借助GeoGebra開展“統計”單元可視化教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）明確要求在“統計”的教學中，教師應教會學生合理使用信息技術，將其從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，把更多的精力集中在“統計”概念和方法的理解上，從而提高效率^[1]。在“統計”單元中有大量數據需要師生處理分析，且過程復雜，一般包括收集、整理、提取、建模、得出結論五步。教師以傳統方式教學難以落實課標要求。教師如果直接人工計算，費時費力，將極大程度地降低教師備課的效率和教學的積極性，且計算之后得到的結果無法直觀呈現給學生，影響教學效果。從學生的角度來看，計算煩瑣、過程冗長及刻板呈現數據表格和圖形會大大降低學生學習的積極性。為彌補傳統教學的不足，在“統計”單元教學中，教師可以合理地使用信息技術。教師要重視教材邊注中的提示信息，包括信息技術工具的使用、選學欄目中信息技術的應用、統計軟件的應用。筆者將“統計”單元中與信息技術及統計軟件相關的內容進行整合，借助GeoGebra軟件做案例研究，開展可視化單元教學，提高教學效率和質量。

一、確定單元可視化教學目標與內容

在高中數學課程中，“統計”內容主要分布于必修課程和選擇性必修課程。在必修課程中，教師主要教授收集數據的方法和單變量的“統計”方法；在選擇性必修課程中，教師主要教授兩個變量的“統計”方法。教師按以下步驟設計教學目標 ：首先，研讀教材和教師教學用書，結合課標明確“統計”單元的教學要求；然后，篩選“統計”單元中與信息技術相關的內容用于單元可視化教學，并且確定“統計”單元可視化教學目標；最后，選擇可視化教學的案例，準備所需素材或數據，便于開展課堂教學，幫助學生積累數據分析的經驗，培養學生的數學學科核心素養和信息技術核心素養。

單元可視化教學的具體目標：

第一，結合具體的例子，掌握簡單隨機抽樣、分層抽樣方法，認識抽樣的必要性；明確兩者各自適用的范圍及特點，根據具體問題特點，選擇不同的抽樣方法獲取數據，設計具體的方案解決問題，并借助GeoGebra有效計算樣本均值、方差、中位數、眾數等。

第二，理解統計圖表的應用原理，會列頻率分布表，能繪制頻率分布直方圖、散點圖等基礎的統計圖表；根據實際問題、數據分析的需求，選擇合適的統計圖表進行可視化描述，切身感受合理使用統計圖表的重要性；借助GeoGebra軟件繪制統計圖表^[2]。

第三，結合實例，了解相關系數的統計意義，并通過相關系數比較多組成對相關數據的相關性；理解一元線性回歸模型的含義^[3]；借助 GeoGebra軟件進行可視化探究，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關統計軟件進行數據處理，建模并優化。

單元可視化教學內容設計如下（如圖1）。

二、可視化教學案例及分析

（一）四個樣本圖表的繪制和四個數字特征的計算

案例源自人教A版《普通高中教科書 數學 必修 第二冊》第九章9.2.1“總體取值規律的估計”問題1。

1.研究意圖

解決上述問題涉及大量的計算和統計圖表的繪制，特別是在涉及頻率分布表以及頻率分布直方圖時，師生需要對大量數據進行分組、計算頻率、繪制圖形等。在學生掌握了特征數字的計算方法，以及頻率分布表的作法與頻率分布直方圖的畫法，理解了它們的統計意義之后，對于其中的一些繁雜的計算任務，教師可以指導學生借助GeoGebra軟件完成。課堂上，教師使用GeoGebra的運算功能及統計圖表的繪制功能，展開系列可視化探究問題，讓學生觀察教師的演示操作，掌握基本的操作步驟，引導他們學會借助軟件計算四個特征數字，學會繪制四個樣本圖表。在教師的引導下，學生觀察GeoGebra繪制的圖表及計算結果，進行可視化描述及分析，開展探究活動，掌握本節課的內容。

2.探究內容

探究1：頻率分布直方圖與頻數分布直方圖有什么區別？

探究2 ：觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數據中蘊含了哪些有用的信息？居民用戶月均用水量有何分布規律？你能準確描述嗎？

探究3：分別以3和27為組數，對數據進行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖。觀察圖形，不同的組數對于直方圖呈現數據分布規律有什么影響？

