數模型,學生利用GeoGebra軟件繪制函數圖象(如圖3),并找到相應的極值點C的橫坐標為r=2.794,可知其近似等于摩登罐的半徑2.825,因此摩登罐的設計是在以實際容量為370 ml基礎上的最優設計．

教師可適當普及高中知識,利用導函數得到極值點的橫坐標．對原函數求導可得

利用摩登罐的數據驗證:摩登罐在實際容量為370 ml且k=2.7時,最優解為r=2.794,h=15.08,這與實際r=2.825,h=14.75接近,因此摩登罐的設計符合最優尺寸設計．

結論2摩登罐不僅設計理念與黃金比相關,且在用料上少于普通罐,材料利用率和空間利用率更高.利用函數模型也可求得摩登罐的設計接近最優尺寸設計,設計理念更加環保．因此,師生一致認為摩登罐定價高,是因為隱藏其中的設計價值.

教學說明本環節是對研究思路2的探究．學生思考交流得到2種想法,通過分析測量數據發現設計理念與黃金比相關;再從材料利用率著手,將已有模型轉化成函數模型,運用軟件繪制函數圖象,研究函數性質,符合函數學習的一般思路,真正做到學以致用;隨后教師立足高觀點,利用函數模型分析最優設計,并驗證摩登罐接近最優設計．在教學過程中教師需引導學生解釋數學結論的現實意義,從而解決驅動問題．

2.4 交流展示,遷移應用

為了進一步鞏固項目學習中獲得的經驗與方法,將成果進行課后延伸,教師需要布置與項目學習相關的子任務給學生課后研究學習．本項目教師給出了2個子任務“黃金比在生活中的應用”與“能否設計一款300 ml液體容量的易拉罐使得材料最省”,這2個子任務的完成有助于提升學生綜合素養和數學建模的能力,發展創新意識與應用意識．

子任務1的交流展示學生自主完成“黃金比在生活中的運用”作業,并組織班級內交流展示．發現黃金比主要涉及以下內容:

1)人體結構.人體結構中有許多比例關系接近0.618,如人有20顆乳牙、32顆恒牙,其比例接近黃金比;人的正常體溫37℃,而人在24℃的環境下新陳代謝和生理機能都處于最佳狀態,其比例也接近黃金比．

2)自然現象.有些植莖上,2張相鄰葉柄的夾角是137°28′,圓周是360°,360°-137.5°=222.5°,而137.5∶222.5≈0.618,研究發現,這種角度對植物通風和采光效果最佳．

3)藝術創作.西方藝術家非常注重把和諧的比例關系融入藝術作品中.例如,名畫《蒙娜麗莎的微笑》《維特魯威人》.又如,著名的雕塑《維納斯》《大衛》．

4)建筑設計.帕特農圣廟的外部建筑結構完全按照黃金矩形設計,給人莊嚴肅穆的感覺和美的享受.埃及金字塔、上海東方明珠塔、埃菲爾鐵塔等都符合黃金比例.

5)工業設計.以logo設計為例,許多品牌的標志均利用黃金圓環進行設計,如蘋果手機、麥當勞等.

子任務2的遷移應用學生在研究子項目2“能否設計一款300 ml液體容量的易拉罐使得材料最省”時自主提出了以下3個問題:

1)為什么易拉罐的設計都是圓柱形的,而非立方體形狀?

2)為什么易拉罐的實際容量要高于液體容量?

3)如果采用更先進的制作材料和工藝,會不會用料更省?

評注采取小組合作的形式展開交流:對于問題1),從數學角度可知,平面中等面積情況下,圓的周長最小,于是在等體積的柱體情況下,橫截面為圓形用料最少;從物理角度可知,易拉罐多數裝碳酸飲料,當受到外力時,圓形的表面受力均勻,不易變形,方便運輸．

對于問題2),碳酸飲料在運輸過程中,搖晃會產生膨脹,為其預留一定的氣體空間較為合理,這也是為何易拉罐實際容量要大于液體容量的原因．

學生選擇不同容量的易拉罐,通過數據計算或測量(見表5),得到至少預留液體容量的10%比較合理．

表5 不同容量的易拉罐的相關數據

因此,模型優化為

對于問題3),學生通過查詢文獻資料,獲知現在國際上最先進的制作工藝的鋁材厚度為0.254mm．

將數據代入優化后模型可得

圖4

利用GeoGebra軟件繪制函數圖象(如圖4),獲得極值點的橫坐標r≈2.74．

教學說明學生課后進一步研究學習,逐漸產生富有創造性的想法,并形成獨創性的項目成果．不僅有對于黃金比在生活中的運用的研究報告,還有對于模型的遷移運用,這些創造性成果不僅促進了學生對項目的深度理解,還豐富了項目學習的評價方式．

3 若干反思

研究表明數學項目學習對于學生數學知識的學習以及非智力層面均有積極意義,但對于課堂教學以及教師自身都提出了一定的挑戰,從而引發了相關思考．

3.1 關于項目學習與傳統課堂教學關系的思考

數學項目學習是以真實情境為背景、以項目任務來推動學習,數學知識的學習貫穿其中,即前者是“明線”,后者是“暗線”．研究表明,它為學生的思考與探究提供了學習環境,“做中學”更能凸顯數學與生活的聯系,從而加深知識的理解,發展核心素養．但是數學知識之間是具有內在聯系的,而非項目學習中相對零散的數學知識．從核心素養角度來看,模型觀念、數據觀念、應用意識、創新意識的確在項目學習中能夠得到較好的發展,但是抽象能力、運算能力、幾何直觀、推理能力這類高層次學科素養難以適應這種活潑的教學形式,日常授課更需要傳統的課堂教學．因此,項目學習不是對傳統課堂教學的一種顛覆,而是一種很好的補充．

3.2 關于項目學習中教師自身的思考

項目學習對教師提出了更高的要求,在傳統課堂中教師更多的是知識的傳授者,而在項目學習中教師還是項目的設計者和學生研究的促進者、合作者．由于數學項目學習往往是以跨學科的形式呈現,因此需要教師具有更多的知識儲備與更高的科研能力．項目學習的設計先要挑選真實情境下合適的主題,并以核心素養為導向設計教學目標,再基于學情設計具有一定開放性、指向不同水平層次的驅動性問題,結合驅動問題與教學目標設計師生協作的教學活動,最后還需要設計“全程式”的評價體系．面對如此巨大的挑戰,教師要提升學習能力與合作意識,一方面,積極參加各類數學項目學習的培訓,充分利用各種資源,提升理論基礎與實踐經驗;另一方面,加強學科間教師交流,集團隊的力量開發高質量的項目學習課程,從而真正通過項目學習發展核心素養．