小學數學結構化學習的內涵、問題及對策

丁洪

［摘 要］結構化學習具有整體性、層次性、有序性和穩定性的特征。整體視域缺乏、層次聯結缺失、有序表征缺位和穩定評價缺席等問題，會造成學生結構認知“不全面”、結構生長“不通透”、結構理解“不充分”和結構反思“不靈動”。教學應著眼整體視域、著力層次聯結、著手有序表征、著重穩定評價，助力學生思維結構從工具轉變為素養。

［關鍵詞］結構化學習；結構思維；數學化經歷；核心素養

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0001-04

結構是事物存在的基本方式，也是一個重要概念和研究視角。數學結構的生成、勾連和拓展，是發展學生結構思維的重要內容，也是培育學生數學素養的有效載體?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，教學需要“基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律”。如何將“冰冷的”數學結構轉化為“火熱的”數學思考？筆者嘗試通過“追本溯源—直面現實—優化策略”的過程，弄清結構化學習“到底是什么”，剖析結構化學習“問題在哪里”，明確結構化學習“可以怎么做”，以此增強教與學的底氣和活力。

一、結構化學習“到底是什么”

結構化學習是指基于知識本體、課程本意和學生本位，研究數學對象自身各種要素之間的相互關聯以及作用方式，側重考量研究對象構成要素的數量比例、排列次序、結合形式以及變化規律，以基礎學力與素養導向貫穿始終的學習方式和方法。從整體性、層次性、有序性和穩定性四個方面去理解結構化學習，能夠觸摸其概念本質，通透結構認知。

（一）整體性

數學研究對象內部要素關聯方式的內在規定性集中反映了數學結構的本質屬性，同時也決定了結構化學習的底層邏輯，即“整體性”。一般系統論的創始人貝塔朗菲認為，“系統整體不等于各孤立部分的總和”。如果將系統整體解構成孤立部分，可以窺探數學要素的個性特點，而將孤立部分重構于上位整體，則可以把脈數學要素的有機聯系。

以“數與運算”專題的結構化學習為例。首先，計數單位的建構規則整體關聯。計數單位可以追本溯源為“實物”和“狀態”兩個序列?！皩嵨铩毙蛄械挠嫈祮挝簧钜馓N較濃，它以單位“1”（整體）為基準建構，通過單位“1”的十進制累加產生整數單位，通過單位“1”的十進制細分產生小數單位，通過單位“1”的任意整份數均分產生分數單位，這類單位序列起點相同、需求互補?！盃顟B”序列的計數單位數學意蘊較濃，它以“0”（原點）為分界創造，描述和記錄位于分界的左右、上下和高低等狀態，這類單位序列起點相同、意義相反。其次，單位個數的運算規則整體關聯。單位的個數的運算可以分類為累加和遞減兩個方向。單位個數累加的基礎形式是加法運算，遞減的基礎形式是減法運算，乘、除法只是加、減法的簡便和高級形式而已。需要注意的是，加法、減法運算是相同計數單位的直接累加或遞減，乘法（除法）運算則需要先用“單位×單位（單位÷單位）”確定新單位，再用“個數×個數（個數÷個數）”確定新個數。換個角度來看，單位個數的運算都可以拆解為“表內加減法”和“表內乘除法”的口算，化繁為簡，由分到合，這方面四則運算也是內在一致的。顯然，整體把握數學內部要素的關聯方式，有助于學生對結構化學習的本質理解。

（二）層次性

結構化學習經歷從簡單到復雜、從低級到高級的過程，一般分為橫向和縱向兩種層次。橫向層次注重同級結構的側面性理解，體現相關、相聯和相補的融合關系；縱向層次注重高低結構的等級性理解，凸顯包容、發展和深入的遞進關系。兩種結構層次在一定時空里縱橫交匯、編織成網、架構成體，反映了數學結構的多樣與統一。

