中學生數學問題解決能力的發展軌跡

張思雨 韓繼偉 趙倩

摘 ? 要： 培養中學生數學問題解決能力是中學數學課程與教學的重要目標之一。該研究采用認知網絡分析法探索中學生數學問題解決能力的發展軌跡，表現為：首先具備問題轉化能力與解題方案執行能力，進而具備問題轉化能力、解題方案執行能力與問題結構化能力，最終具備解題方案制訂能力在內的數學問題解決各維度能力。其中，問題結構化能力是促使中學生數學問題解決能力從低水平到中水平的關鍵，解題方案制訂能力是促使中學生數學問題解決能力從中水平到高水平的關鍵。

關鍵詞： 數學問題解決能力；發展軌跡；認知網絡分析法

一、問題的提出

培養學生的問題解決能力始終是數學教育的一大重心。在我國早期的數學課程文本（教學大綱、課程標準等）中，就顯現出對學生數學問題解決能力的要求，例如，要讓學生通過學習算數、幾何等知識，掌握基本的謀生技能。1 目前，數學問題解決能力的內涵進一步豐富，指學生將他們所學的數學知識與技能綜合應用于新的問題情境的能力。2 無論是早期以“謀生之計”和“運算”為內核的解應用題能力，還是現在強調綜合運用多種知識與技能來解決問題，培養學生的數學問題解決能力一直是基礎教育數學課程的目標之一。不僅如此，數學問題解決能力還是國際學生評估項目（如PISA）的重要測評內容，以及國際數學教育大會（ICME）的專項研討課題之一。3 盡管數學問題解決能力的研究已取得了很大的進展，但多是重視對解題策略的訓練與思想方法的滲透，或對學生水平表現的調查，缺少對數學問題解決能力發展過程的思考。事實上，若要有效提高學生的數學問題解決能力，不僅需要了解相關的教學策略，評估學生現階段的表現，還有必要理解學生數學問題解決能力是如何隨著學習而發展變化的。隨著教育大數據與學習分析的快速發展，認知網絡分析法逐漸應用于建構復雜問題領域的思維發展過程。1 這為本研究提供了重要參考。因此，本研究運用認知網絡分析法，通過可視化表征中學生數學問題解決能力結構，分析其結構特征，探究中學生數學問題解決能力的發展軌跡，以期為數學課程、數學教學與評價提供研究基礎和參考依據。

二、文獻綜述

1.數學問題解決能力相關研究

數學問題解決能力是一種高級認知能力2，與數學核心素養的多個成分密切相關。關于數學問題解決能力的構成要素，邁耶（Mayer）認為，數學問題解決能力包括轉換能力、整合能力、計劃與監控能力、實施解決方案能力；3 后來，舍恩菲爾德（Schoenfeld）在前人的理論基礎上，增加和突出了元認知和情意因素。4 關于數學問題解決能力的影響因素研究，大多聚焦于數學信念、自我效能感等非認知因素和教學因素等，如馬克·普倫德加斯特（Mark Prendergast）等人發現，學生積極的數學信念是影響其數學問題解決能力的重要因素；5 綦春霞等人發現，初中生的自我效能感對數學問題解決能力有正向預測作用，數學焦慮起反向預測作用；6 鄭太年等人提出，教師在課程教學的積極態度以及計算機輔助教學對于學生問題解決能力有正向影響，講授教學法對學生問題解決能力有負向影響。7

綜上可知，已有關于數學問題解決能力的研究，大多是重視對解題策略的訓練與思想方法的滲透，或對學生數學問題解決能力水平進行評價。然而，若要有效提高學生的數學問題解決能力，不僅需要厘清數學問題解決能力的結構及影響因素、調查學生數學問題解決能力的水平高低，更需要從學生自身的角度來思考，其數學問題解決能力是如何隨著不斷地學習而發展變化的。這不僅是數學教育研究發展的趨勢，也是數學教育實踐發展的訴求。知識或能力之間的聯系會隨著人們學習的進步而越來越緊密，最終形成一個更加完善的認知框架。8 但目前相關的實證研究并不豐富，因此，本研究將繼續分析學生數學問題解決能力中各元素間的內在關聯和結構，以探究如何發展學生數學問題解決能力。

2.認知網絡分析法及其應用研究

認知網絡分析法（Epistemic Network Analysis，以下簡稱ENA）是由謝弗（Shaffer）等人提出的一種建構復雜問題領域的思維發展的分析方法。9 其主要優勢在于能夠通過網絡圖，可視化表征被試各能力之間的聯系及發展趨勢。具體來說，ENA以“節點”表示研究框架所包含的元素，再利用二進制編碼方式計算這些“節點”之間關聯的強弱，并用網絡圖的形式呈現元素之間的結構特征，橫向組間或縱向組內對比不同的元素結構，從而實現差異化分析或發展趨勢研究。

