基于自適應多層RLS的鋰離子電池參數辨識

段雙明，張勝利

（現代電力系統仿真控制與綠色電能新技術教育部重點實驗室（東北電力大學），吉林 吉林 132012）

鋰離子電池由于其高能量密度、長循環壽命和無記憶效應的優點被廣泛應用在電動汽車、新能源發電和移動電子設備等領域[1-2]。模型參數辨識是電池建模的重要步驟，辨識結果的準確性直接影響模型的精確性，而模型參數直接影響現有電池故障診斷效果[3-4]和電池狀態估計精度[5-6]。因此，實現精確的參數辨識對于電池管理至關重要。

在線參數辨識可以根據電池所處的環境和狀態實時修正模型參數，因此被大量研究。文獻[7]提出滑動窗口差分遺忘因子遞推最小二乘法，選擇自適應變時間寬度的數據來更新遺忘因子，實現了對遺忘因子的進一步控制，但只驗證了在電池參數不發生變化情況下的結果，對于變化參數的情況并未討論。文獻[8]針對電池模型不同部位的收斂時間的不同特點，使用RLS（recursive least squares）和擴展卡爾曼濾波異步辨識二階等效電路模型，驗證了電壓誤差從零初值收斂到確定參數的收斂時間，同樣存在的問題是在參數發生變化的情況下，并未說明參數收斂時間。文獻[9]使用粒子群優化模擬退火算法對三種不同類型的電池模型參數進行辨識，展示了所提方法在不同模型間的通用性，但所用方法并未驗證在實時參數辨識上的計算時間問題。文獻[10]提出使用恒流間歇滴定技術建立等效電路模型參數的精確查找表，對不同溫度下的電池參數進行精確表征，但這需要大量的前期實驗時間，并且同一型號的電池存在不一致性差異，隨著使用時間的增加，查找表精度會越來越差。文獻[11]針對鋰離子電池組提出了一種改進的復合等效建模方法和拼接卡爾曼濾波算法，提高了荷電狀態的預測精度。文獻[12]提出了一種改進的前饋-長短期記憶（FF-LSTM）建模方法，通過有效地考慮電流、電壓和溫度等因素，實現了精確的全生命周期SOC預測。

在電流變化頻繁的運行條件下，極化電容參數會劇烈變化，而RLS 適用于參數變化緩慢的系統，當參數變化劇烈時，辨識參數誤差會增大[13]，故針對電池參數發生變化時導致辨識誤差的問題，本文提出自適應多層RLS參數辨識方法，所提方法根據層數變化來更新參數，以提升算法參數跟蹤能力。設計層數選擇器，根據誤差e(k)值的變化選擇層數，減小計算量，搭建仿真實驗平臺，驗證所提方法的正確性和有效性。

1 電池模型

由于戴維南模型精度較高且計算量不大，本文選擇戴維南模型作為電池待辨識模型，其結構如圖1所示。戴維南模型由受控電壓源、歐姆內阻和并聯的電阻以及電容組成，電壓源表示電池的開路電壓(open circuit voltage，OCV)，其值會隨著SOC 的變化而改變。歐姆內阻R0代表了當電流流過模型時所產生的瞬態電壓降，歐姆內阻由電極材料電阻、電解液電阻等組成，是體現電池健康狀態(state of health，SOH)的重要指標[14]。并聯的電阻電容分別是極化內阻RP和極化電容CP，其可以描述當電池充電或放電時電壓的瞬態變化[15]。圖1 所示戴維南模型電流和電壓關系可以由公式(1)描述。

圖1 戴維南電池模型Fig.1 Theveinan battery model

式(1)中，UP為極化電壓，Ut為端電壓，i為充電或放電電流，Uocv為開路電壓。進行參數辨識前需要將該時域模型轉化為外源性自回歸模型[16]。令Ul=Uoc-Ut，可得傳遞函數：