以長方形的結構化學習為例。首先，從橫向層次看，學生需要經歷“認識—測量—位置—運動”四個階段。具體來說，長方形的認識側重圖形的抽象，從外觀“長長方方”的簡單辨認，漸進為“有四條邊，對邊相等”和“有四個角，都是直角”的特征概括。結構體驗從“定性”走向“定量”。長方形的測量側重圖形的大小，既確定“一周邊線的長短”，又確定“面的大小”。外“線”內“面”，“合”而不同，但是“定單位、去測量和得結果”的度量路徑相同，結構體驗從“殊途”走向“同歸”。長方形的位置側重圖形的定位，主要借助數對確定四個頂點的相對位置，對比“同行不同列”和“同列不同行”的數學信息，可以推理出長方形的形狀、周長和面積。結構體驗從“定點”走向“定形”。長方形的運動側重圖形的關聯，平移“走直線”，對應點、線“等距離”變化；旋轉“繞點轉”，對應線“等角度”變化；軸對稱“玩對折”，對應點、線“等距離”分布；放大或縮小“巧判斷”，對應邊“等比例”變化。變中有不變，感受數學美，結構體驗從“無關”走向“相關”。其次，從縱向層次看，長方形的學習可以下位解構為點、線的關系判斷，上位重構可以發展成長方體的認識、測量、位置和運動。前后一致、上下貫通，結構體驗從“碎片”走向“系統”。顯然，縱橫交錯的層次經歷與深度體驗，有助于學生結構化學習的通透認知。

（三）有序性

結構化學習研究數學要素的數量比例、排列次序、結合形式以及變化規律，通常表現為空間上的序列呈現和時間上的順序認知。序列呈現剖析知識“從哪來，到哪去”，側重學習的邏輯性、歸屬性和等級性，“科學的數學”意蘊較濃。順序認知經歷知識“先學誰，再學誰”，側重學習的規劃性、生成性和層次性，“育人的數學”目標明確。

以“除數是兩位數的除法”的結構化學習為例。首先，從序列呈現看，“表內乘法和除法”“除數是一位數的除法”和“兩位數乘兩位數”是必要前提。在口算除法中，整十數、整百數除以整十數可以轉化成表內除法，單位大小雖然發生改變，但是個數運算的過程完全相同。在筆算除法中，雖然判斷被除數的前幾位數隨除數的大小在動態調整，但是“除到哪一位，商寫在那一位上”和“余數必須比除數小”的運算規則一脈相承。后續學習的相關內容有“小數乘法和除法”“分數的基本性質”和“比的基本性質”，結構關聯、對比和互補的意圖明顯。其次，從順序認知看，一般先學口算，再學筆算；先學商是一位數的，再學商是兩位數的；先學沒有余數的，再學有余數的；先學不調商的，再學要調商的；先學正確求商的方法，再探究商不變規律。但是，具體到不同版本教材，編排又各具特色。對于口算除法，人教版教材注重口算與估算的結構對比，引導學生發現“被除數稍大一點，除數不變”或者“被除數不變，除數稍大一點或稍小一點”，以形成估算認知；青島版教材注重將實際問題轉化為口算，引導學生判斷“往大看298噸，看成300噸，6次能運完。實際要運的比300噸少，所以6次肯定能運完”凸顯推理意識。在筆算除法中，同樣是“四舍五入”求商，蘇教版教材注重“線性遞進”，從“一試就準”到“先試再調”，助力結構順應；人教版教材注重“板塊推進”，從“四舍試調”到“五入試調”，達成結構同化。顯然，有序性的深刻解讀與生動演繹，有助于學生結構化學習的精準表征。

（四）穩定性

結構化學習具有自我調節、自我組織和自我更新的特質，它的穩定性是相對的，表現為階段封閉、有序擴張和前后一致，最終凝練為結構認知的確定性。概念、判斷和推理是結構認知的基本形式。事物本質屬性的概括抽象形成概念，事物各種關系的區分識別適用于判斷，從已知判斷得到未知判斷依靠推理實現。三者共同作用，可培育學生理性精神。