探究4：頻數分布直方圖、條形圖、扇形圖、折線圖分別適用于哪些方面？

探究5：平均數、中位數、眾數各自有何特點？

3.GeoGebra可視化探究步驟

具體的操作步驟指引如下（如圖2）。

步驟1：打開GeoGebra軟件，同時按下“Ctrl+Shift+S”調出表格區，在表格區內A列輸入教材問題1中的數據。

步驟2：選中A列的數據，在工具欄中單擊“單變量分析”，單擊“分析”，即可得到頻數分布直方圖。

步驟3 ：單擊“選項”按鈕，分別勾選“頻數表”和“正態化”，即可得到頻率分布表和頻率分布直方圖。

步驟4：單擊“直方圖”右側的下拉選項，得到“條形圖”，輸入指令“扇形圖（l1）”得到扇形圖。

步驟5：單擊“顯示統計”按鈕，得到常見的統計量，如平均數（均值）、標準差、最值、百分位數等。如果想得到方差、眾數，可以輸入指令進行計算。首先選中“A列”，右鍵“創建列表”得到“列表l1”；然后在指令框中分別輸入“方差（l1）”“眾數（l1）”，即可計算出該組數據的方差及眾數。

步驟6：單擊“顯示數據”按鈕，剔除極端值，使統計結果更準確。

步驟7：拖動“分組滑動條”進行分組。也可勾選“手動設置分組”實現預設的設置分組^[4]。

4.可視化探究內容解讀

對于探究1，教師指導學生操作步驟1到步驟3，可以得到頻數分布直方圖與頻率分布直方圖。此時教師引導學生觀察GeoGebra繪制的兩個圖表，進一步探究兩者之間的區別，讓學生進行可視化描述。在學生回答之后，教師總結：兩者的橫坐標是一樣的，區別在于縱坐標，一個是“頻數”，另一個是“頻率/組距”，兩者都可以用來描述數據的取值規律。借此進一步深化學生對頻率分布直方圖的理解。

對于探究2，教師可以在結束探究1之后，直接向學生提出。同樣，分別引導學生觀察GeoGebra繪制的圖表。學生不難得出：觀察頻率分布表，可以清晰看出樣本數據落在各個組別所占比例的大小。觀察頻率分布直方圖（如圖2b）可知，居民用水量的樣本數據分布不是對稱的，圖形呈現出“左高右低”，并且右邊呈現出一個較長的“尾巴”，這表明大部分居民的用水量集中在一個較低值的范圍。此時，教師可以引導學生思考現實生活中，用水量標準的確定與該圖形呈現出來的分布有什么聯系，讓學生學會觀察樣本數據的特點進而推斷整體的分布規律，體會統計基本思想，感受直方圖的優點和不足之處。以此促使學生用數學的眼光看問題，體會通過建立數學模型去分析實際問題的方法。

對于探究3，教師通過步驟7，改變組數，讓學生體會不同組數對頻率分布直方圖的形狀的影響（如圖3）。學生觀察動態變化情況，不難得出：同一組數據，組數不同，得到的頻率分布直方圖形狀也不盡相同。當組數少、組距大時，原始數據損失較多，無法得到詳細的數據分布情況，但能夠看出數據整體的分布特點。當組數多、組距小時，保留了較多的原始數據，但是圖形會顯得不規則，不容易看出總體數據的分布特點。最后教師強調合理分組、合理使用圖表的重要性。

對于探究4，教師通過步驟4的操作，可以實時生成不同統計圖，但教學中不能直接總結各種統計圖的特點和適用范圍，應該引導學生觀察辨析。教師基于學生的認知基礎，結合熟悉的例子讓學生在對比中體會區別與聯系，讓學生體會到數學來源于實際，來源于生活，使學生感受知識生成的合理性，水到渠成得出結論。

對于探究5，在學生掌握了樣本平均數、眾數、方差、百分位數等特征數的統計意義及計算方法之后，教師在課堂上借助GeoGebra實時演示，通過步驟5的操作，讓學生感受GeoGebra軟件統計的便捷性。同時，為了更好地開展“總體集中趨勢的估計”與“總體離散程度的估計”兩個課時的可視化探究，讓學生分組合作思考相關問題，探究得出平均數、中位數、眾數各自的特點及優缺點。步驟6的目的是教師勾選更改樣本數據，進行可視化演示，直觀得到樣本平均數會隨著抽取的樣本的不同而改變，讓學生體會樣本平均數等數據的隨機性。

