用對數均值不等式求解高考導數壓軸題
——以近五年高考導數壓軸題為例

焦永垚

(甘肅省蘭州市第六中學)

1.提出問題

導數及其應用是歷年高考的重要考點之一,其中含ex,lnx的函數零點、函數極值、數列不等式及極值點偏移等問題成為近年高考的熱門考點,在全國各地高考壓軸題中頻繁出現,對數均值不等式是解決此類問題的一個有力工具.很多學生只是簡單記住了對數均值不等式的形式,但具體在什么情況下使用,怎么使用,往往比較困惑,加之導數壓軸題具有綜合性強、計算量大、思維要求高等特點,致使學生對導數壓軸題望而生畏,不敢下筆.本文以近年高考試卷中的導數壓軸題為例,闡述對數均值不等式及其推論在解題中的應用,以期拋磚引玉.

2.對數均值不等式及其推論

兩個正數a,b的對數平均定義如下:

對數均值不等式的證明方法很多,以上采用定積分函數放縮的高觀點視角證明,可以幫助學生高位審視問題,有助于學生思維方式的訓練和認知的提升.另外,由對數均值不等式很容易得到以下三個推論:

3.對數均值不等式及其推論在高考導數壓軸題中的應用

3.1 解決數列不等式的證明問題

3.2 解決函數不等式的證明問題

【例3】(2020·天津卷·20節選)已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導函數.

【解析】(Ⅰ)函數g(x)的單調增區間為(1,+∞),單調減區間為(0,1),極小值為g(1)=1,無極大值.(過程略)

【評注】此題通過換元,利用對數均值不等式的推論1將(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]進行放縮,從而成功把要證的不等式與第(Ⅰ)問中的函數g(x)相聯系,再借第(Ⅰ)問的結論進行解決,極大降低了思維難度.

3.3 解決函數的極值或零點問題

當a≤0時,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上單調遞增,則g(x)>g(0)=0,從而g(x)在(0,+∞)內沒有零點.

【例5】(2020·浙江卷·22節選)已知1

【解析】因為當x∈(0,+∞)時,f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(x0)=ex0-x0-a=0,其中x0∈(0,+∞).

要證不等式x0f(ex0)≥(e-1)(a-1)a成立,則只需證ax0(ex0-1)>(e-1)(a-1)a,即證x0(ex0-1)>(e-1)(ex0-x0-1).令g(x)=x(ex-1)-(e-1)(ex-x-1)(x>0),則g′(x)=(x+2-e)ex+e-2,設h(x)=g′(x),則h′(x)=(x+3-e)ex>0,所以g′(x)在(0,+∞)上單調遞增,可得g′(x)>g′(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,得g(x)>g(0)=0,則g(x0)>0,從而x0(ex0-1)>(e-1)(ex0-x0-1),故原不等式成立.

3.4 解決極值點偏移問題

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

【解析】(Ⅰ)實數a的取值范圍是(-∞,e+1].(過程略)

【例7】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

【解析】(Ⅰ)f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.(過程略)

綜上所述,2

【評注】對于極值點偏移問題,常規的解決方法是構造對稱函數,但上述例6先根據f(x1)=f(x2)建立關于x1,x2的等式,再通過同構、恒等變形等將其轉化為對數平均,再利用對數均值不等式解決,思路簡單自然,抓住了問題的本質.例7在證明“x1+x2>2”時,借助對數均值不等式的推論把含lnx1,lnx2的超越式放縮為有理式,從而使問題迎刃而解.高考中的極值點偏移問題還有很多,如2016年全國Ⅰ卷理科第21題、2013年湖南卷文科第21題、2010年天津卷理科第21題等等,有興趣的讀者可嘗試運用對數均值不等式及其推論進行解決,本文不再贅述.

4.結束語

從歷年的高考試題可以看出,以對數均值不等式及其推論為背景的高考題屢見不鮮.雖然對數均值不等式在高中數學教材中沒有專門介紹,但是理解和掌握對數均值不等式及其應用,能夠幫助學生快速明確解題方向,這對學生突破導數壓軸題有著至關重要的作用.對數均值不等式其實是學生所熟知的基本不等式的加強,其幾何意義是以羅爾中值定理為背景,屬于高等數學知識,因此,在實際解題過程中,凡涉及使用對數均值不等式的,都需先給出證明.近年來,很多高考試題的命制都以高等數學中的部分思想與內容為背景,因此,作為一名高中數學教師,僅僅具備高中數學教材中的知識是遠遠不夠的,在教學中還要注重滲透“高觀點”思想,教會學生善于從“高觀點”去審視和解決數學問題,這可使學生能夠更好地理解和把握命題意圖,更有利于提升學生的思想高度,更有利于培育學生的思維創新能力,更有利于發展學生的數學核心素養.