以“認識三角形”的結構化學習為例。首先，從概念建構看，在線段和角的認知基礎上，逐步揭示三角形內涵——“三條線段首尾相接圍成的圖形”，刻畫圖形的空間本質；在垂線的認知基礎上，學習三角形的高，感受頂點到對邊的距離唯一，間接反映“三個頂點不在同一條直線上”的要求，明確點的空間位置。其次，從關系判斷看，一是邊的長短關系，通過數據收集、整理和對比，發現“兩條短邊長度之和大于第三條邊”的簡化判斷，確定邊的空間關系，并知道如果“等于”或“小于”，則對應判斷“三邊一條線”或“三邊有缺口”；二是角的大小關系，通過測量、折合、撕拼，發現三角形的形狀、大小不一樣，但是內角和的總量不變，凸顯角的空間構造。最后，從推理意識看，一是標準的建立，在求多邊形的內角和時，選用1°的角作標準，可以先測量多邊形每個角的的角度再累加，但是這種方法難以避免誤差且過程復雜；選用360°的圖形作標準，則會出現標準執行不徹底的縣；選用180°的圖形作標準，可以將n邊形解構成（n-2）份，標準前后貫通，推理意識得以激活。二是標準的運用，除了從多邊形的一個頂點出發構造出（n-2）個三角形，也可以從邊上任意一點（不包括端點）出發構造出（n-1）個三角形，還可以在多邊形內部任意一點出發構造出n個三角形，構造形式不一樣，但是（n-2）×180°=（n-1）×180°-180°=n×180°-360°，內在道理卻相通，推理意識得以盤活。顯然，結構認知的路徑塑化和提質增值，有助于學生結構化學習的素養達成。

二、結構性化學習“問題在哪里”

通過課堂觀察、案例分析和梳理歸類，可以發現學生的結構化學習存在整體視域缺乏、層次聯結缺失、有序表征缺位和穩定評價缺席等情況，這些問題容易造成學生結構認知“不全面”、結構生長“不通透”、結構理解“不充分”和結構反思“不靈動”。問題是挑戰，也是機遇，客觀記錄有助于聚焦和剖析。

（一）整體視域缺乏，結構認知“不全面”

整體觀念是結構化學習的基礎和常識，更是一種要求和高度，主要表現為全局視域、系統思維和多元表征。目前，課堂上出現了一些行為偏差，比如在“用數對確定位置”的教學中，注重知識形式，強調“先列后行”以及逗號、小括號的書寫規則，忽視“平面上點的位置與數對一一對應”的內容本質，學生的結構認知“不得要領”；在“認識2、3、5的倍數”的教學中，注重結果運用，強調“只看個位上數的特征，判斷2和5的倍數”或“要看各位上數字之和的特征，判斷3的倍數”，忽視“十進制計數結構分析”的原因探尋，學生的結構認知“不講道理”；在“圓的面積”教學中，注重靜態接受，強調“把圓轉化成近似的長方形計算面積”，把可能變成唯一，忽視“還可以將圓轉化成三角形、梯形等”的動態建構，學生的結構認知“不見主體”。除此之外，注重階段結論，忽視全程體驗，學生的結構認知“不能關聯”；注重學科知識，忽視實踐運用，學生的結構認知“不可持續”等問題也比較突出。顯然，缺乏整體視域的結構化學習容易催生自學虛化、探究虛弱和結論虛設，學生的結構認知不深入在所難免。

（二）層次聯結缺失，結構生長“不通透”