（二）一元線性回歸模型的建立與優化

案例源自人教A版《普通高中教科書 數學 選擇性必修 第三冊》第八章8.2“一元線性回歸模型及其應用”。

1.研究意圖

意圖二：在第一課時一元線性回歸模型的概念的基礎上，進一步研究如何估計模型的參數a和b。學生借助GeoGebra，進行可視化探究，尋找合適的方案確定參數a和b。在確定回歸曲線原則的過程中引導學生：從數到形，引出“用一條直線擬合樣本數據”的思想；從形到數，建立刻畫樣本數據與直線整體接近程度的數學表達式q，即隨機誤差的平方和。借此，找出擬合度最高的一元線性回歸模型，確定a和b。最后借助GeoGebra軟件計算殘差，繪制殘差圖并分析，判斷模型是否具有有效性。

2.探究內容

探究1：如何繪制散點圖，觀察散點圖，圖中的點在分布上呈現何種特點？

探究2：觀察散點圖，成對樣本數據具有什么關系？借助哪個樣本數據統計量佐證判斷？如何計算？

探究3：成對樣本數據的關系可以利用函數模型刻畫嗎？應該用什么數學模型刻畫呢？

探究4：在建立一元線性回歸模型之后，怎樣利用樣本數據尋找一條“最好”的直線，使得成對樣本數據的散點與這條直線最“接近”。如何用數學的方法刻畫各散點與直線的接近程度？

探究5：如何利用殘差分析一元線性回歸模型的有效性？分析并修正回歸模型。

3.GeoGebra可視化探究步驟

步驟1：打開GeoGebra軟件，同時按下“Ctrl+Shift+S”調出表格區，在表格區內A列、B列，分別輸入教材第105頁表8.2-1中的數據。

步驟2：選中A、B兩列的數據，在工具欄中單擊“雙變量回歸分析”，單擊“分析”，即可得到散點圖。

步驟3：分別選中A、B兩列，分別單擊右鍵選中“創建列表”得到列表l1、l2。在指令欄中輸入“相關系數（l1，l2）”，計算出相關系數r。

步驟4：同時按下“Ctrl+Shift+1”調出繪圖區，選中A、B兩列的數據，用右鍵選中“創建點列”得到列表l3，此時繪圖區同時出現了14組數據所形成的散點圖。

步驟5：在工具欄中選擇“描點工具”，在散點圖中單擊得到O、P兩點，指令欄中輸入“直線（O，P）”得到直線f。以同樣的方法操作可以得到兩條可移動的直線g和h，從而得到動態交互課件，開展試驗探究活動。

步驟6：在指令欄中分別輸入“q_1=誤差平方和（l1，f）”，“q_2=誤差平方和（l1，g）”， “q_3=誤差平方和（l1，h）”，得到3個數字，進行對比。

4.可視化探究內容解讀

對于第二個案例中的探究1和探究2，學生已經學習過散點圖及相關系數r的知識，教師演示步驟1和步驟3，是為了引導學生用GeoGebra軟件繪散點圖并計算相關系數r。在繪制出散點圖之后，學生觀察總結散點圖呈現的分布特點：“大致分布在一條從左下到右上的直線附近”。由此，得出結論：成對樣本數據具有線性關系，且是正相關。學生輸入指令進行計算，得到相關系數r的值，進一步佐證正相關關系，且相關程度較高。借助GeoGebra軟件進行可視化探究，通過散點圖定性推斷兩個變量之間的關系，再根據樣本數據進一步定量推斷兩個變量相關的正負性及相關性程度。

對于探究3，經歷了探究1和探究2之后，師生已經共同抽象概括出“散點大致分布在一條直線附近”這一特點。教師設問“能否利用函數模型來刻畫其關系”，引導學生直觀感受散點圖，結合函數的一一對應關系，發現這組變量（兒子的身高和父親的身高）無法用函數關系來刻畫。此時，教師引導學生思考發現這組變量的影響因素并不是單一因素。學生結合生活經驗得出結論：還有其他因素影響子女的身高，如母親身高、生活環境、飲食習慣等因素。如此，在函數模型的基礎之上，引入隨機誤差，得到一個新的數學模型——一元線性回歸模型。

對于探究4，在建立模型之后，為了找到一條“最好”的直線，課堂上教師可以借助GeoGebra進行步驟5的操作創設交互動態課件，與學生一同開展可視化試驗探究。教師結合幾何直觀和數學邏輯，引導學生尋找不同方法得出與樣本數據點整體上最“接近”的直線，在尋找最好的直線的過程中，適時引入“殘差”“殘差平方和”的概念。以此，發揮學生的自主性，鼓勵學生有不同的想法，發展學生的發散性思維。

