“雙減”背景下初中數學作業設計的基本策略

劉真環

［摘 要］“雙減”背景下，初中數學作業設計已經成為初中數學教師教學工作的重要任務之一。初中數學作業設計除了要體現層次性，讓不同的學生獲得相應的訓練，還要注重實踐性、富有新意及體現單元整體意識，以促進學生數學核心素養真正得到提升。

［關鍵詞］“雙減”背景；初中數學；作業設計

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2024）02-0011-03

作業指的是學生為完成一定學習任務而進行的學習活動。作業一般分為課堂作業和課后作業，本文主要討論的是課后作業。課后作業既是檢驗學生課堂學習效果的有效手段，也是鞏固課堂所學知識的有效方式。在實際教學中，如果教師根據統一的教學目標，設計相同內容的作業，或者為了讓學生快速掌握教學內容，布置大量重復、內容單一的作業，可能導致學生課業負擔過重，長此以往，不利于學生的身心健康成長。為了更好地貫徹“雙減”精神，教師應該重視作業設計，對作業的內容和形式進行調整。教師在設計初中數學作業時，應以新課程標準為指導，既要控制作業的“量”，又要保證作業的“質”，以提升學生的數學核心素養。本文以人教版九年級數學部分課時作業為例，探討初中數學作業設計策略。

一、作業的設計要分層

根據“雙減”政策的要求，教師應踐行“因材施教”理念，根據學生的能力層次對作業進行分層設計，幫助學生鞏固數學基礎知識、訓練數學基本技能、拓展數學思維和視野，以滿足不同層次學生的學習需求和發展需要。

在具體的作業設計中，教師還應遵循由易到難的基本原則，注意知識的層次性。由于學生的認知過程是由低級向高級逐步轉變的， 因此教師在設計作業時應遵循這一規律。作業內容要做到由淺入深、由單一到綜合、從模仿到創新，拾級而上、逐步提高，既要設計一定數量的基本練習，又要有適當的變式訓練，以拓展學生的數學思維。一般而言，可將作業設計成A類基礎題、B類綜合題和C類探究題三個層次，讓學生根據自身能力進行選擇，這樣可以滿足不同層次學生的學習需求。

例如，對于“二次函數的定義”這一節，可以設計這樣的作業：

1.形如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的函數叫二次函數。

2.在下列函數中，[y]關于[x]的二次函數有： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（1）[y=ax2+bx+c]? ? （2）[y=2x-1]

（3）[y=5x2-2x+2x2]? （4）[y=-x2+2]

3.說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項。

（1）[y=5x2+14x-1] （2）[y=2（x-1）2+1]

4.下列函數關系中，是二次函數關系的是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（1）在彈性限度內，彈簧的長度[y]與所掛物體的質量[x]之間的關系；（2）當距離一定時，火車行駛的時間[t]和速度[v]之間的關系；（3）矩形的長為寬的2倍，它的面積[S]與寬[x]之間的關系；（4）參加一次聚會的每兩人之間握一次手，所有人共握手的次數[m]與聚會人數[n]之間的關系。

5.已知函數[y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m]。

（1）若這個函數是二次函數，求[m]的取值范圍。

（2）若這個函數是一次函數，求[m]的值。

（3）這個函數可能是正比例函數嗎？為什么？

6.已知[y]與[x2]成正比例，且當[x=3]時，[y=-18]，寫出[y]與[x]之間的關系式，它是二次函數嗎？

7.初中階段我們已經學過一次函數、正比例函數，請你回顧前面學習一次函數的思路，用思維導圖呈現出來；請你仿照一次函數的研究方法，對將要學習的二次函數的研究思路進行梳理和預習。