層次聯結是知識結構生長的需要，雖然存在縱橫之別，但是建構邏輯是前后一致、螺旋上升和緊密聯系的。目前，課堂上出現了一些教學誤區，比如在“度量單位”專題中，長度描述空間距離，定量指向一維空間，但是“毫米、厘米、分米和米”相鄰單位之間的進率是10，“米和千米”之間的進率卻是1000，進率不統一造成學生認知困擾，學習若僅從生活情景建構，結構生長將“形式單一”；面積描述物體表面大小，定量指向二維空間，這里存在兩個不統一，一是“公頃”單位的形式，二是面積單位的進率，學習若僅從現有概念出發，結構生長將“浮于表面”；體積描述物體所占空間大小，量化指向三維空間，雖然常用體積單位之間的進率相對統一，但是進率產生的原因未能深究，學習若僅從有限對象開展，結構生長將“就事論事”。該如何改進教學？如圖1所示，可以增加“十米”“百米”“平方十米”和“平方百米”等單位縫合結構斷層，可以增加“立方十米”“立方百米”和“立方千米”延續結構生長，這樣以國際單位制基本單位“米”為起點，橫向有序、縱向對應、渾然一體，辯證共識“數學創造的嚴謹性”與“生活實踐的適用性”。顯然，缺失層次聯結的結構化學習容易催生感知斷片、體驗斷序和認知斷層，結構生長不通透如影隨形。

（三）有序表征缺位，結構理解“不充分”

有序表征是結構化學習的操作關鍵，需要處理好“序列呈現”和“順序認知”的客觀矛盾，以便充分理解數量關系和空間形式。目前，課堂上出現了一些行為紊亂，比如在“長方形的周長”學習中，學生一般經歷“自然結構”和“加工結構”兩個層次，前者側重運算與概念的吻合，的表征形式相對原始和生態，結構理解“表里如一”；后者側重將運算對象進行分類和加工，以對邊相等為標準，以鄰邊長度和相等為標準，表征形式逐漸概括和精密，結構理解“另辟蹊徑”。知識還有“歷史結構”和“現代結構”，它們也需要有序表征，比如在“三角形的面積”學習中，先經歷“用兩個完全一樣的三角形拼接成一個平行四邊形”，在確認“等底等高”和“倍拼轉化”的基礎上，再推理得到，是“現代結構”，結構理解“有理有據”；教師還可以引導學生積極閱讀、欣賞和對比劉徽“以盈補虛”的方法，體會“等底半高”“半底等高”的“等積轉化”，再推理得到或，是“歷史結構”，結構理解“殊途同歸”。應該說，準確、簡明、抽象是有序表征的必然走向，過程蘊含著“更大的普遍性、更大的嚴格性、更大的簡單性”的價值訴求。但是，將“加工結構”和“現代結構”作為學習的唯一目標，輕視“自然結構”和“歷史結構”的獨特價值，將“主角”降格為“配角”，將“互補”誤認為“取代”，這樣的想法不成熟、這樣的做法不可取。顯然，缺位有序表征的結構化學習容易催生急功近利、丟失源頭活水、忽視對比體驗，結構理解不充分的現象接踵而至。

（四）穩定評價缺席，結構反思“不靈動”

穩定評價是結構化學習的節奏調控，是一種認知覺醒前提下的動態決策，旨在引發知識的本質探尋、過程體驗和反思內化。目前，課堂上出現了一些僵化行為，比如在“分數的意義”的教學中，延續低年級“份數思想”表征分數結構，簡單認為“分一分”確定總份數和分母，“數一數”確定表示的份數和分子，這是典型的“熱鍋炒冷飯”。分數的意義不局限于此，應從“份數思想”漸進為“單位思想”，并尋求兩種思想之間的對應聯系，以獲得分數是分數單位累加的結構新體驗，達成數認識的一般性，否則后續假分數學習寸步難行，結構反思“居于一隅”。又如，在“認識長方形和正方形”學習中，對于“正方形是特殊的長方形”的關系判斷，不能止于直觀猜測、接受結論和機械記憶，而是需要先確定“屬加種差”定義中的“屬”，即長方形“對邊相等”和“四個直角”，再確定正方形“長寬相等”這個“種差”，并用集合圖逐步展示包含關系，結構反思“層級失調”。再如，在“可能性”的相關知識中，“一定”和“不可能”是極端狀態，推理結果是必然的，“可能”是中間狀態，只要袋中有紅球就有可能摸到紅球，但是摸到紅球的可能性大小不能僅僅通過摸后的數據簡單推理，因為可能性大小是由摸前數量的占比定性，在頻次較少的操作下，可能性大小的規律是或然的，不具備定量刻畫的界定功能，結構反思“搖擺不定”。顯然，缺席穩定評價的結構化學習容易催生概念窄化、判斷無力和推理失衡，結構反思“不靈動”。