對式(2)使用雙線性變換[17]：

式中，z為離散化運算子，Ts為采樣間隔，可得傳遞函數的離散形式為：

中間參數a1、b0、b1可分別表示為：

從式(4)可得離散模型：

式中，y(k)為端電壓矩陣，φ(k)為輸入矩陣，θ(k)為參數矩陣，分別表示為：

獲得參數矩陣θ(k)后，可根據式(8)解出戴維南模型的參數值。

2 自適應多層RLS參數辨識

2.1 RLS

在最小二乘方法中，為使給定的數據和假定的信號或無噪聲數據之差的平方達到最小，即最小化式(9)。在公式(9)中，當遺忘因子λ為1 時，式(9)為標準的最小二乘法。當λ小于1 時，隨著i的增加，指數λk-i會越來越大，這表示新數據更新參數的權重大于舊數據，因此實現對時變系統的參數跟蹤[18]。

遞推最小二乘為式(9)的遞推形式，其迭代公式如下：

式(10)～式(13)中，K(k)為增益矩陣，P(k)為協方差矩陣，I為單位矩陣，λ通常取0.95～1。遺忘因子的取值會對參數辨識的結果產生影響。例如在第k次的計算中，λ越小，第k次之前的數據點對第k次參數更新所占的比例越小。傳統的RLS參數更新受限于指數遺忘的形式，當系統參數變化劇烈時，存在參數誤差。本文提出使用層數更新參數的自適應多層RLS法，以提升對快速變化參數辨識的精度。

2.2 自適應多層RLS參數辨識

電池參數會隨著SOC、電流和溫度的變化而變化，AMLRLS從各層得出的參數中，計算電壓誤差中參數量所占的比例，提取誤差中的參數量，從而減小參數誤差。為了形成多層RLS結構，對于式(6)所表示的系統，在第一層RLS中，根據式(14)可將系統重新表示為式(15)的形式，其中下標Ln表示第n層，即把式(6)的y(k)作為第一層的yL1(k)，把θ(k)作為第一層的θL1(k)。

式(14)中，yL1(k)表示第k次的端電壓，θL1(k)表示第一層的參數大小，根據第一層的辨識結果，可得第一層的電壓誤差為：

展開yL1(k)后為：

θL1(k) -可表示為θL2(k)，作為第一層參數估計后的參數誤差矩陣。在第二層中，RLS用來估計第一層產生的參數誤差θL2(k)。和第一層相似，第二層的估計誤差如式(18)所示：

展開yL2(k)后為：

后面每一層的yL(k)取計算上一層估計參數的電壓誤差，例如在第(m-1)層中，其估計的參數為θL(m-1)(k)，θL(m-1)(k)所產生的誤差[θL(m-1)(k) -]作為下一層待估計的參數，如式(20)所示[13]：

得到第(m- 1)層的yLm(k)后，第(m- 1)層的ek和與第一層RLS類似，分別為：

式中，Kk增益矩陣為第一層的增益矩陣，即所有層共用一個Kk增益矩陣。達到規定的計算層數后，第k次數據點的參數就是第k次所有層的參數之和，即：

隨著層數的增加，參數誤差會越來越小，但參數誤差減小到一定程度后噪聲對參數的影響增大，考慮更多的層數帶來更多的計算負擔，選擇合適的層數是必要的。當參數變化更劇烈時，因為RLS的指數遺忘性質會導致參數誤差變大，而參數誤差體現在e(k)上，故可以通過增加RLS 層數對參數誤差進行補償，因此合理的RLS層數應該和參數變化有關。此外，當參數誤差小到一定程度后繼續增加層數以減小誤差并不合理，因為足夠小的誤差下噪聲所占的比例會變大，故層數不應太大。綜上，層數選擇器的設計如式(24)所示：

式(24)中，round()代表取整數函數，Lmin為最小層數，h為敏感系數，ebase為允許誤差，e(k)為k時刻的誤差，h表示了L(k)隨誤差e(k)變化的快慢，h取值為0～1，當h接近1時，L(k)變化加快，h接近0時，L(k)變化變慢。根據式(24)可以得出：當e(k)大于ebase時，L(k)會增加；當e(k)小于ebase時，L(k)會減小，因此通過增加層數來減小誤差是可行的。層數選擇器的加入使誤差控制在可以接受的范圍內，并且減小了計算量。結合層數選擇器后，AMLRLS參數辨識步驟如表1所示。

