初中數學課堂中變式教學法的應用
——以“一元二次方程”為例

文| 武金燕

變式教學法指的是對數學問題進行合理轉化的一種方法，在轉化的過程中需分析數學知識之間的關聯，在此過程中學生的數學思維可以得到有效鍛煉，使學生明確數學概念，加強對知識的實際應用。同時，變式教學法需要教師發揮學生的主體作用，引導學生在解答變式題的過程中對數學概念、相關知識進行深度理解，從而提高學生的自主建構能力，對學生有著深遠的影響。

一、初中數學變式教學法應用的關鍵點和原則

（一）初中數學變式教學法應用的關鍵點

初中數學教師在進行變式教學時需要引導學生細致剖析問題，再建構變式題組，要求學生充分理解該部分知識。在開展變式教學活動的過程中，對數學問題進行精細化拆分時，教師要讓學生注意兩點：一是從問題中提煉出必要條件，做好標注；二是梳理解題思路和處理目標，明確問題的答案。教師應以數學概念、圖形為著手點展開變式訓練，根據原題適當調整條件和結論，讓學生從多個角度出發理解知識，幫助學生構建具有變通性特征的數學思維模型，促使學生的綜合解題能力得到提升。

（二）初中數學變式教學法的原則

一是啟迪思維原則。在初中數學變式教學法中，教師應引導學生發散思維、轉化思維，根據具體數學問題合理變式，使學生的思維一直處于活躍狀態。教師需要遵循啟迪思維原則，通過問題激發學生從不同側面對問題展開思考，以激發學生的思維活躍度。二是暴露過程原則。學生只有明確解答問題的思維流程才能真正解決數學問題，這也會讓學生產生成就感，激發學生的自主學習動力。故而，在具體實踐中教師應遵循“暴露過程原則”，將思考問題時的數學思維暴露在學生面前，讓學生了解具體的推理過程，掌握數學概念、定理的推導方法，再由教師根據數學題目進行變式，為學生提供新思路，發展學生的數學思維水平。三是探索創新原則。在變式過程中教師需要遵循探索創新原則，以新穎的方法和問題調動學生的積極性，在學生解答問題的過程中啟發其思維和心智，強化學生的創新意識。這樣學生才能以全局的眼光看待數學問題，發現問題的本質和規律，從而實現對知識的融會貫通。

二、初中數學變式教學法在“一元二次方程”中的應用策略

（一）將概念作為切入點，鞏固數學基礎

初中數學教學內容中涉及大量的概念性知識，關乎學生思維能力和知識應用能力的發展。數學概念是解答數學問題、推論和論證數學命題的必備條件，在數學概念教學中應用變式教學法可以讓學生探究數學概念的本質，以多角度的變式方法對數學概念進行學習和理解，使學生參與到探索概念知識的過程中，從而增強學生思維的靈活性和應變能力。同時，變式教學法能讓學生深度理解不同概念的獨特屬性，在不改變問題本質特征和屬性的基礎上，以多樣化的形式改變部分條件，使學生在解答問題的過程中探索同類問題的規律和解決方法，掌握具體的數學概念。

一元二次方程的相關概念是學生必須掌握的知識，這也是學習和應用一元二次方程解題的前提，教師可以在概念教學中應用變式練習，幫助學生理解所學概念。①下列方程中哪些是一元二次方程：x1）。②寫出方程x2+3x-2=0，-2x2-5x+3=0 的常數項、一次項系數以及二次項系數。③將方程式3x2+1=6x，x（x+5）=5x-10，4x2+5x=81 轉化為一元二次方程的一般形式，并寫出這些方程的常數項、一次項系數以及二次項系數。

學生在完成變式練習的過程中能夠對一元二次方程的常數項、一次項系數以及二次項系數的相關概念進行鞏固，了解一元二次方程中根與系數的關系，為后續學習一元二次方程的解法奠定基礎。

