融合生物與數學建模的教學實踐

王濤

在中學生物課程中，生物種群數量的增長模型有兩種：基于生物種群增長是否有約束因素（環境阻力），分為J型曲線增長模型與S型曲線增長模型。學生在高中階段學習過函數（指數、對數函數）、導數與積分等相關知識之后，就可以對這兩種模型作定量的研究。通過本節學習，讓學生經歷數學建模的過程，學會用數學思維分析世界，發展數學建模和數據分析素養。

課前導入任務。生物學中有的生命活動規律具有必然確定的特征，不受外界環境的干擾；而有的則易受外界環境的影響，但也具有規律性的特點。為了研究這個問題，我們進行酵母種群的培養實驗。把學生分為兩組，讓學生利用課余時間進行培養實驗，一組進行擴瓶實驗研究（即將一個培養瓶內的酵母菌定時接種到多個培養瓶內進行培養，培養空間和營養物質始終充足），另一組開展原瓶實驗研究（即酵母菌始終在一個培養瓶內進行培養，中間不更換培養液，隨著酵母菌的增長，培養空間和營養物質有限）。兩個小組分別按照數學建模的基本過程開展研究，完成兩個問題：兩種實驗下菌群增長模型分別是什么？為什么兩種實驗條件得到的數學模型會有差異？哪個模型與真實世界中的種群增長規律更吻合？

環節一：建立擴瓶實驗的數學模型

任務一是依據擴瓶實驗所得數據進行數學建模。模擬的是為酵母菌的繁殖提供理想的條件，即有足夠的生存和繁殖資源與空間，學生通過實驗過程獲得數據，并進行整理。將數據描點得到散點圖，可以看出曲線的大致增長趨勢。再提出問題：繪制的曲線形狀與英文字母J相似，故這類增長稱為J型增長。那么J型增長用數學語言如何表示呢？

設計意圖：引導學生自己動腦動手，體驗模型構建的過程。通過該模型建構，讓學生領悟數學建模的一般過程。

任務二是利用理論推演法建立J型增長的數學模型。理論推演法需要首先建立假設：在有足夠的生存和繁殖資源與空間，在溫度、資源充足的情況下，種群可以自由生長。增長率為常數，記為λ，酵母菌初始數量N0=2450，根據假設，任意給定時間Δt，由種群的增長率的概念得：=λ，所以=λN（t），=λN（t），由導數的定義可以知道N'（t）=λN（t），所以N（t）=eλt+c，又因為當t=0時，N0=eC=2450，所以Nt=2450·eλt。

設計意圖：引導學生將曲線圖轉化為數學表達式，使學生對種群增長的數學模型即曲線圖和數學公式的各自優勢有所了解。

環節二：建立原瓶實驗的數學模型

任務一是依據原瓶實驗所得數據進行數學建模。原瓶實驗的數學模型的建立過程與擴瓶實驗類似。根據酵母菌種群培養實驗原瓶培養的數據，列出酵母種群密度表。將數據描點得出散點圖，可以看出曲線的大致增長趨勢，散點圖顯示的規律不同于擴瓶實驗的Ｊ型增長，而是Ｓ型增長。讓學生用自己的語言描述這條曲線，與J型增長曲線進行比較，分析造成曲線變平緩的原因，并試說明K值代表的意義，指出在哪一時間該種群的增長速率最快。

設計意圖：引導學生得出S型增長的特點、K值的意義以及的意義。

任務二是依據理論推演法建立S型增長的數學模型。理論推演法需要首先建立假設：設環境容納總量為K，當繁殖時間為t時，菌群數為N（t），此時空間環境的剩余空間為1-。為了建立S型增長曲線的數學模型，首先提出假設：增長率λ（t）與種群剩余空間成正比，比例系數為λ，λ為資源充足情況下種群的增長率。所以，λ（t）=λ（1-）。

根據假設，任意給定時間△t，由種群增長率概念得=λ（1-），所以=λ（1-）N（t），=λ（1-）N（t），由導數的定義可以知道N'（t）=λ（1-）N（t）（*），該式可以看作N'（t）關于N（t）的二次函數，因為λ>0，所以當N（t）=時，增長速率的最大值為。那么滿足（*）的函數N（t）的表達式到底是什么呢？利用積分的知識可以求得N（t）=，當t=0時，得C0=ln。

利用數學軟件，畫出N（t）=的圖像，可以看出其形狀與S的形狀相似。

設計意圖：相比而言，S型與J型數學模型探究的思路完全一樣，在教學中可以引導學生利用類比的思想去探究。但由于涉及導數與積分的相關知識，對學生的基本功要求比較高，需要教師在運算上作適當引導，確保探究順利進行。

齊龍新老師點評

本節課從生物實驗出發，在教師引領下進行酵母菌種群數培養相關實驗， 并記錄實驗數據，然后應用數據進行作圖，進而對圖進行理性分析。通過“提出問題-作出假設-建立模型-模型的檢驗與修正”的過程，讓學生體驗建構數學模型的過程，發展科學思維與科學探究的能力。用數學建模的思想研究生物學問題，體現了對學生“模型與建?！钡目茖W思維的培養與提升，是一次很好的學科融合的教學實踐。