本節作業的設計遵循了由淺入深、先易后難的分層設計原則。第1、2、3題是A類基礎題，要求所有學生在學習了本節課后都掌握。第4題需要學生根據題目情境列出關系式，再進一步判斷函數的類別，較前面題目難度有所增加；第5、6題需要學生能掌握前面學過的一次函數內容，靈活運用本節課的二次函數新知識，難度較大，屬于B類綜合題。第7題屬于C類探究題，需要學生回顧前面研究函數的一般方法和步驟，預估二次函數的研究思路，對學生的要求較高，利于優秀學生形成大單元學習意識。這樣的作業設計，使得不同層次的學生均可得到訓練，更能提高學生的學習效率。學生存在個體差異，甚至差異會很大，因此教師在設計課后作業時要設計相應的有層次和有梯度的作業內容，確保全體學生通過作業訓練都得到知識的鞏固和能力的提升。

二、作業的設計要重實踐

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課程要培養學生的數學核心素養，要讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。在學生完成了一定的數學知識學習后，教師要適當設計綜合實踐性作業，讓學生運用生活經驗和所學知識、方法去解決生活實際問題。

例如，在教學“三角函數”后，教師可設計這樣的數學實踐性作業：

我們周邊有很多高大的建筑物，有時不能直接測量其高度。你能應用所學的知識計算出它們的高度嗎？請你和同學選擇一個建筑物（高物），先設計出方案，再按方案進行測量，最后求出它的高度。

1.確立模型。你將測量的建筑物（高物）是什么？你的測量方案是什么？請你畫出示意圖，建立模型并寫出求解思路。

2.實際測量。請你根據第1步的方案，和同學一起測量，把相關數據記錄下來。（小組合作完成）

3.推算。請你完成最后的計算，推測出建筑物（高物）的高度。

4.小結反饋。通過這次活動，你有什么收獲？有什么地方是可以改良的？記錄下來，和老師、同學們一起分享！

該作業是在學生完成了初中階段圖形與幾何領域“圖形的性質”“圖形的變化”兩大主題后布置的一個綜合實踐性作業，要求學生能夠在學習了相關知識點后，從生活實物抽象出幾何圖形，借助圖形分析問題，構建幾何模型，形成解決問題的思路，提出解決問題的方法，并實際測量，通過模型估算出高物的高度。從學生的完成情況及反思可以看出，學生通過實踐性作業不僅對幾個基本幾何模型有了更深刻的理解，還能提出實際操作中遇到的問題和解決策略，學生的協作能力也得到了鍛煉。

課后作業設計綜合實踐性問題，讓學生解決實際生活問題，不僅能鞏固學生所學知識，更能培養學生的實踐意識和解決問題的能力，提高學生的數學核心素養。

三、作業的設計要有新意

教師在減少學生機械重復作業的同時，應適當設計形式新穎的創意作業，以激發學生的學習興趣，滿足學生的個性化學習需求，培養學生的創新思維。

例如，在教學完“反比例函數”這一章后，可布置如下作業：

1.“反比例函數”與“閉眼打轉”問題

在日常生活中，有一個有趣的現象：當你閉上眼睛走路時，走的路線不是一條直線，而是一條曲線。當走的距離足夠遠時，又回到了原來出發的地方，這就是著名的“閉眼打轉”問題?！胺幢壤瘮怠迸c“閉眼打轉”問題看似兩件風馬牛不相及的事情，怎么會扯上關系呢？看了下面的分析，你就會感受到反比例函數的神奇力量！

相傳公元1896年，挪威生理學家古德貝爾對此問題進行了深入的研究。他收集了大量事例分析并得到結論：這一切都是由于人自身兩只腳在作怪！長年累月養成的習慣，使每個人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子長（或短）一段微不足道的距離（步差[x]）。而正是這一段很小的步差，導致了這個人走出一個半徑為[y]的大圈子！

現在我們來研究一下[x]與[y]之間的函數關系。

如圖1所示，假定某人兩腳踏線間相隔為[d]，很明顯，當人在轉圈子時，兩只腳實際上走出了兩個半徑相差為[d]的同心圓。

設該人平均步長為[l]，那么，一方面這個人外腳比內腳多走路程[2πy+d2-2πy-d2=2πd]；另一方面，這個人外腳走的路程是外腳的步長乘步數，內腳走的路程是內腳的步長乘步數，那么外腳比內腳多走的路程又等于這個人走一圈的步數與步差的乘積，所以有[2πd=2πy2l·x]，即[y=2dlx]。若假設[d=0.1] m，[l=0.7] m，代入得[y=0.14x]，這就是所求的“閉眼打轉”問題的半徑公式，它是一個反比例函數，假設一個“閉眼走路”的人兩只腳的步差長為0.1 mm，那么，僅此微小的差異就足以使他在大約三公里的范圍內繞圈子?？吹竭@里，你是否被神奇的反比例函數所折服呢？