師生共同探究，得到以下四種方案。教師利用GeoGebra開展四種方案的可視化探究，引導學生探究哪種方案更好及其原因。

方案一：使直線兩側點的個數相同。

方案二：使直線過盡可能多的點。

方案三：在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線的方程，分別求出這些直線的斜率、截距的平均數，將這兩個平均數作為所求直線的斜率和截距。

方案四：使散點均勻地分布在直線兩側，那怎么量化“均勻”呢？或者說，可以借助一個怎樣的數學量來刻畫散點與直線的整體接近程度呢？

針對方案一，教師借助GeoGebra創設的動態交互課件，讓學生上臺拖動點O、P進行探究，不難發現：能使兩側點的個數相同的直線不止一條。因此，在這種標準下，回歸直線沒有最優解。

針對方案二、方案三，進行同樣的操作。師生發現按以上三種方案操作，得到的直線并不是唯一的（如圖4），即在一個方案標準之下無法得到最優解。所以，前三個方案不是理想方案。

針對方案四，教師引導學生確定刻畫樣本數據與直線整體接近程度的數學量，即“各散點到直線的豎直距離的平方之和”，從而引入殘差平方和q。學生剖析q的表達式，推導展開，最終求得能使q最小的a、b。在學生理解這一過程之后，以上師生共同利用q求a、b的過程就是本節的核心知識點——最小二乘法。在經歷問題數學化后，學生按照步驟6，輸入指令得到三個殘差平方和的值，在探究的過程中直觀感受到殘差平方和q的大小。

三、可視化教學實現正反饋

（一）個性、高效：數字化教學有利于減負增效

技術與教育有機融合對提高教學效率有積極影響。統計軟件的應用不僅為教師提供了處理大量數據的工具，而且為學生提供了更具吸引力和互動性的學習方式。這種融合不僅有利于教師解決教學中的問題，而且有利于激發學生學習數學的興趣。教師借助統計軟件能夠更輕松地處理和分析大量數據，可以更好地個性化教學，因材施教。同時，自動化工具的應用可以減輕教師的工作負擔，讓他們有更多時間專注于教學水平的提升。

（二）直觀、有趣：可視化激發學生潛能

在教學中，可視化技術發揮了關鍵作用，學生學習更加生動，互動性更強。學生可以觀察實時的圖形或動態模擬探究，更深入地理解抽象的知識。這種互動性和可視性激發了學生的興趣，使他們更愿意積極參與學習過程。例如，在案例中，教師借助散點圖、圖表和動態演示，讓學生直觀地理解抽象概念、觀察數據及模型的效果。這種可視化教學使學生學習更生動、有趣，同時有助于提高學生數據分析和圖形解釋的能力。

（三）互動、實踐：探究學習貫穿全過程

在單元教學中，教師可以采取問題驅動的方式來開展探究和實驗導向的學習活動。教師設置與單元主題相關的實際問題，激發學生的好奇心，鼓勵他們主動探究和尋找答案。參與問題導向的學習活動，學生能夠更好地理解概念和目標。教師鼓勵學生主動參與探究和實驗，強調學生的主動參與，引導他們提出問題、制訂實驗計劃、收集和分析數據，最終得出結論。學生在解決問題的過程中獨立思考，增強了創造性思維和批判性思考能力。學生參與實際的實驗和探究活動，能夠更深入地理解課程內容。他們不是被動地接受知識，而是在親身經歷和互動性學習中更好地掌握并應用概念。這種深刻的理解有助于長期記憶并應用知識。學生根據模擬和實際數據進行實驗，不斷改進模型和分析方法，其思維能力不斷進階。

技術與教學的融合以及可視化、探究導向的學習方法的運用為教學帶來了積極的變革。這樣不僅能滿足學生的學習需求，而且能提供更好的學習工具，為培養更具創新力和解決問題能力的學生錦上添花。

注：本文系廣州市教學成果培育項目“技術賦能，素養提升：GeoGebra與數學教學深度融合的實踐探索”（項目編號：2023127958）的研究成果。

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 高用.關于“成對數據的統計分析”的教學理解與思考[J].中學數學教學，2021（6）：6-8.

[3] 張唯一.結合典型案例學習數據分析方法 加強統計概念和方法的形成過程：人教A版普通高中教科書《數學》（選擇性必修第三冊）第八章“成對數據的統計分析”編寫思考[J].中學數學教學參考，2022（13）：10-13.

[4] 周李曉.GeoGebra與高中數學教學深度融合的案例研究[J].理科考試研究，2022（21）：25-26.

[5] 程?？?，章建躍.通過成對數據的統計分析發展學生的數據分析素養[J].數學通報，2022（3）：7-17.