基于兩平晶三面互檢的折射率均勻性測量方法

馬致遙，鄭東暉，陳磊，馬駿

（南京理工大學 電子工程與光電技術學院，南京 210094）

0 引言

光學制造技術的發展對光學平晶的面形質量和折射率均勻性的要求越來越高，在動態干涉測量等領域都有應用［1-3］。對于常用的633 nm 紅光波段，1 ppm（10-6）量級的不均勻性就能引起波面變化。美國的AI C等提出了采用光學干涉法，主要包括翻轉法和透射法［4］，來測量光學材料的均勻性。國內的郭培基等提出了光學平行平板樣品不均勻性的絕對測量方法，進一步豐富了光學玻璃均勻性測量的方法［5-8］。張瑞應用同步移相干涉儀檢測了平行平板的光學均勻性［9］，白云波則完成了對1 m 級大口徑釹玻璃的均勻性拼接測量［10］。MATOU?EK O 通過傅里葉變換計算了折射率均勻性［11］。透射法可以消除樣品面形及系統帶來的誤差，是目前定量測量光學均勻性精度最高的方法，也是在高精度測量玻璃光學均勻性時使用最廣泛有效的方法。但是上述干涉測量方法除了干涉儀的參考平晶和被測樣品外，還需要另外一塊平晶作為反射平晶使用才能完成對被測樣品折射率均勻性的檢測，即至少需要三塊平晶才能實現。

奇偶函數法和旋轉平均法都是光學絕對檢驗中常用的方法。AI C 等首次提出了奇偶函數法，將波面分解為偶偶、偶奇、奇偶和奇奇四個部分分步求解［12］。XU Chen 提出了用兩塊光學板實現絕對檢驗的方法，他通過透射法預先對透射平晶的折射率均勻性進行檢測和扣除，并通過兩平晶的三個平面完成了絕對檢驗工作［13］。ZHAI Dede 提出了一種基于移位旋轉的絕對測試算法。需要90°旋轉和橫向移位，便于大口徑平面的實施［14-15］。ZHOU You 結合奇偶函數和N 位旋轉平均的思想完成了對600 mm 平晶的絕對檢驗［16］。WANG Yuntao 通過奇偶函數法完成了對300 立式干涉儀的精度調校［17］。

本文結合了光學平晶絕對檢驗中兩平晶絕對檢驗方法、奇偶函數算法和旋轉平均算法的思想，提出了一種只需要使用參考平晶和反射平晶兩塊平晶就能夠完成對參考平晶折射率均勻性質量評估的方法。該方法使用兩塊平晶的三個參考面以及多次旋轉干涉測量，通過將折射率均勻性分成奇偶項求解再疊加的方式實現。利用Zernike 多項式進行了原理性的仿真，在100 mm Zygo 干涉儀上進行了實驗，并通過透射法測量待測平晶的折射率均勻性。

1 兩平晶三面測量折射率均勻性原理

提出的兩平晶三面測量折射率均勻性的過程如圖1 所示，其中A表示透射平晶的非工作面，B表示透射平晶的工作面，C表示反射平晶的工作面，n代表透射平晶（待測平晶）的玻璃材料折射率。

圖1 兩平晶折射率均勻性檢測步驟Fig.1 Steps of two-flats refractive index uniformity test

首先，透過B面使非工作面A和C進行干涉，測量得到波面結果記錄為M1。然后測量工作面B和C的波面結果記錄為M2。接著讓C繞z軸旋轉，測量旋轉45°、90°、180°位置的結果，并分別與工作面B產生干涉，測量得到波面結果記為M3、M4和M5。最后，將透射平晶沿y軸翻轉180°，并將C轉回到原位，直接測量非工作表面A和C，所得干涉測量波面結果記錄為M6，即

式中，（x，y）表示規定的以測試面C為正方向坐標系，（-x，y）表示該面關于y軸發生了翻轉，Cφ表示C面旋轉了φ角度，δ(x，y)表示折射率均勻性引入的波面誤差，n為材料折射率。

通過奇偶函數的分解方法，以偶奇（eo）項為例，利用測量結果M1、M2、M5、M6，將其中的eo 項分離出來，其中M5為B面與C面旋轉180°后的測量結果，結果表示為

式中，下標eo 表示該波面的偶奇分量，根據式（2）可以求得δeo分量，表示為

同理，可以求得δ的奇偶分量δoe以及奇奇分量δoo，分別表示為

通過式（1）～（5）計算出折射率均勻性δ中的eo、oe 和oo 三個部分，還剩偶偶項δee沒有求解，但是根據已有的測量結果，無法直接得到δee部分。因此采用繼續分解的方案，將待求解的δee分量繼續分解為δeee和δeeo兩部分，這兩個分量分別表示關于y=x呈正對稱和負對稱的兩個部分，計算公式為