2.有趣的游戲

在舉世聞名的水都威尼斯，有個圣馬可廣場。廣場上有一座圣馬可大教堂，教堂的前面是一片長方形的開闊場地，長約170米，寬約80米。這片開闊場地一直吸引著四方游人來這里做一個奇特而有趣的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場一端向另一端的教堂走去，看一看誰能到達教堂的正前方。

神奇的是，雖然這段距離只有170米，但是沒有一名游客能幸運地做到這一點。大家全都走成了弧線，或向左或向右，偏斜到一邊，為什么是這樣呢？

（1）我們來算一算，當人們閉上眼睛，如圖2所示從廣場一側中央[M]點抵達教堂[CD]的點[C]處，這段弧線的半徑[R]為多少？

請同學們回答下面的問題。在矩形[ABCD]中，[BC=170]米，[AB=80]米，[M]是[AB]中點，求[MC]所在圓[O]的半徑[R]。

（2）游人如果能夠成功，他所走的弧線的半徑必須大于或等于這個[R]。請你再用[y=0.14x]計算一下，要達到上述要求，游客的步差[x]的取值范圍應該為多少？

你能否說說為什么沒有一個游客能夠做到“把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端的教堂走去，到達教堂的正前方”？

在章節學習結束后，設計這樣有新意的作業，能吸引學生深入閱讀，積極思考閱讀文本背后的數學原理，不僅提高了學生做作業的興趣，還拓寬了學生的視野，使學生學會用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界。

四、作業的設計要體現單元整體意識

核心素養導向下的初中數學教學關注的是不同知識之間的聯系，強調教學內容的整體性、數學思想方法內在的一致性，因此作業需要圍繞主題從單元的角度，基于單元整體來進行設計。

例如，教學“相似三角形”這一章后，教師可設計這樣的單元作業：

1.請你回顧本章學習過程，總結本章研究相似三角形的思路、研究內容和研究方法。

（1）補全本章的知識結構圖（如圖3）

（2）研究思路：定義→性質和判定→應用→特例。

（3）研究內容：研究相似三角形的邊和角等具體要素的位置和數量特征；研究特殊的相似——位似。

（4）研究方法：從一般到特殊；類比歸納；演繹證明。

2.請你回顧全等三角形和平行四邊形的學習過程，類比相似三角形，你能總結出幾何圖形的研究思路、研究內容和研究方法嗎？

此作業旨在讓學生通過回顧和總結全等三角形和平行四邊形的研究思路、研究內容和研究方法，結合相似三角形的研究過程，總結歸納出幾何圖形研究的基本思路、研究內容和研究方法。

教材編寫者在編寫教材或教師在設計教學時，給學生呈現的是從易到難、精心編寫的知識結構，但他們所經歷的思維過程卻容易被忽略，而其中蘊含的數學思想方法對于培養學生的數學核心素養和解決問題的能力十分重要。因此，在完成章節內容的教學后，教師應對單元內容與方法進行回顧、總結，實現大單元內容的總結與提升。設計單元知識回顧、提升作業，是幫助學生形成數學研究方法、培養思維習慣的有力抓手，教師在設計作業時應重視。

作業是教學的重要載體，是幫助學生鞏固課堂知識的主要手段。在進行作業設計時，教師應注意立足單元教學，對作業進行分層設計，同時注意作業的趣味性和與現實生活的關聯性，設計出能激發學生的學習興趣并滿足學生的學習需求的作業。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ ?曹一鳴.新版課程標準解析與教學指導（2022年版）：初中數學［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯 黃桂堅）