具有“挑戰性任務”的數學問題鏈的教學案例設計嘗試

徐璦 楊凱凡 趙臨龍

陜西理工大學數學與計算機科學學院??陜西漢中??723001

摘??要：問題鏈教學通過一個個問題合理分解教學目標，引導學生自主學習，有利于學生進行深入的數學思考，有關挑戰性任務的研究可以為問題鏈的設計提供依據。文章闡述了數學挑戰性任務和問題鏈教學的關聯以及設計挑戰性問題鏈的關鍵點，通過對“確定二次函數表達式”的教學實踐探索，闡述了關于挑戰性任務的問題鏈設計的思路及實施要點。

關鍵詞：挑戰性任務；問題鏈；二次函數

一、數學挑戰性任務與數學問題鏈教學的關聯

數學挑戰性任務指在數學中需要深入思考，對學生認知要求高的任務，核心目標指向對學生高階思維能力的培養，如對信息的分析綜合能力、評價和創造能力。采用“挑戰性任務”的數學課程，以實際問題為主驅，以對知識的積極投入、建構與創新為手段，強調將學生知識內化、知識運用與數學高階思維的提升?！疤魬鹦阅繕恕弊尳虒W從學科走向學生，“挑戰性內容”讓教學從單一走向多元，“挑戰性流程”讓教學從“主導”轉向“合作”。學習者可以在挑戰性學習中挑戰自我，實現各種身心發展與能力提高。[1]

問題鏈教學是教師以教學目標為指引，根據教學中的知識關聯，提出一系列具有邏輯連接的問題鏈，將教學目標分解成一連串小目標，使學生在自主探索解決問題的過程中掌握知識、鍛煉能力的教學方法。在數學教學中，培養高階思維以問題為載體，設計的問題鏈可以有效引領學生思考，外化思維過程，在問題鏈指導下思考和解決問題的過程中，高階思維也得到了有效發展。[2]

數學挑戰性任務與問題鏈教學都旨在追求對學生深入的數學思考即高階思維能力的培養。第一，挑戰性任務具有復雜性、綜合性，適度的挑戰性既可以保證任務對學生具有吸引力也能通過問題解決過程實現學生發展。第二，數學問題鏈為學生進行深入的數學思考提供載體，發展學生的數學學習能力、思維能力。教師可將挑戰性任務通過問題鏈呈現，促進學生積極進行思維活動，鍛煉學生的高階思維能力，為挑戰性任務的落實提供路徑。數學問題鏈教學，是一種構建知識聯系、發現數學本質、完成挑戰性任務，從而激發學生深入思考、落實核心素養的培育的方式。[3]?因此，基于挑戰性任務設計數學問題鏈值得關注和研究。

二、基于挑戰性任務設計問題鏈的關鍵點

（一）明確教學目標，做好課堂預設

第一，教師要對數學挑戰性任務進行剖析，確定符合學生認知水平且學生能最大限度獲得發展的教學目標。以學生現有知識水平為出發點，以教學目標達成為終點設計問題鏈。問題鏈間應有明確的邏輯聯系，在教學活動結束后形成由淺入深、層層遞進的探究體驗。第二，預設就是根據一定的事實材料、經驗和理論知識對實踐活動的策劃、規劃、預測、設計等活動。[4]設計問題鏈時，不僅要考慮每個問題的價值及想要達成的效果，還應充分預設學生的回應。學生在解決問題時可能會選擇不同的方法，這要求教師自己經歷多種解決問題的路徑，做出多種預設。課堂上，學生可能很快提出解決方法，也可能遲遲找不到突破；可能出現多種思路，也可能想法單一。教師應提前做好預案，使學生持續思考并保證課堂效果。

（二）依據最近發展區，合理設置問題難度

維果斯基將學生現有水平與學生可能達到的水平之間的差異稱為最近發展區。即教學目標要符合學生現有水平，也應符合學生的最近發展區，使學生在可能范圍內獲得最大的發展。在基于挑戰性任務設置問題鏈時，問題需具有一定難度，是學生必須認真思考、探索總結后才能解決的，經歷這樣的“挑戰”，才能發揮對學生高階思維能力的提高作用。但若問題難度與學生現有知識水平差距過大，超出最近發展區，即使在教師引導下勉強完成任務，新知識也很難與學生已有知識建立聯系，起不到鍛煉學生思維的作用。因此，在設置問題鏈時，可利用主干問題將任務分層，各問題間留有一定的思考空間，在主干問題之間設置輔助問題，在學生無法自主解決時進行適時引導，這樣既給學生留下了充足的發展空間，也保證學生能通過努力解決問題。