式中，[δee]'代表δee關于y=x翻轉后的分量。

通過M2和M4的測量結果可計算eeo 分量，M4是B和C旋轉90°的測量結果，先求得這兩個測量結果的ee 分量，然后將這兩個分量做差，可以表示為

式中，如果C在直角坐標系下表示為C(x，y)，根據直角坐標系坐標變換，[C90°]表示為C(-y，x)，根據ee 函數的性質，C(-y，x)和C(y，x)相等，C(y，x)就是C(x，y)關于y=x做翻轉后的坐標，即[C]'，所以

因此Ceeo可以表示為

在得到Ceeo分量后，轉換得到δ中的eeo 分量部分，表示為

對于還沒有求出的eee 項分量，繼續分解為eeee 和eeeo 分量，和前面的類似，這兩個分量分別是關于y=tan(22.5°)x呈正負對稱的分量。類似地，可以通過旋轉45°的測量結果將δeeeo表示為

此時已經求出了δ中除了eeee 分量外的其他分量，而δeeee是關于y=tan(22.5°)x呈正對稱的分量，在Zernike 擬合當中，它可以被認為是8θ 分量，是部分高頻分量。將這部分分量直接忽略的話，可以將折射率均勻性δ近似表示為

常用的Zernike 多項式36 項擬合只到5θ 項，而忽略的部分為高于8θ 的旋轉對稱分量，其中包含δf(ρ)部分，即旋轉不變項分量。實際計算出的折射率均勻性中的誤差項主要為離焦和球差部分。

2 仿真

為了驗證所提方法的可行性，進行數值仿真。使用Zernike 多項式的前36 項構建平面A、B和C的原始表面誤差和折射率均勻性誤差波面，如圖2 所示，其中Z1、Z2和Z3的系數為0，Z4～Z36的系數隨機生成，其中A、B和C三個面的峰谷值（Peak-valley，PV）約為60 nm，折射率均勻性引入的波面誤差在80 nm 左右，具體PV 和均方根值（Root-mean-square，RMS）參數如表1 所示。

表1 仿真原始波面PV 和RMS 值Table 1 PV and RMS values of original simulation wavefront

圖2 原始仿真波面Fig.2 The original simulation wave

根據提出的方法恢復得到的折射率均勻性結果如圖3（a）所示，其分布與仿真預設的折射率均勻性基本一致，兩者相減得到的殘差如圖3（b）所示，殘差圖的形式符合預期，呈現旋轉不變的特征。對應的PV 和RMS 值如表2 所示。理論的殘差應該為實際的折射率均勻性引入波像差的eeee 部分。將這部分單獨提取出來，如圖3（c）所示。

表2 復原折射率均勻性的PV 和RMS 值Table 2 The PV and RMS values of recovered refractive index uniformity

圖3 折射率均勻性波面復原結果及殘差對比Fig.3 Recovered refractive index uniformity wavefront results and its residual comparison

從圖3 中可以看出，所求出的折射率均勻性的殘差和原始的折射率均勻性波面的eeee 項部分完全相同，符合理論預期。說明在Zernike36 項內，即中低頻區域內，待測面的面形精度對恢復折射率均勻性沒有影響。根據原理，殘差為eeee 項部分，這部分分量每45°呈現正對稱性質，因此是頻率8θ分量，在實際測量中，面形信息中超過8θ的部分，會對恢復結果產生影響。但是這部分高頻信息本身所占比重很低并且對整體面形以及波面參數的影響很小。

以材料折射率均勻性的標準來判斷，假設平晶材料的厚度為10 mm，原始波面折射率均勻性為7.8 ppm，而復原波面的折射率均勻性為7.2 ppm，結果僅相差0.6 ppm，可以認為兩者處于同一量級，說明該方法對評價折射率均勻性指標具有較好的效果。

3 實驗與結果

3.1 100 mm 平晶實驗

為了進一步驗證該方法的準確性，在Zygo GPI 干涉儀上使用Φ100 mm 平晶進行實驗，裝置如圖4 所示，6 次測量的波面如圖5 所示。使用的透射平晶為石英材料，前后表面質量均優于，λ表示波長，且具有一定的楔角，不會產生自干涉的條紋。反射平晶的使用的是一塊微晶平晶，表面質量同樣優于。

圖4 兩平晶折射率均勻性檢測裝置Fig.4 Experimental setup for two flats refractive index uniformity test