三、結構化學習“可以怎么做”

數學課程以結構化的方式呈現，以主題式的情境推進，折射出學科的本質特征和學生的發展需求。結構化理念下的課堂實踐，需要參與者著眼整體視域、著力層次聯結、著手有序表征和著重穩定評價，努力實現求同存異“看明白”、縱橫開合“想清楚”、取長補短“融到位”和深入淺出“帶得走”。這種學習行為和價值取向，既是認知的自然回歸，也是理性的必然超越。

（一）著眼整體視域，求同存異“看明白”

鄭樂雋教授在《數學思維》一書中提出，“數學是由它的研究方法來定義的，而它的研究對象則是那些研究方法決定的?！彼龔娬{，數學研究的方法是邏輯，數學學習指向思維規律，需要經歷“抽象化”和“廣義化”兩個完整過程。具體而言，抽象化是一個由多變少、由外到內、由個性到共性的概括，它可以將看似不相關的研究對象，經過邏輯方法的有序梳理，使結構變得“大同小異”。比如，在“商不變的性質”“小數的基本性質”“分數的基本性質”“比的基本性質”和“比例的基本性質”的學習中，可以根據“商不變的性質”說明“分數的基本性質”，看明白除法算式與分數的結構對應；可以依據“分數的基本性質”涵蓋“小數的基本性質”，看明白分數和小數的結構兼容；可以通過“比的前項、后項和比值分別相當于除法算式或分數中的什么”看明白除法算式、分數和比的結構互動；可以運用“比的基本性質”推理“比例的基本性質”，看明白比和比例的結構依存。這樣，小學階段“數與運算”中的五種基本性質得以完整建構，如圖2所示。廣義化是基于熟知的研究對象和相同的邏輯方法，去建構更為復雜、豐富和一般的研究對象，可以鏈向生活或數學，結構變得“根深葉茂”。比如，“數與式”“方程與不等式”以及函數的后續探究，結構體驗便是如此。

（二）著力層次聯結，縱橫開合“想清楚”

如果整體視域是結構化學習寬度上的追求，指向“如何看”，那么層次聯結可以算是結構化學習深度上的探索，著力“怎么想”。但是，要將研究對象的層次縱橫開合想清楚，并非一朝一夕可以完成，需要長程思考。首先，橫向融合，形成“知識鏈”。以“統計與概率”為例，“數據分類”是前提，從實物到數據，引入研究對象；“數據收集、整理與表達”是主體，先收集匯總，再分段整理，最后用統計圖表、平均數和百分數多樣化表達，數據分析側重觀察、歸納和后驗；“隨機現象發生的可能性”是后續，改變角度用數據“說話”，雖然數據分析側重檢驗、演繹和推論，但是激發學生的數據意識目標始終未變。其次，縱向拉伸，理成“知識包”。以“三位數乘兩位數”為例，結構學習需要“兩位數的乘法”和“一位數的乘法”等下位知識的支撐，也需要“數的組成”“10及其冪的乘法”“位值制概念”和“乘法分配律”等通用方法的對接；結構進階離不開“兩位數的乘法”的橋梁樞紐，也離不開“位值制概念”的本質助力。這樣，從算法到算理，從過程到概念，學生的推理意識得到培育。最后，縱橫貫通，構成“知識塊”。以度量的學習為例，無論是線、面、體，或是物體質量，還是時間等，“定單位、數個數和得結果”是學習三步曲，其中單位定制側重需求激發、標準建立和相互聯系，單位個數側重一般確認到巧妙計算的過渡，結果表達側重比較、選擇和應用。厘清了度量板塊的路徑一致，才能透過形式看到問題本質，切實培養學生的量感。

（三）著手有序表征，取長補短“融到位”