ENA方法的優勢使其在探究認知發展方面發揮了重要作用。12 例如，吳忭等人通過ENA方法分析學生在協作編程活動過程中，計算思維能力不同維度之間的關聯特征，探究了不同能力水平的小組在計算思維能力水平上的差異及其發展軌跡，指出學生計算思維結構存在雙向的思維特征；3 冷靜等人通過ENA方法編碼反思日志，揭示了教師反思能力發展軌跡，即教師逐漸向對話反思、批判性反思等高水平能力發展過渡；4 喬新虹通過認知網絡分析法來研究教學設計能力、添加的教學設計能力、辨分的教學設計能力和反思的教學設計能力之間的關聯，及其在實驗前后的變化，驗證了KI課程對職前科學教師教學設計能力發展的促進作用；5 張思等人依據TPACK框架，應用ENA分析了對話反思教師的認知網絡結構特征，發現教師對話的知識類型主要是學科教學法知識和一般教學法知識。6 綜上，雖然ENA方法在教育研究領域得到了廣泛的應用，但少見關于問題解決方面的應用。因此，本研究擬運用認知網絡分析法，構建不同水平學生數學問題解決能力的認知網絡圖，可視化表征數學問題解決能力各維度間的關聯和發展全貌，以實現對學生數學問題解決能力發展軌跡的刻畫。

三、研究設計

1.研究問題

本研究基于邁耶提出的學生解決數學問題的四階段理論，以問題轉換能力、問題結構化能力、解題方案制訂能力及解題方案執行能力為四維度，表征學生的數學問題解決能力。核心問題是中學生數學問題解決能力的發展軌跡是怎樣的？

2.研究對象

研究對象為吉林省三個地級城市中的10所初中的三年級學生。研究采取分層抽樣和整群抽樣相結合的方法，以確保研究對象具有一定的代表性。具體而言，首先根據管理水平、硬件設施、生源和師資力量等，將學校分成從優質到一般的三個層次水平；然后分別在不同層次水平的學校中隨機選取三所作為樣本學校，將被確定為樣本學校的全體初中三年級學生作為研究對象。最終，參與測試的學生人數共計421名，回收的有效數據樣本共計350份。

3.研究工具

研究編制《中學生數學問題解決能力測評卷》，測量中學生數學問題解決能力。通過對測試卷進行預測、調整，最終測評題的內容效度指數為0.96，大于0.78，即試題具有較好的效度；測評題在項目反應理論下的標準誤差值均接近于0，試題對考生能力水平的估計較穩定，即試題具備良好的信度；難度參數的擬合指標MNSQ值均在[0.5，1.5]的可接受范圍內，擬合指標ZSTD值也在[-2，2]的可接受范圍內；試題的區分度參數均大于0.3，即試題具有良好的區分度。

4.研究方法

本研究主要采用調查法中的測試法探究中學生數學問題解決能力的發展軌跡。數據分析方法主要包括描述性統計分析、聚類分析、Rasch模型、認知網絡分析。具體而言，首先采用聚類分析、Rasch模型對回收的350份有效測試卷進行數據分析，將參試學生劃分成低、中、高三個水平。其次，采用描述性統計的方法刻畫各個水平學生數學問題解決能力的整體狀況。最后，采用認知網絡分析法來描述中學生數學問題解決能力的發展軌跡。

四、研究結果

1.中學生數學問題解決能力的整體狀況

首先，對中學生數學問題解決能力做出如下水平劃分：先根據Rasch模型計算中學生數學問題解決能力值；進而對中學生數學問題解決能力進行系統聚類分析，由系譜圖可知，將學生水平劃分為3類最合適；最后采用K-均值聚類方法，對350名中學生的數據進行聚類分析，選擇聚類的集群數量為3，得到最終的分類結果。分類結果表明，低、中與高水平學生人數，分別占總人數的27%、44%與29%（見表1）。

整體上，中學生的問題轉換能力最強，問題結構化能力與解題方案制訂能力較弱。從低水平到高水平，中學生數學問題解決能力各維度能力均有明顯提升，但不同水平的中學數學問題解決能力結構存在一定的差異，如低水平學生主要是問題轉化能力最強，其次是解題方案執行能力；中水平學生也是如此，但問題結構化能力也有了明顯提升；高水平學生各維度能力均值均較高。這些描述性分析幫助我們了解中學生數學問題解決能力的整體狀況。然而想要落實對學生數學問題解決能力的培養，我們還需深入理解中學生的數學問題解決能力是如何隨著學習而發展變化的。