（二）以數學題目為核心，把控變式方向

最近發展區理論指出：學生基礎知識的掌握程度會直接影響其最終的學習成果。這就需要教師從學生的基礎知識出發，通過剖析數學題目來明確正確的變式方向。初中數學教師應引導學生利用變式聯系新舊知識，結合學生的知識基礎設計數學題目，通過深入分析題目推動其對基礎知識進行更深入的理解，從而實現知識變式，發展學生的思維能力。

一元二次方程有很多解法，這也是學生串聯知識時的一個難點，因此，教師應引導學生剖析原題，通過從特殊到一般再到特殊的方法進行合理變式，總結一元二次方程的解法。如原題為：證明代數x2-6x+19 式恒大于0。教師可以引導學生運用一元二次方程四個解法中的配方法求解，再通過變式將該方程轉化成含參方程，讓學生在解答帶有參數的一般化方程的同時總結解法。為了幫助學生鞏固基礎知識，教師可以讓學生將該方程轉變為幾個類型的特殊一元二次方程，梳理學過的解法。

從以上案例中可知，掌握基礎知識并剖析原題是進行變式的前提，教師在進行變式教學法時不僅要引導學生解答數學問題，還要注重指導學生運用掌握的知識梳理新舊知識之間的關聯。此題能幫助學生為后續的變式做準備，通過轉化平方的形式使用配方法對方程進行配方，使學生對配方法進行學習和總結，有助于學生學習從特殊到一般的變式。

（三）注重學生思維發展，合理設計變式

初中數學教師在開展變式活動時要注重拓展學生的思維空間，提高他們的思維深度。因此，教師應注重合理設計變式，引導學生在變式過程中探究數學知識的本質。教師需要讓學生發現知識點之間的關聯，看清問題的本質，將特殊規律轉變為一般性結論，掌握合理進行變式的方法。

如原題為：已知kx2-3x+1=0，求出k 的取值范圍。針對此類題目，教師應引導學生從具體數據過渡到含參方程。該方程的二次項系數含參，因此可能是一元一次方程，若教師沒有進行合理變式，會影響學生對前提條件的判斷，不利于學生開展分類討論。因此，教師應把握變式中的固定條件，引導學生對含參方程進行合理變式，加深對一元二次方程的理解。該問題可以變式為：x2+5x-k=0。①已知方程存在兩個相等實根，那么k 的取值范圍是多少？②已知方程存在兩個不等實根，那么k 的取值范圍是多少？③已知方程不存在實根，那么k 的取值范圍是多少？④已知方程存在實根，那么k 的取值范圍是多少？之后教師可以將x2+5x-k=0 變式為kx2-3x+1=0，讓學生再次對上述問題進行解答。

初中數學教學中變式教學法占據重要地位，但只有合理設計變式才能讓學生從條件中提取關鍵信息，特別是需要進行分類討論的問題，只有針對不同情況進行合理變式才能讓學生發現問題的本質。需要注意的是，教師在開展變式教學法時要以題目的條件和要求為前提，變式不能與原題出現太大的跨度，也不能和原題相差無幾。因此，教師要引導學生串聯思路，發現知識點之間的聯系，幫助學生吃透知識點。

（四）把握知識邏輯關聯，探究知識本質

從特殊到一般的變式能夠引發學生的深度思考，讓學生明確題目的本質。數學知識之間的邏輯藕斷絲連，需要教師引導學生建立聯系密切的邏輯網，從整體的角度學習知識。只有加強數學知識之間的聯系才更便于學生學習，教師應鞏固知識間的邏輯關系，從一般變式到特殊變式，強調學生學習數學知識時的連貫性，促進學生的理解。

例題：選擇合適的方法解下列方程：①x2-3x-10=0；②3x2+7x+2=0；③2x（2-x）=3。教師在黑板上寫出三個方程：①x2+2x-3=0；②（x+1）2=4；③（x-1）（x+3）=0。