表1 AMLRLS參數辨識流程Table 1 The parameters identification steps of AMLRLS

3 仿真驗證

為了驗證所提方法在參數變化時跟蹤參數的能力，本文使用MATLAB仿真電池戴維南等效電路模型，采樣頻率設置為1Hz。其中模型參數設定為R0=0.07Ω，RP=0.01Ω，CP設置為1000～1200F 的變化值。分別使用三種方法對變化的極化電容CP進行辨識，AMLRLS遺忘因子設置為0.99，最大層數為4，最小層數為1，AFFRLS最大遺忘因子設置為0.99，最小遺忘因子設置為0.98，RLS遺忘因子設置為0.99。仿真結果如圖2所示。圖2(a)為極化電容以2000 s為周期變化的情況，結果顯示在參數發生變化后，三種方法依次收斂至真實值。得益于以多層結構更新參數，AMLRLS 與真實值最為靠近，在最短的時間內逼近真實值。AFFRLS收斂至真實值的時間大于AMLRLS，但AFFRLS具有改變遺忘因子的優勢，這使得其在小于RLS的時間內收斂至設定的準確值，RLS收斂至真實值的時間最長，辨識到的參數有明顯的時間滯后。圖2(b)為極化電容以1000 s為周期變化的情況，其辨識結果與圖2(a)類似，不同的是由于參數變化頻率加快，算法辨識值和真實值之差有所增大。

圖2 算法辨識以不同周期變化的極化電容Fig.2 Algorithmic identification of polarizing capacitors with varying time periods.

表2 統計了圖2 三種算法辨識結果與真實值的平均絕對誤差(mean absolute error, MAE)，其中圖2(a)中AMLRLS 的MAE 是RLS 的37.5%，是AFFRLS 的55.4%。圖2(b)在極化電容參數變化頻率增加的情況下，三種方法的MAE 比圖2(a)的結果都有所增加，在圖2(b)中，AMLRLS 的MAE 是RLS的31.0%，是AFFRLS的53.5%。根據以上分析，可以得出當極化電容參數變化的頻率越大，AMLRLS的MAE相較于RLS的提升越大。

表2 極化電容以不同頻率變化的平均絕對誤差對比Table 2 Comparison of mean absolute error of polarized capacitance at different frequencies

4 實驗驗證

4.1 SOC-OCV曲線

在參數辨識之前，需要進行實驗確定電池的SOC和OCV曲線，SOC與OCV的關系可用式(25)的多項式表示[19]：

式中，ci為多項式系數。首先，將電池以1 C倍率的恒定電流進行充電，充電至截止電壓4.2 V，隨后以恒定電壓4.2 V 進行恒壓充電，當電流降低到0.01 C時，停止充電，此時電池已經充滿，充滿后每次以1/20C的電流放10%的電量，放電后間隔2 個小時，并記錄此時的SOC-OCV 對應值，之后進行下一次放電。經過以上實驗，可以得出SOCOCV 的11 個對應點。為了得出SOC-OCV 曲線，需要使用MATLAB曲線擬合工具箱對SOC-OCV點進行擬合，擬合的結果如圖3所示。圖中11個點分別對應了SOC從0至1時開路電壓從3.2 V至4.2 V的變化情況。

圖3 SOC-OCV擬合曲線Fig.3 SOC-OCV fitting curve

4.2 DST和FUDS工況下的驗證

電池在實際使用中，電池參數在不斷發生變化[20]，為了驗證所提方法在模型參數變化情況下的優勢，本文使用DST（dynamic stress test）和FUDS（federal urban driving schedule）兩種電流變化比較大的電流文件來進行實驗。實驗數據均來源于馬里蘭大學鋰電池數據集，實驗電池型號為INR 18650-20R，容量2000mAh。DST 和FUDS電壓電流的特點分別如圖4所示，從圖中可以看出FUDS與DST電流變化的幅值相同，但FUDS的電流變化相對更頻繁，且兩種電流文件中電壓不斷下降，電池總體呈放電趨勢。實驗所設置的溫度為25 ℃，實驗電池初始SOC為80%。辨識后根據電壓誤差的大小作為電池參數辨識是否準確的依據，電壓誤差的計算方法為[7]：