2.中學生數學問題解決能力的發展軌跡

首先，以三種水平的中學生數學問題解決能力作為三個分析單元，繪制不同水平的中學生認知網絡二維質心分布圖，以獲得不同水平的中學生數學問題解決能力結構特征，并采用獨立樣本t檢驗比較中學生數學問題解決能力的結構差異；其次，以中學生的問題轉換能力、問題結構化能力、解題方案制訂能力及解題方案執行能力為四個節點，構建不同水平的中學生數學問題解決能力認知網絡模型，并計算認知網絡連接系數值，以了解中學生數學問題解決能力各維度間的關聯，獲得中學生數學問題解決能力發展軌跡。

（1）不同水平的中學生數學問題解決能力結構特征分析

為了探究不同水平的中學生數學問題解決能力結構特征，本研究對中學生數學問題解決能力測評數據進行預處理及編碼，建立了三個水平學生的認知網絡二維質心分布圖（如圖1所示）。數據結果顯示，二維質心分布圖投影中第一維度（MR1，即X軸）占數據總體方差的47.1%，第二維度（SVD2，即Y軸）占數據總體方差的18.4%。因此，該模型在統計意義上能夠反映原始數據的信息。此外，三個水平學生的數學問題解決能力數據投影到二維空間中的三個質心位置（圖1中的三個正方形），分別處于不同位置：低水平學生的質心位置距離數學問題解決能力各維度均較遠，中水平學生的質心位置主要靠近問題結構化能力、問題轉化能力和解題方案執行能力，高水平學生的質心位置距離數學問題解決能力各維度能力均較近。這表明，不同水平的中學生數學問題解決能力結構存在較大的差異。

本研究采用獨立樣本t檢驗的方法，對不同水平的中學生數學問題解決能力的平均認知網絡中心位置進行差異性檢驗。結果如表2所示：低水平與中水平的平均認知網絡，在第一維度上存在顯著性差異（p=0.00），而在第二維度上沒有顯著性差異（p=0.07）；中水平與高水平的平均認知網絡，在第一維度上存在顯著性差異（p=0.00）；在第二維度上也存在顯著性差異（p=0.01）。

綜合認知網絡二維質心分布圖和獨立樣本t檢驗結果可知，不同水平的中學生數學問題解決能力結構存在顯著性差異：低水平與中水平的中學生在問題結構化能力上存在顯著性差異，中水平學生與高水平學生在數學問題解決能力各維度上存在顯著性差異。

（2）中學生數學問題解決能力的認知網絡模型分析

上述分析表明，不同水平的中學生數學問題解決能力結構存在較大的差異，這也進一步說明了中學生數學問題解決能力在從低到高的發展過程中發生了明顯的變化。為進一步探究中學生數學問題解決能力的發展軌跡，本研究應用ENA構建不同水平的中學生數學問題解決能力的認知網絡模型，具體包括平均認知網絡圖及認知網絡疊減圖。平均認知網絡圖的結果顯示：低水平的中學生主要在問題轉化能力、問題結構化能力與解題方案執行能力之間有線段連接，但線段非常細，連接系數較弱，分別是0.01、0.02、0.04；中水平的學生數學問題解決能力各維度之間均有線段連接，但線段有粗有細，即連接系數強弱不一，其中，問題轉化能力、問題結構化能力與解題方案執行能力之間的連接系數最強，分別是0.36、0.25、0.24；高水平的中學生數學問題解決能力各維度之間的連接線段較粗，連接系數均最強，其數學問題解決能力的認知網絡結構最穩定、平衡。認知網絡疊減圖的結果顯示：從低水平發展至中水平的過程中，中學生的問題結構化能力與其他各維度能力的連接系數增幅最大，分別是0.32、0.28、0.24；從中水平發展至高水平的過程中，中學生的解題方案制訂能力與其他能力連接系數的增幅最大，分別是0.19、0.17、0.12。

以上數據分析結果表明，學生處于低水平時，具備一定的問題轉化能力與解題方案執行能力。即在中學生數學問題解決能力的發展過程中，中學生所應具備的最基礎能力是問題轉化能力與解題方案執行能力。學生處于中水平時，其數學問題解決能力結構特征，表現為以問題轉化能力、解題方案執行能力與問題結構化能力為主。從低水平至中水平的發展過程中，中學生的問題結構化能力提升的最為明顯。學生處于高水平時，其數學問題轉化能力結構特征，表現為各維度能力之間連接緊密并趨于平衡狀態。從中水平至高水平的發展過程中，學生解題方案制訂能力提升的最為明顯。