（三）發揮學生學習主動性，引導學生自主探索

在傳統的教育模式里，學生學習處于被動接受的地位，單方面的知識傳遞不利于學生創造力、想象力以及學習主動性的發展。因此，應注重培養學生自主學習的能力。首先，在設計問題鏈時，可以通過生活情境等與學生聯系緊密的挑戰性問題吸引學生的注意，激發學生解決問題及探索的欲望。其次，在探索過程中，對于基礎的、挑戰程度不高的問題，鼓勵學生獨立思考探索解決問題；對于考察要求較高、挑戰性較大的問題，可通過集體討論、共同實驗等團體探索的形式進行解決。既可以培養學生獨立解決問題的能力，又可以鍛煉學生溝通表達的能力、培養團結協作的意識。最后，在教學中，教師要懂得適時放手，給學生觀察、操作、討論的機會使學生從內心產生求知的欲望，學生的內在需求更能調動自身各項特長與潛能，在完成挑戰性任務的同時也獲得了自身的發展。

（四）考慮學生差異性，設置輔助性問題

陶行知先生說過：“教什么和怎么教，絕不是凌空可以規定的，它們都包含‘人的問題，人不同，則教的東西、教的方法、教的分量、教的次序都跟著不同了”。[5]首先，在面對挑戰性任務時，教師應該根據學生的實際認知水平確定該任務的學習目標。設置啟示性問題引導學生將挑戰性任務與已有知識聯系起來或提示可選擇的探究方向與方法；同時設置拓展性問題，若大多數同學都能完成挑戰性任務，展示拓展性問題對學生提出更高的要求。其次，班級中不同學生有不同的知識結構和學習水平，教師應密切關注每個學生的表現。有的同學能快速組織調動已有知識結構并探索出問題解決辦法，此時教師可針對性地提出輔助問題，如：“你能想到多少種解決辦法？不同的辦法有什么特點？”，增加學生探索過程的深刻性。當然，也有面對問題局促茫然、無從下手的學生，教師可適時提供更加具體的提示問題，讓學生參與到問題解決的探索中來，保證每個學生都能在解決問題的過程中有所收獲。

三、《確定二次函數的表達式》教學案例

《確定二次函數表達式》是北師大版教材中九年級下冊第二章“二次函數”第三節內容。

（一）內容分析

二次函數是初中數學中十分重要的一部分，在本節內容之前學生已經學習了二次函數的表達式、圖像以及性質，求二次函數表達式是在了解函數表示形式及函數圖像性質的基礎上展現的，同時也為二次函數實際應用奠定基礎。在本節課中，學生需要把握數形結合的思想，在實際的問題中抽象出數學模型并根據題目條件靈活運用待定系數法求解二次函數表達式。

（二）問題鏈設計

1.提出挑戰性問題，設置輔助問題，引導學生聯系已有知識

挑戰性任務的設置是依據學生的認知水平而確定，其中包含了學生已有的知識基礎，但學生無法輕松解決。該任務能引導學生根據題設條件回憶已有的知識和經驗，引發學生的認知沖突。經過對問題的分析過程，能鍛煉學生識別、定位已有知識和經驗的技能，提高學生完善認知體系的能力。

問題1（挑戰性任務）：如圖一個隧道入口橫截面是拋物線，入口底部寬8米，隧道兩側各有一盞燈，燈的高度距地面4米，兩燈之間水平距離為6米，隧道口的最大高度多少米？

問題1-1：針對以上問題你能想到什么數學內容？有什么解決這個問題的辦法？

問題1-2：如果要運用拋物線的性質解決問題，針對未知的函數，怎么去求函數表達式呢？

問題1-3：回憶學過的兩種函數，在求反比例函數以及一次函數表達式時，待定系數法有哪些步驟？

設計意圖：本節課以問題解決型的數學挑戰任務開始，該任務對于多數學生而言具有挑戰性。問題以生活化情境呈現，學生需要分析問題并結合已有知識從中抽象出數學模型。問題解決方法多樣，學生需要花費大量時間確定解決路徑及步驟。

問題1-1的設置旨在使學生建立與所學內容的聯系，體會生活與數學的緊密關聯。學生獨立思考后，部分學生會提出初步的想法，但也會有大量學生表示毫無頭緒，輔助問題1-2將難度分解，提示學生思考的方向。問題1-3回顧待定系數法，通過類比為本節課求解二次函數表達式做準備。

2.不同情況探究比較，加深學生思維深度

圍繞同一知識點設置不同形式的問題，學生在解決問題過程中需要進行知識的遷移，通過類比進行已知到未知的推理。單獨完成對每個小問題的解題后，對不同情況進行比較總結，形成對該部分內容的整體把握。經歷這部分探究，提高了學生對知識技能的遷移能力、已知到未知的推理能力以及建立解題模型的能力。