圖5 兩平晶法測量透射平晶折射率均勻性波面Fig.5 Wavefront of refractive index uniformity of transmission flat by two flats method

在測量過程中，透射平晶在對點板上存在前后表面2 個光斑，反射平晶只有1 個光斑。透過平晶測量會引入折射率均勻性誤差，條紋圖及測量結果中能夠看出比較明顯的應力條紋，如圖5 中的M1所示，可以直接判斷出是否為透射測量。

采用傳統三平晶透射法測量同一塊透射平晶的折射率均勻性，與兩平晶法進行比較，實驗裝置如圖6所示。

圖6 透射法測量折射率均勻性實驗Fig.6 Experiment of transmission method for refractive index uniformity test

透射法測量折射率均勻性的步驟如圖7 所示，總共需要進行4 次測量：1）測量參考面A和反射面D的空腔干涉結果；2）將待測折射率均勻性的測試平晶放到中間，測量穿過透射平晶后，參考面A和反射面D的干涉結果；3）測量參考面A和測試平晶前表面B的干涉結果；4）測量測量A和測試平晶后表面C的干涉結果。測量結果可以表示為

圖7 透射法測量折射率均勻性步驟Fig.7 Steps for measure refractive index uniformity by transmission method

計算出折射率均勻性δ引入的波面差可以表示為

3.2 結果比較

通過兩種方法計算出透射平晶的折射率均勻性結果如圖8 所示，平晶厚度為15 mm，恢復結果的PV 和RMS 值如表3 所示。兩種方法的測量結果在面形分布上相似，明顯的應力條紋分布位置也能夠顯示出來。

表3 折射率均勻性復原結果的PV 和RMS 值Table 3 PV and RMS of the recovered refractive index uniformity

圖8 折射率均勻性測量結果Fig.8 The result of refractive index uniformity

根據表3的結果，兩種方法恢復的折射率均勻性結果PV 值相差3.02 nm，RMS 值相差1.27 nm。計算出通過兩平晶法恢復的折射率均勻性為4.1 ppm，通過透射法測量的結果3.9 ppm，兩者處于同一量級，僅相差0.2 ppm。因此，可以認為該方法能比較好地評價平晶的折射率均勻性質量，并且能夠恢復出其中明顯存在應力分布的位置。

4 誤差分析

4.1 旋轉角度誤差

在實際測量過程中，由于旋轉裝置的機械誤差，旋轉過程中會產生角度誤差。原始波面采用圖2 的波面，每次的旋轉角度為45°，在這個角度基礎上每次增加0.1°的旋轉角度誤差，計算此時恢復波面的誤差情況。這里忽略了固有的理論誤差值，只考慮由于旋轉角度誤差造成的影響。

根據圖9，當旋轉角度誤差小于0.5°時，殘差的PV 值小于1 nm，當旋轉角度誤差小于1°時，殘差的PV 值小于2.5 nm。所使用的旋轉結構分度值為0.5°，實際由于旋轉造成的誤差能夠小于1 nm，對恢復折射率均勻性的影響并不明顯。

圖9 旋轉角度誤差與殘差關系Fig.9 Relationship between the rotation angle error and the residual error

4.2 對準偏差

在干涉測量過程中，干涉儀參考平面坐標被當作參考坐標。其他平面在對準以及旋轉過程中都與參考坐標對準，但是實際上總會存在一定的偏差，影響測量結果。對準偏差和殘差面之間的關系如圖10 所示。對準偏差的計算方式與旋轉角度誤差類似，忽略固有的理論誤差引入的影響，只考慮對準偏差造成的影響。

圖10 對準偏差和殘差關系曲線Fig.10 Relationship between the pixel offset and residual error

隨著對準誤差的增大，殘差PV 值快速變大，RMS 值的增大則緩慢一些。如果偏差達到10 像素，殘差的RMS 也能小于1 nm。換算成實際尺寸，在100 mm 的平晶中，保證對準偏差小于1 mm，恢復結果的RMS 值偏差能夠小于1 nm。

5 結論

本文提出了一種基于兩平晶三面互檢的折射率均勻測量方法。在Φ100 mm Zygo GPI 干涉儀上對該方法進行了實驗驗證，并與傳統三平晶透射法進行了比對，結果表明，兩種方法測量得到的折射率均勻性結果分布一致，數值僅相差0.2 ppm，驗證了所提方法的準確性與可靠性。該方法僅需兩塊平晶，可拓展應用至大口徑光學平晶折射率均勻性的檢測，降低檢測成本。