五、結論與建議

本研究基于認知網絡分析方法，得出了符合中學生認知發展規律的數學問題解決能力發展軌跡，希望能夠為培養中學生數學問題解決能力，提供一定的理論依據與實證經驗。

1.研究結論

通過對中學生數學問題解決能力各維度能力均值的描述性統計分析，以及不同水平的中學生數學問題解決能力結構的認知網絡分析，研究發現，中學生數學問題解決能力的發展軌跡為：問題轉化能力與解題方案執行能力——問題轉化能力、解題方案執行能力與問題結構化能力——數學問題解決能力各維度能力。其中，結構化能力是促使中學生數學問題解決能力從低水平發展到中水平的關鍵，解題方案制訂能力是促使中學生數學問題解決能力從中水平發展到高水平的關鍵。

（1）問題轉化能力與解題方案執行能力是中學生數學問題解決的基礎能力

在中學生數學問題解決能力的發展過程中，問題轉化能力與解題方案執行能力首先在低水平階段得以表現。該水平的中學生能夠用所學的數學知識對現實問題進行思考，將外部情境信息轉化成數學符號語言的內在表征，并能使用數學符號進行推理或運算。這表明，問題轉化能力與解題方案執行能力是中學生數學問題解決的基礎能力。這是因為，中學生的問題轉化能力在很大程度上與其該領域的知識儲備量相關。當學生習得問題領域的知識后，學生往往能夠根據自己的基礎知識將問題中的陳述句轉換為相應的數學符號語言。同時，運算能力或使用數學符號執行推理過程的能力貫穿學生數學學習的全過程，因此學生能具備一定的運算和推理經驗。

（2）問題結構化能力是促使中學生數學問題解決能力從低水平發展至中水平的關鍵

在中學生數學問題解決能力的發展過程中，雖然中學生問題結構化能力在低水平階段也有所體現，但非常薄弱，而在中水平階段的表現最強，且相比其他維度能力，中學生數學問題解決能力從低水平發展至中水平的過程中，其問題結構化能力的提升幅度最為明顯。這表明，問題結構化能力是促使中學生數學問題解決能力從低水平發展至中水平的關鍵。這是因為，學生的問題結構化能力主要表現為學生將轉譯的各個陳述句整合在一起，形成一個熟悉的問題模型的能力。學生需要先從轉移的信息中選擇與問題相關的信息，刪除無關的信息，同時推論題目中沒有的隱藏信息，才能建構一個問題模型。1 這往往需要學生具備較為完善的知識結構以及對數學邏輯與數學意義的深刻理解。亦即，問題結構化能力是造成熟手與新手解題差異的主要原因之一。較高水平的學生在解決數學問題時通常能夠將問題背后的知識點有機地聯系在一起，整合成熟悉的問題模式，從而能把握問題的實質。

（3）解題方案制訂能力是促使中學生數學問題解決能力從中水平發展至高水平的關鍵

在中學生數學問題解決能力的發展過程中，高水平學生的解題方案制訂能力值遠大于中水平學生，且從中水平發展到高水平的過程中，中學生解題方案制訂能力的提升幅度最大。這表明，解題方案制訂能力是促使中學生數學問題解決能力從中水平發展至高水平的關鍵。這是因為，學生的解題方案制訂能力主要表現為學生從長時記憶中尋找與該問題相關的解決方法，并監測自己的解題思路，從而產生對問題的理解與應對策略。而在制訂解題方案時，完備的基礎知識是學生選擇恰當的解決方案的前提1； 準確把握問題的實質有利于學生找到合適的解決方法。那么，在培養解題方案制訂能力之前，學生不僅需要具備基本的問題轉化能力，還要具備一定的問題結構化能力。

（4）中學生數學問題解決能力各維度協同發展

研究發現，中學生數學問題解決能力各維度不是孤立產生、發展的，而是協同提升、共同強化的。具體來看，當學生問題轉化能力與解題方案執行能力發展到學生能夠基本理解的程度時，問題結構化能力逐漸產生了，進而學生的問題轉化能力、解題方案執行能力、問題結構化能力開始共同發展，在達到簡單應用的程度時，其逐漸產生解題方案制訂能力，最終學生各維度能力協同發展。這是因為，在低水平階段，中學生的知識儲備量較少、知識結構較為松散，對數學符號語言意義的理解較淺、對基本數量關系的推理與運算的感性經驗的積累也較少。2 因此，低水平學生的問題轉化能力和解題方案的執行能力較弱，只能達到基本理解的程度。隨著學習的深化和解題經驗的積累，中學生問題轉化能力和解題方案的執行能力會有所提升，與此同時，學生深度理解問題的實質，能夠準確地將信息整合成熟悉的模式，其問題結構化能力也得到了發展，整體上可以達到基本應用的中水平階段。最后隨著學習的不斷進步，學生具備更完善的知識基礎和熟練的解題運算技巧，能夠正確理解問題，這樣便更易于找到解決方法，并監測自己的解題思路3，從而達到數學問題解決能力各維度能力近乎平衡的高水平階段。

