凸顯角本質的學習路徑研究：初識角的概念

鞏子坤 許佳敏 張芳銘 黃旭冉

【摘 要】角是學生認識幾何圖形的起點，但教材與教學關注較多的是不同角的性質，而不是角的本質。文章提出凸顯角本質的“角的初步認識”單元整體教學，并展示第一課時“初識角的概念”。研究者通過教學實踐與研討，得到完善的學習路徑：基于現實角，抽象出圖形角；通過分類，探索角的特征，得到數學角；通過創造角，理解角的特征。由此提出教學建議：借助分類，初識角的概念；動手創造角，直觀感知角的特征。

【關鍵詞】角；角的本質；角的概念；學習路徑

一、研究緣起

角是組成幾何圖形的基本要素之一。人教版數學教材將角的認識分為兩個階段。第一階段為二年級上冊“角的初步認識”。首先，學生通過生活情境直觀認識有“尖尖的頂點、直直的邊”的圖形是角。其次，學生從生活中抽象出“直直的角”是直角，并用直角比一比，知道比直角小的是銳角，比直角大的是鈍角。第二階段為四年級上冊“角的度量”。首先，學生在認識線段、射線、直線的基礎上學習角的描述性定義，即從一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角。其次，學生通過比較角的大小的任務，引出度量角的單位——度，以及度量角的工具——量角器，學習如何度量角。最后，學生根據角的動態定義（角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形）學習平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。整個邏輯看似層層遞進，實則忽視了非常重要的問題：什么是角的大??？怎樣比較角的大??？是邊更長，還是覆蓋面積更大？量角器是在度量角的什么？為什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的？這些都是困擾學生但教材未解釋的問題。究其原因，是教材未講明角的本質是什么。

何謂角的本質？歐幾里得認為，平面角是一個平面上兩條線之間的傾斜，它們相交且不在一條直線上。［1］我們對這個說法做了通俗的解釋，認為角的本質是一條直線相對于另一條直線的傾斜度。［2］但傾斜度對于學生而言不易理解，要讓學生在初次學習角時就理解角的本質，則需要找到一種能使傾斜度直觀呈現的外顯方式。

江春蓮提出，如果從角的本質來說，“張開度”則更為關鍵。研究角的目的不是研究它的邊，而是研究張開度。［2］角的動態定義中雖然沒有提及張開度，但暗含了“轉動的多少”，而射線繞端點轉動的動態過程，就是形成張開度的過程，也就是產生傾斜度的過程。相比于傾斜度和張開度，“轉動的多少”不僅更加形象直觀，而且與之后要學習的弧度制有異曲同工之處（弧度制本質上就是用轉動生成的弧長來度量角的大?。?，貫穿了角學習的始終。因此，“轉動的多少”可以嘗試作為角本質外顯的呈現方式。

為初步了解學生對角本質的理解情況，筆者對6名二年級學生進行單元前測及訪談。學生需要判斷正方形的四個角是否相等，以及沿折痕剪下來后，四個角是否仍然相等（如圖1）。測試與訪談的結果顯示：在未剪下角時，所有學生都認為四個角相等；沿折痕剪下角后，僅有1名學生堅持認為四個角相等，并能說出理由，其他學生因為角的“邊長”、覆蓋的“面積”發生變化而改變了答案。由此可以發現，學生對角本質的認識比較模糊，容易受邊長的長短、覆蓋面積的大小等非本質因素的影響，需要教師的引導。

隨后，教師讓學生任意畫一個角或幾個角，發現有4名學生借助三角尺，把三角尺的角描了下來（如圖2）?？梢园l現，學生對角的認識只停留在現實生活中的角，無法從中抽象出數學中的角，因此才會在利用三角尺畫角時保留三角尺上因磨損而出現的“圓圓的頂點”。故學生在對角本質進行認識之前，需要先經歷從現實世界到數學世界的過程，理解角的特征，初識角的概念。

綜上，本研究提出凸顯角本質的“角的初步認識”單元整體教學，共分為“初識角的概念”“體驗、認識角本質”“鞏固、運用角本質”三個課時。本文研究第一課時“初識角的概念”，要解決的問題為：“初識角的概念”學習路徑中的關鍵任務是什么？與原教材相比，該路徑在幫助學生理解角的概念上的效果如何？