尊重、信任和依靠學生自我發展，說到底就是經驗的激活、調用和深化。經驗的內隱個性決定了表征的外顯差異，如能將差異變成資源，取長補短，思維融合，結構化學習必然充實、充足和充分。首先，融通階段表征，凸現“是什么”。以“數的認識”為例，低年級時通常采用“對應的方法”來認數，分為四個階段：感性具體（實物操作）→感性一般（對數量本身的抽象）→理性具體（從數量到數的抽象）→理性一般（用字母表示數），每個階段抽象的層次不同；高年級時通常采用“邏輯的方法”來認數，比如十個千是一萬，十個千萬是一億，大數的認識依靠推理，而非抽象。但是，不管是抽象還是推理，數就是一個一個大起來，一個一個數上去，這種數感前后一致。其次，融洽多元表征，凸出“為什么”。以“數的運算”為例，有操作小棒的體驗表征，算理清晰；有分步計算的符號表征，程序充分；有分塊運算的圖形表征，結構對應；還有豎式記錄的言語表征，算法合理?？梢钥闯?，豎式計算是一種加工的結構，有了其他形式的表征聯通和佐證，能夠平衡“怎么想”“怎么擺”和“怎么算”，推理意識滲透無形。最后，融解拓展表征，凸顯“還有什么”。比如，靜態解決的問題能否動態思考，算術思維解決的問題能否用代數思維替換，數形問題能否合理轉化并巧妙解決，常態方法解決的問題能否創造方法解決，等等。只有不斷地追問和探究，結構思維才有發散的機會，結構認知才有突破階段封閉的可能，也能增進對原有結構的理解。

（四）著重穩定評價，深入淺出“帶得走”

結構化評價是比結構化觀察、結構化思考和結構化表征更高階的一種認知能力，演繹學得透、用得上和帶得走的認知水平。一般情況下，結構評價需要關注兩個維度，即“基本原則”和“基本態度”，這是結構化學習的階段成果，也是將數學結構作為工具孵化為核心素養的必經之路，具有承上啟下、繼往開來的效用。具體而言，數學結構的基本原則包含基本概念、原理和規則等，因為原理和規則都事出有因，所以概念之間相互關聯是必然的、系統的和穩定的。這樣，數學實體知識存在“特殊標準”——正確性、有意義和關聯度，就不足為怪了。當下學習就需要緊扣這些標準，引導學生積極主動地去“觀察與比較”進行發現式的學習，或者注重“需求與創造”進行發明式的學習，每一個人都能卷入其中，“像專家一樣思考”，為評價積累素材、積蓄力量和積淀思想。至于數學結構的基本態度，馬立平教授在《小學數學的掌握和教學》一書中提出，它比數學結構的基本原則更深入人心。比如，“數學是關于模式的科學”“用數學證明一個論斷”“在各種情景中保持概念的一致性”“用多種方法處理一個問題”和“轉化是解決問題常用的策略”等?？梢钥闯?，基本態度可以關系和貫穿到每一個專題，但是基本原則卻不能。更進一步，如果評價還能涉及“為什么存在？”“為什么選擇？”“為什么重要？”等本源性問題，也許就能觸摸到數學結構的底層邏輯，有效避免“高評價，低運用”的尷尬局面。

總而言之，《義務教育數學課程標準（2022年版）》以結構化學習為突破口，注重結構的生成、關聯和拓展，培育學生結構地觀察、思考和表征，從低階思維逐漸走向高階思維，直至學會結構化地評價，這條路徑是明確的。但是，要做到辯證“學的主體”和“教的主導”，辨嘗“自主學習”和“合作探究”，辨別“學科知識”和“學科素養”……萬不能用力過猛、矯枉過正，將“結構主張”異化為“結構主義”，丟失了育人的陣地和真諦。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 皮亞杰.結構主義[M].倪連生，王琳，譯.北京：商務印書館，1984.

[3] 鄭樂雋.數學思維[M].朱思聰，張任宇，譯.北京：中信出版社，2020.

[4] 馬立平.小學數學的掌握和教學[M].李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2011.

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）?！?/p>

（責編 金 鈴）