初中數學教學中本原性問題的設計

傅炤

摘 ? 要： 本原性問題是凸顯學科本質、關注認知規律的問題，是處于學生認知基礎與學科觀念的聯結點上的問題，具有啟發性、本原性、統領性的特征。初中數學教學要以復習課為載體，圍繞知識梳理、知識重組、知識應用探討本原性問題的設計策略，構建以“本原性問題”為組織中心的問題化學習課堂，以促進知識的聯系與遷移，導向深度學習與理解，發展學生的高階思維。

關鍵詞： 本原性問題；問題設計；復習課；高階思維

一、研究背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確落實“立德樹人”的根本任務，確定了核心素養導向的課程目標。在核心素養導向下，數學學習要求學生學以致用，在復雜真實的情境中運用數學知識解決問題。特別強調的是，數學教師要準確把握此次課程標準修訂的重要理念，即課程內容的結構化。1 課程內容結構化指出，課程內容的結構化理念要求教師轉變教學方式，從以學科知識為本轉向以學生為本。在實際教學過程中，課程內容結構化要因地制宜，因校情和學情而異。

在新課學習中，學生學習過程是知識點逐步完善的過程。而調研發現，學生對于知識之間的聯系理解并不深刻，知識的結構化程度較低，缺乏對一般觀念的上位思考；同時缺乏系統的對數學思想方法的歸納與整理、對問題解決一般過程的概括與遷移，導致無法運用在復雜問題解決中。新課學習中的問題也促使筆者一直在思考：能否在復習課中提前解決這些問題？學生之所以對數學概念感到陌生，難以理解，是因為初中生通常對新課存在畏難心理，難以進入學習狀態，導致學習效果不理想。如果能夠結合初中生的思維發展規律，借助復習課，創設其熟悉的學習情境，設計本原性問題，那就可以引發他們的主動思考和學習興趣。因為核心素養導向下的復習課是一種“溫故而知新”的認知重構活動，其核心任務是：通過創設一系列綜合性、開放性的問題情境，讓學生經歷比較、分析、整理等思維活動，建立具有一定層次的知識網絡，縱向加深拓寬認知結構，橫向聯系達成深度理解，從而發展思維的豐富性與聯系性；并在歸納和概括數學思想方法、解決問題的一般路徑中，以反思與總結的方式循序漸進地建立數學思想方法體系，實現從“四基”向“四能”跨越，從而發展思維的遷移性。因此，在初中數學復習課中設計本原性問題，可以有效幫助學生發展數學核心素養。

二、本原性問題的內涵解讀

《現代漢語詞典》中對“本原”的解釋為：“哲學上指一切事物的最初根源或構成世界的最根本實體?！? 將“本原”遷移到學科教學領域，主要是借鑒哲學對“本原”的理解和思維方法?！氨驹詥栴}”是指凸顯學科本質、關注認知規律并處在學生認知基礎與學科觀念的聯結點上的問題，它具有啟發性、本原性、統領性的特征，能激發思考與探究、促進知識聯系與遷移、導向深度學習與理解。

數學課堂教與學是一種“基于問題系統優化的學習”，學生在教師與同伴的幫助下持續提出問題，自主建構問題系統，在問題系統化、系統圖式化、圖式可視化中去建構知識體系，尋找學習路徑，發展學科思維。本原性問題不僅涵蓋從學科的角度揭示知識的本質問題，同時涵蓋從認知和教學的角度來激發學生探究的興趣，啟發學生對知識的理解，從而幫助學生主動建構對知識的理解和認知。

站在課程的視角，深度分析單元或模塊內容本質和學科觀念設置“本原性問題”為統領的基本問題鏈，作為課堂組織的中心，架構認知過程和高階的思維路徑。其中，以“本原性問題”為統帥，預設的驅動性問題情境”“學生在問題解決過程生成的問題”“基于學生困與惑的教師引導性問題”，以及“解決問題的教與學的環境”成了高階思維視角下本原性問題驅動學習的基本要素。