二、研究設計

（一）研究對象

選取YH小學二年級的甲、乙兩個班作為教學班，兩個班各有30名學生，班級總體水平一致，由教師A按照本研究設計的學習路徑進行備課、授課。

（二）研究流程

學習路徑優化、完善的具體流程如圖3所示。

（三）問卷及數據處理

后測題目一共有5道小題，要求學生判斷給出的圖形是否為角，并說明理由（如圖4）。后測題目主要考查學生對角的概念中“兩條邊是否搭牢”“尖尖的頂點”“直直的邊”等概念是否已經掌握。

教師對學生的作答情況進行賦分，判斷正確并能說出理由記2分，判斷正確但不能說明理由記1分，判斷錯誤記0分，最后統計總分。

三、研究結果與分析

（一）學習路徑的設計與實施

為探究得到完善的學習路徑，本研究經歷了三次教學設計、兩次教學實踐及多次教學研討。由于篇幅有限，只呈現在乙班開展的優化的學習路徑A2（如圖5）。

任務1：經歷現實角到圖形角的過渡

教師先從生活中的角入手，詢問學生現實生活中有哪些角，學生的回答只要滿足角的特征即可。隨后，教師呈現生活中角的圖片，讓學生找出其中的角，并描一描。由此，教師帶領學生經歷從現實角到圖形角的過渡，為下一個環節——角的分類做鋪墊。

任務2：通過分類，探索角的特征

教師呈現任務1中學生描出來的“角”（如圖6），讓學生圈一圈、勾一勾，將“角”進行分類，并引導學生說明分類的依據。教師在呈現分類情況、歸納角的特征時，要兼顧“兩邊是否是直的”“兩邊是否搭牢”兩個標準，歸納出角的特征：有一個尖尖的頂點和兩條直直的邊，從而幫助學生初步建立對角的認識。以下是部分課堂實錄。

師：我們把圖形分成①②③④、⑤⑥⑦、⑧三類，因為①②③④都是直的，⑤⑥⑦都是彎的，⑧雖然也是直的，但中間沒有搭牢，單獨分為一類。像①②③④這樣的角，就是我們數學中要學習的角。你能說一說它們有什么共同點嗎？

生：它們的邊都是直直的，而且都搭牢了。

師：那么這個搭牢的地方，它有什么特點呢？

生：它是尖尖的。

師：這個尖尖的地方我們叫作頂點。像這樣，有一個尖尖的頂點和兩條直直的邊的圖形，就是數學中的角。

任務3：通過創造角，理解角的特征

在學生初識角的概念之后，教師提供毛線、小棒和圓紙片等材料，讓學生任意選取材料創造角，并指出該角的頂點和邊。學生通過動手操作，積累活動經驗，加深了對角的概念的認識。在學生展示環節，教師首先引導學生回憶創造角的過程，然后根據學生選擇的材料特點有針對性地進行提問，引導學生意識到毛線需要拉直才能創造出兩條直直的邊，而將兩根毛線都拉直且一端要搭牢則需要借助三顆圖釘。以下是部分課堂實錄。