圖5 是根據式(26)得到的電壓誤差。在圖5(a)的DST 電流文件中，可以看出相同的部分為在電流變化較大的情況下，電壓誤差也相對較大，這是因為在電流變化大時，電池參數發生變化，而算法并不能及時地收斂至變化的電池參數，而AMLRLS使用多層結構遞推分離出電壓誤差中的參數量，故在2000～8000 s 這一階段的AMLRLS 的最大電壓誤差要小于作為對比的AFFRLS和RLS，這驗證了所提方法在參數變化情況下可以降低電壓誤差的優點。另外，在開始和結束時間段3種方法的電壓誤差均高于中間時間段。在FUDS 電流文件中，電流變化頻繁，在電流變化大時AMLRLS 低電壓誤差的優勢并不明顯。為了更直觀地評價所提方法的優勢，分別計算DST 電流文件和FUDS 電流文件下的平均絕對誤差(27)和均方根誤差(28)。在式(27)和式(28)中，Vtest為實驗所測得的電壓，Vmodel為電池等效電路模型的電壓，N為總數據點個數。

圖5 DST電流文件和FUDS電流文件下電壓誤差Fig.5 Voltage error under DST current file and FUDS current file

計算結果如表3 所示，從表中數據可以看出，本文所用方法無論是絕對誤差還是均方根誤差都小于RLS和AFFRLS，對比AFFRLS和RLS的結果，AFFRLS作為RLS的改進算法得益于變化的遺忘因子的優勢可以減小電壓平均絕對誤差和電壓均方根誤差。而AMLRLS以改變RLS層數遞推計算電壓誤差中的參數所占的比例，從而從電壓誤差中提取出參數值，這使得AMLRLS在DST和FUDS下電壓誤差均小于AFFRLS。比較DST電流文件和FUDS電流文件，由于FUDS電流文件中電流變化比DST電流文件中電流變化更加頻繁，這導致DST電流文件下的誤差要小于FUDS電流文件下的誤差。

表3 DST和FUDS下電壓誤差的比較Table 3 Comparison of voltage errors under DST and FUDS

圖6(a)和圖6(b)分別為所提方法在DST電流文件下的層數分布和層數統計，在圖6(a)中，層數分布的形狀與DST 電流形狀具有相似性，這是因為受到電流變化的影響，電池參數會發生變化，層數選擇器則選擇較高的層數使更新的參數更接近變化后的參數值，這使電流和層數產生了形狀上的關聯。在圖6(b)中，DST 共有10630 個數據點，74.8%的數據點為一層，共7948個。3層和4層的數據點占比最小，分別為6.1%和6.9%，計算至兩層的數據點高于計算了3 層和4 層的數據點，占比為12.2%。

圖6 DST下AMLRLS層數分布和層數統計Fig.6 The layer distribution and layer count statistics under DST for AMLRLS.

圖7(a)和圖7(b)分別為所提方法在FUDS 電流文件下的層數分布和層數統計。在圖7(a)中，2層、3 層和4 層的數量相較于DST 更為密集。圖7(b)的情況和圖6(b)類似，層數多的數據點占比小，計算到一層的數據點占比仍然是最多的，與圖6(b)不同的是計算至2～4層的數據點占比提高了，這是因為FUDS 電流變化頻率更高，導致電壓誤差e(k)始終較高，故層數選擇器偏向選擇較高的層數。圖6(b)和圖7(b)表明了加入了層數選擇器后，層數選擇器可以根據e(k)選擇合適的層數，避免了所有數據點計算至最大層數導致計算量變大的劣勢。

圖7 FUDS下AMLRLS層數分布和層數統計Fig.7 The layer distribution and layer count statistics under FUDS for AMLRLS