問題2：二次函數表達式有幾種形式？請嘗試求出以下情況中二次函數表達式。

問題2-1：拋物線圖像過（1，0），（2，0），（3，4）三點，求拋物線的表達式。

問題2-2：拋物線頂點是A（4，1），并且經過點B（2，0），求二次函數的表達式。

問題2-3：拋物線的圖像過點A（1，3）、B（-2，-6）且對稱軸是，求二次函數的表達式。

3.展示思維過程，討論辨析，發展表達能力和批判性思維

學習過程中學生的數學表達和總結能力不可忽視，討論過程中不僅鍛煉了學生數學表達能力也提高了分析總結的水平，有利于高階思維能力的固化。問題3是對問題2的整理總結，通為學生提供交流合作的機會，學生通過語言梳理思路并外化。討論過程結束后，教師可根據討論情況引導學生做出整理，幫助學生實現新知識建構。同時，批判質疑思維也具有重大意義，學生通過分析和判定過程與結論是否正確，促進學生的批判性思維發展以及獨立思考，增加學習的動力。

問題3-1：你和其他同學求表達式的方法一樣嗎？請同學們四人一組，展示自己的求解過程并說明理由。

問題3-2：你覺得其他同學的方法正確嗎？

4.多種方法解決問題，鍛煉學生分析問題的靈活性

同一問題采用不同的解決辦法會經歷不同的難點。因此引導學生選擇不同方案解題并進行分析對比，讓學生養成對問題條件的深度分析意識，靈活選取合適便捷的思路，避免思維定勢的影響，提高學生思維的靈活性。

問題4（重新展示挑戰性任務）：?在這個問題中你會如何設立坐標系，怎么確立更便于確定函數表達式呢？

問題4-1：以A為原點設立坐標系，其他幾個點坐標如何表示？并用待定系數法求出函數表達式。

問題4-2：以C為原點設立坐標系，其他幾個點坐標如何表示？用待定系數法求出函數表達式。

問題4-3（拓展性輔助問題）：以上哪種做法比較簡便？你能想到更簡便的做法嗎？

設計意圖：問題4重新回到挑戰性任務，教師需根據課堂狀態選擇問題呈現，若大部分學生對問題解決有了明確方法，則問題4-1與4-2可以不做集體呈現，將其有針對性作為輔助問題提供給遲遲沒有動作的學生。若問題4-1、4-2沒有集體呈現，學生設置坐標系可能出現其他形式，問題4-3在呈現時可做適當調整，教師引導學生進行整理比較，體會不同方法的選擇依據和優點。

5.形成完整解決方案并應用于新問題，提高學生決策能力及問題解決能力

學生經歷一系列探究后，能分析題中解決問題所需的信息，建立信息間的聯系，制定最優的解決方案，提高解決問題時的決策能力。對于新的問題，學生通過解釋相關信息，辨別各類情況的關聯和差異，完成對所學知識和技能的遷移，鍛煉學生辨析和解決問題的能力。

問題5：現在你能選擇合適的辦法計算出隧道口的最大高度了嗎？有幾種方法？

問題6（鞏固+檢測）：請同學們嘗試用多種方法解決以下問題。

李大叔建一個蔬菜大棚如圖所示，大棚橫截面為拋物線，尺寸如下圖。

（1）求拋物線表達式；

（2）李大叔身高180cm，要想在大棚內不彎腰活動，求他的橫向活動范圍是多少米。

（三）小結

“確定二次函數表達式”問題鏈的設計以學生已有認知結構為基礎，按照6個主干問題展開，部分問題下設有輔助問題。主干問題將挑戰性任務分解，為學生搭建解決問題的腳手架，輔助問題根據課堂情景呈現，在必要時促進學生自主思考。在教學過程中，挑戰性任務借助問題鏈靈活培養學生完善認知體系的能力、建模能力、問題解決能力和決策能力等中學生高階思維能力。因此，基于挑戰性任務的問題鏈設計對培養中學生高階思維切實有效。

參考文獻：

• 白鳳祥.設置“挑戰性任務”，促進學生學習進階[J].數學教學通訊，2020，731（22）：32-33.
• 吳立寶，劉穎超，曹雅楠.基于問題鏈的初中數學課堂高階思維培養路徑研究[J].天津市教科院學報，2022，34（01）：21-27.
• 黃和悅.關聯與指引：初中數學問題鏈教學策略探索——以“平面直角坐標系中的探索性問題”教學為例[J].福建教育，2021，1344（41）：33-35.
• 李森，石健壯.預設性與生成性：教學思維的二重基本屬性[J].當代教師教育，2010，3（01）：52-56.
• 陳歡夸，林雪松.基于學生預習困惑反饋的教學實施路徑——以《影響世界的工業革命》為例[J].中學歷史教學，2022（01）：60-63.

*?作者簡介：徐璦（1995—），女，漢族，陜西西安人，碩士研究生，主要從事學科教育（數學）方向研究。