師：請選擇毛線的同學來說一說，你是怎么做的？用了幾顆圖釘？

生：我先在泡沫板上釘一顆圖釘，讓毛線繞過這顆圖釘，這樣就變成了兩條線，然后再用兩顆圖釘分別固定這兩條線，一共用了三顆圖釘（如圖7）。

師：這些圖釘有什么作用？

生：（指向固定一條邊的圖釘）如果沒有圖釘，那么這里的邊就不直。

師：還有什么作用嗎？

生：左邊這個圖釘可以作為角的頂點。

師：你覺得這兩根毛線做的都是角嗎？

生：（指向右邊的角）這個不是，它的邊要是再直一點就是了。

師：怎么再直一點呢？

生：使勁拉一下，讓毛線繃緊。

（二）學習路徑的教學效果與分析

在優化的學習路徑A2實施后，對乙班進行后測，并將甲、乙兩個班的后測結果進行比較，得分情況如圖8所示。

比較甲、乙兩個班的成績，發現T2和T5的正確率得到提升，特別是T5的提升幅度較大。對甲、乙兩個班學生的后測得分進行獨立樣本t檢驗。通過分析整體得分情況，發現乙班學生的正確率優于甲班，他們對角的概念的認識更加深刻；通過分析T1、T3、T4的得分情況，發現甲、乙兩個班的學生對角的概念已經具備了初步的認識——有兩條直直的邊，并且兩條邊需要搭牢；通過比較T2的得分情況，發現甲、乙兩個班并不存在顯著差異，說明兩個班的學生均能意識到角需要尖尖的頂點，而乙班的得分率高于甲班，說明乙班的學生對角的概念的認識更全面、更深刻；通過比較T5的得分情況，發現乙班的學生不僅能判斷出該圖形為角，還能準確說出該圖形存在三個角（如圖9）。以上說明優化的學習路徑A2有利于加強學生對角的概念的認識。

結合以下訪談結果（F表示訪談者，S表示學生），發現大部分學生對角的概念已經具有初步的認識。

F：你怎么判斷一個圖形是角呢？

S1：看它有沒有尖尖的頂點把兩條直直的邊連起來。

S2：有兩條直直的邊，它們需要搭牢，還有一個尖尖的頂點。

結合后測得分率與學生訪談結果，發現優化的學習路徑A2能有效幫助學生更好地建立對角的概念的認識。

當然，優化的學習路徑A2也存在可完善之處，即在任務3中，學生還可以使用小棒來創造角。用小棒來創造角的特點是，兩根小棒代表角的兩條直直的邊，并且兩根小棒一定要搭牢才能形成尖尖的頂點。因此，這是帶領學生直觀感知角的特征的一個良好載體。但由于時間限制，教師沒有讓學生展示用小棒創造的角，因此也沒有讓學生體會其中的思想。

由于實施優化的學習路徑A2在很大程度上滿足了預期的學習目標，且最終完善的學習路徑A3與A2相差不大，故不再詳述。

四、結論與建議

本研究通過三次教學設計、兩次教學實踐及多次教學研討，最終得到了完善的“初識角的概念”學習路徑A3，即先基于現實角，抽象出圖形角，再通過分類，探索角的特征，得到數學角，最后通過創造角，理解角的特征。其中的關鍵學習任務是對角的分類與描述，學生通過該任務得到角的特征。研究表明，與教材中的學習路徑相比，本研究設計的學習路徑能更好地幫助學生初識角的概念，為理解角的本質打好基礎。因此，筆者對教學提出如下建議。

（一）借助分類，初識角的概念

史寧中指出，學習圖形要經歷分類的過程。通過分類，找到本質；基于本質，分辨角。分類的過程就是觀察的過程，對于二年級學生來說，通過直接觀察進行分類是容易的，但闡述分類依據比較困難，這是因為學生的分類標準更多依靠“直觀感覺”，而不是數學特征。因此，教師要引導學生用自己的語言概括分類標準，描述圖形的特征，這是學生用數學的語言表達世界的過程。如“搭牢”“直直的”等詞，就是學生從具體到抽象、從現實世界走向數學世界較好的腳手架與固著點。

（二）動手創造角，直觀感知角的特征

為學生提供毛線、小棒等材料，讓學生動手創造角，這個過程是學生將自己所理解的角的特征進行具體呈現。其中，毛線還含有數學思想，用它來創造角的過程滲透了兩個知識點：一是兩點確定一條直線，因此需要用三顆圖釘來固定兩條直線（一點重合，作為頂點，另兩點固定，線拉直）；二是繃緊了才是直直的。這些看似基礎的概念性知識，事實上都是學生認知發展中根本的、具有生長性的知識，更需要讓學生去深刻體會。

參考文獻：

［1］歐幾里得.幾何原本［M］.張卜天，譯.北京：商務印書館，2020.

［2］鞏子坤，江春蓮，張奠宙.把握線、角的本質，溝通線、角的聯系［J］.教育視界，2018（12）：4-7.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】鞏子坤，教授，博士生導師，主要研究方向為基礎教育數學課程改革的理論與實踐；許佳敏，中學數學教師，主要研究方向為數學課堂教學；張芳銘，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學教育；黃旭冉，小學數學教師，主要研究方向為數學教育。

【基金項目】2023年度浙江省哲學社會科學規劃課題“基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（23NDJC265YB）；2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻關計劃項目“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（2023GH005）