2.教學建議

中學生數學問題解決能力的發展具備一定的規律，教師可根據學生的發展規律設計相應的教學活動，以使對中學生數學問題解決能力的培養達到事半功倍的效果。

（1）起始階段，培養其問題轉化與方案執行能力

首先，幫助學生豐富其知識儲備量，這將有利于進行問題轉化。由于數學問題的表征形式也會影響學生的數學問題轉化能力，教師在講授數學問題時，有必要通過引導學生用自己的話將問題解釋一遍，特別是對數學問題情景的理解，來鍛煉學生的審題意識與表征能力，或幫助學生豐富“下游命題系統”，即引導學生根據命題A推出命題B、C、D等，從而為問題解決提供更多條件信息，特別是在學生需要將問題轉化成方程式時。除此之外，教師還要注意強化學生的運算能力、使用數學符號執行推理過程的能力，即注意幫助學生理解數學符號語言的深層次意義，準確把握運算規則。

（2）中間階段，著重培養其問題結構化能力

在中間階段，教師不僅需要培養學生有效加工和提取數學問題中單一元素信息的能力，還要注重培養他們將其整合成具有數學意義的結構、相互聯系著的復合體的能力。在整合數學問題中的信息時，教師可以引導學生采用問題模型的方式將數學問題結構化。這樣可以幫助學生將所遇問題與已有的知識進行聯結，建構情境，重新整合為自身熟悉的問題模型。這將有利于學生把握問題的實質，從而為找到合適的解決方法奠定基礎。

（3）高階階段，著重培養其解題方案制訂能力

高階階段，教師應幫助學生形成自己的知識結構——解題模塊，引導學生把某類數學問題的知識結構用自己的方式理解、在自己的頭腦中形成一個具有內部規律的整體結構，這些結構往往可以用一些圖表等形式進行表示。這就可以為學生制訂解題方案提供多條思路。由于解題模塊的建立還需要考慮問題背后的本質與思想，這便需要數學教師具有較強的歸納類型和模塊的意識，引導學生從雜亂無章的問題中概括一般原理，使學生能夠遷移、應用已有的知識和經驗。這在某種程度上也解決了“學生從教師那里學會例題之后，自己課下不會解題”的教學問題。此外，我們建議數學教師在引導時，還要給學生的反思和歸納總結留有足夠的時間，讓學生主動產生理解與應對策略。

六、結語

如何有效地提高學生的數學問題解決能力一直是數學教育研究的重要議題。本研究應用認知網絡分析法，可視化表征了中學生數學問題解決能力的發展軌跡。這是從學生自身發展的角度來思考這一問題的，符合學生認知發展規律。由于本研究主要基于邁耶提出的學生解決數學問題的四階段理論，從問題轉換能力、問題結構化能力、解題方案制訂能力及解題方案執行能力四個維度表征學生的數學問題解決能力，發展變量僅有四個，因而在發展軌跡的精細度上具有一定局限性。未來研究將進一步優化、細分學生數學問題解決能力的維度表征，更精準地刻畫學生數學問題解決能力的發展軌跡，為數學課程、數學教學與評價提供更精細的研究基礎和參考依據。

The Developmental Trajectory of Middle School Students Mathematical

Problem Solving Ability：A Study Based on Epistemic Network Analysis

ZHANG Siyu，HAN Jiwei，ZHAO Qian

（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun，Jilin，130024）

Abstract： Cultivating studentsmathematical problem solving ability is one of the important goals of mathematics curriculum and teaching in middle schools. This study adopts epistemic network analysis to explore the development trajectory of middle school students mathematical problem solving ability，which include the followings： firstly，students should acquire the competencies of problem transformation and problem solving scheme execution；then they will acquire the competency of problem structuring in addition to the first two competencies；and finally they will acquire the competency of mathematical problem solving ability in all dimensions，including the competendcy of problem solving scheme formulation. Among them， the competency of problem structuring is the key to promoting the development of students mathematical problem solving ability from low level to medium level，and the competency of problem solving scheme formulation is the key to promoting the development of their mathematical problem solving ability from medium level to high level.

Key words： mathematical problem solving ability，development trajectory，epistemic network analysis