師：請同學們迅速口答出其中一個方程的解。

生1：（x-1）（x+3）=0 的解為1 或-3。

師（進行變式）：（x-m）（x-n）=0 的解是多少？其中m 和n 為常數。

生2：是m 和n。

師（進行變式）：你會采用什么方法求解方程（x+m）2=n（n≥0）？另一個方程呢？

生3：第一個方程可以用直接開平方法，第二個用配方法或公式法都可以。

生4：也可以使用因式分解法，分解為（x-1）（x+3）=0。

師：如果無法使用因式分解法求解一般的一元二次方程，那么可以使用配方法，其目的是什么？

師：你們認為哪種方法更簡便？

生（眾）：直接用公式更簡便。

教師引導學生梳理和歸納一元二次方程的四種解法，即配方法、公式法、直接開平方法以及因式分解法。

可見，教師在發現知識點之間的關聯時以變式的形式向學生展現，引導學生運用不同解法求解方程，讓學生對比一元二次方程的解法，使學生從本質上理解不同解法的異同點和適用情況，并通過變式串聯，從而構建完整的知識網絡。

（五）采用情境變式，變更問題情境

情境變式即教師在不改變主線的前提下不斷改變問題情境，通過串聯不同的問題情境整合課堂教學的各環節。需要注意的是，教師在設計主線時要圍繞教學目標鋪設，做到串“點”成“線”。在初中數學課堂上開展情境變式教學法能夠營造輕松的學習氛圍，使學生的思維、想象力在不同的問題情境中得到發展，以提高學生對數學的學習興趣，打造高效的數學課堂。

為了保證“一元二次方程”的教學效果，教師要對學生進行多角度訓練。教師可以創設情境，展開變式教學活動。教師需要先為學生創設故事情境：趙家村的趙大姨不久前承包了一個養豬場，想通過養豬解決經濟困難，但因為沒有文化遇到了很多問題。希望同學們能夠運用數學知識為她提供幫助。趙大姨在后院圍了一圈籬笆，其中一面靠墻，準備圍出一個豬圈養豬，但卻遇到了以下問題。

問題一：趙大姨在后院靠墻圍了一個長方形的豬圈（見圖1），墻對面的門寬2 m，籬笆的全長為33 m，墻長18 m，已知豬圈的面積是150 m2，請計算豬圈的長和寬。

圖1

變式1：若不改變問題一中的已知條件，豬圈的面積可以圍到200 m2嗎？

變式2：若將問題一中的墻長改為xm，會影響豬圈最終的面積嗎？

問題二：趙大姨2022 年養豬賺取的利潤為2.16萬元，2020 年的利潤為1.5 萬元，若2020 年開始到2022 年的獲利增長率不變，她在2021 年賺取的利潤為多少？

變式：獲利增長率一直不變，趙大姨在2023 年賺取的利潤為多少萬元？

●習題分析

情境變式能夠營造輕松的教學氛圍，調動學生的積極性和好奇心，促使學生對數學問題展開深度思考。本次教學設計針對一元二次方程開展，學生融入情境中會迫切希望幫助趙大姨解決問題，以激發學生學習的內驅力。問題一能夠讓學生對常見的面積問題的解題思路和策略進行鞏固；問題二與問題一之間聯系密切，能夠讓學生更好地融入情境中探索變化率問題。

在初中數學教學中運用情境變式需要明確一條主線，也就是串“點”成“線”的教學模式。這樣可以通過變式引導學生解決生活中常見的實際問題，從而拓展學生的思維空間，讓學生將所學數學知識服務于生活。通過設計情境變式不斷改變問題情境，促進學生的思維發展。

總而言之，變式教學法在初中數學教學中占據舉足輕重的地位，教師應通過變式教學法打造高效的數學課堂，使學生明確知識之間的關聯，構建知識網絡。教師需要根據具體的教學內容采用合適的變式方法，將變式教學法與數學知識相融合，引導學生對基本問題進行各類變式，學會舉一反三，以增強自身的數學思維能力，為之后的數學學習奠定堅實的基礎。