4.3 不同溫度和初始SOC下的驗證

為了驗證所提方法在不同情況下的性能，本文使用不同溫度和初始SOC 對電池進行參數辨識，得出的電壓誤差如表4所示。對于DST電流文件下的實驗結果，當設定溫度為0 ℃、初始SOC 為50%時，RLS 的MAE 和RMSE(Root Mean Square Error)最大，AMLRLS 的MAE 和RMSE 最??；在80%初始SOC 的情況下，AMLRLS 電壓MAE 和RMSE同樣小于其他兩種方法。對比這兩組不同初始SOC的誤差我們發現，以80%初始SOC進行實驗的電壓MAE 和RMSE 要小于50%初始SOC 的情況，這說明在相同的溫度下較大的初始SOC 其電壓誤差較??；同時對比誤差大小也說明了在0 ℃時，即使初始SOC 不同，AMLRLS 電壓誤差都會小于RLS和AFFRLS。對于DST電流文件下45 ℃的情況，也能得出上述結論。另外，比較0 ℃和45 ℃的結果，可以看出在不同的溫度下，本文所提方法均可降低電壓MAE和RMSE。

表4 不同情況下的電壓誤差比較Table 4 Comparison of voltage errors in different cases

對比DST 電流文件和FUDS 電流文件的結果，可以看出FUDS 電流文件下的電壓誤差普遍大于DST電流文件，這是因為FUDS的電流變化相較于DST更加頻繁?？傊?，綜合以上結果，我們發現在不同的溫度、不同初始SOC 和不同電流文件下本文所提方法的電壓MAE和RMSE均小于對比方法，驗證了所提方法的有效性和適用性。

4.4 算法辨識時間對比

為了對比各類算法的計算時間，并體現層數選擇器的作用，本文針對DST 工況和FUDS 工況對算法參數辨識時間進行對比。使用的計算機CPU為Intel i5-6300HQ，默認頻率為2.3GHz。辨識時間對比結果如表5所示，在DST工況和FUDS工況中，RLS所用時間最短，AFFRLS所用時間略高于RLS，本文所提方法計算時間高于AFFRLS 和RLS，在DST 工況下，AMLRLS 計算時間是RLS的1.66 倍，是AFFRLS 的1.61 倍；在FUDS 工況下，AMLRLS 計算時間是RLS 的1.94 倍，是AFFRLS 的1.8 倍。本文另外對比了在沒有設置層數選擇器的情況下AMLRLS 的計算時間，結果如表5第二行所示，在DST工況下，AMLRLS計算時間為所提算法未設置層數選擇器情況下的62%；在FUDS工況下，AMLRLS計算時間為所提算法未設置層數選擇器情況下的71%，這驗證了在設置層數選擇器后，所提方法的計算時間將大幅減小。

表5 算法辨識時間對比Table 5 Algorithm identification time comparison

5 結 論

本文首先對基礎的RLS算法進行改進，以算法中的參數更新公式和電壓誤差更新公式作為RLS多層結構的基礎，將本層的電壓誤差作為下一層參數更新的目標值，進而在下一層計算中分離出電壓誤差中的參數量，使其更準確地辨識變化的電池參數。每次參數辨識的層數需要根據不同的辨識精度而變化，而不是設定固定的層數值，故設計層數選擇器以第一層辨識結果電壓誤差作為選擇合理層數的依據，最終形成AMLRLS 算法。AMLRLS 算法的不同之處在于其更新參數并非以控制遺忘因子的大小來實現的，而是改變RLS層數，這使得其參數辨識結果實現了更低的電壓誤差。仿真結果顯示，對于參數變化頻率越大的電池，AMLRLS的優勢越明顯。實驗在不同溫度、不同初始SOC 和不同電流下驗證了AMLRLS 具有較強的適用性。已經做的工作并未對歷史辨識數據進行充分利用，故未來的研究工作將圍繞如何把歷史的辨識數據融合進AMLRLS辨識計算中這一問題展開。