教師在課堂教學中如果能以學科思維和“本原性問題”為核心，圍繞學生的困惑和教學目標，設計內在邏輯相連、環環相扣的問題鏈，能將學生引向高階學習，幫助學生深度理解數學知識及其背后的邏輯結構、思想方法、研究視角，形成學科思維和觀念，那么學習就從事實走向結構、原理和方法論的層面，進而外顯為知識的應用、遷移和創造。

三、本原性問題的設計思路

“本原性問題”的設計，對教師提出了較大的挑戰，要求教師能夠基于學科視野整體把握整個課程知識的結構體系，以及這些結構體系背后的思想、方法和數學觀念。教師還需要具備相應的教學法知識以及評價的意識和能力。為此，教師必須在整體把握大觀念和單元核心問題的基礎上，研究如何根據教學目標與學生特點，設計和開展本原性問題以驅動課堂教學。

那么，在核心素養導向下，初中數學有哪些可以激發學生思考力的本原性問題，體現出學習最為根源、真實、基本的觀點。數學教師需要在教學中緊緊圍繞核心素養導向下的核心任務，設計好一系列本原性問題，循序漸進，環環相扣，將學生導入深度學習中，進而有效地激發學生理解數學學習的本質和價值。下文將以初中數學復習課為例，剖析本原性問題的設計思路，包括構建復習課的教學模式，提煉課程內容結構的一般觀念，以及明確本原性問題的核心價值。只有對學科的教學模式和體系架構等基本情況有所了解，教師才能提煉出反映學科本質的最有價值的本原性問題。

1.構建復習課“三階段七環節”的教學模式

核心素養導向下的復習課要經歷知識回顧、知識重組、知識運用等知識結構建構的過程。通過縱向回顧知識的學習過程，橫向理解知識之間的聯系，建立橫縱相連的知識體系，實現知識結構的重構，感悟數學的一般觀念，感受用數學的眼光觀察與思考世界，夯實基本的思維與方法素養；通過對運用知識解決問題過程的反思與總結，將問題解決的基本步驟一般化、程序化，并用自己的語言表達操作要領、步驟方法和適用范圍，學會用數學的語言表達，體會數學的工具性與嚴謹性，從而形成理性思維?；趶土曊n的基本特征，構建復習課“三階段七環節”教學模式，如圖1所示。

基于“三階段七環節”教學模式，構建了以本原性問題為核心的教學路徑（見圖2），即基于知識內容提取一般觀念，提煉本原性問題；設計學習情境，圍繞學生的困惑和問題設計引導性問題，圍繞教學目標設計推進型問題和延展性問題，構成學生學習活動中邏輯相連的問題鏈，把學生引向高階學習，從而發展其高階思維。

2.提煉教學內容結構化的一般觀念

基于“三階段七環節”教學模式和教學路徑，我們從數學的“一般觀念”著手，闡述如何用本原性問題來整體規劃知識結構體系?！耙话阌^念”是指與核心知識相關的研究問題的一般理念。它包括某一個具體知識領域內核心知識的研究思路、研究內容、研究方法等，是對知識發生、發展過程及其反映的數學思想方法的再概括。數學知識是對客觀世界數量關系和空間形式的概括性認識，具有很強的系統性和邏輯性。數學知識的聯系主要包括縱向和橫向知識結構聯系?？v向知識聯系是指單元知識的研究過程或者結構相同的單元知識之間的關系，即“條狀知識鏈”；數學知識的橫向聯系指的是結構類似的不同單元知識之間的聯結，即“塊狀知識”。這些知識的組織形式、思想方法和問題提出與解決步驟的一致性都集中反映了數學學科的“一般觀念”。

以“代數方程”模塊為例，如圖3，從縱向看方程的學習過程，都是從實際問題中抽象量以及量與量之間的等量關系，引入符號表達關系從而得到方程，基于方程的代數結構進行定義以及一般形式的表達，基于等式性質和代數式運算原理進行求解，最后運用方程解決實際問題。這樣的過程對應“如何研究方程”這一本原性問題。從橫向看，每一種方程的引入、定義、解法以及應用過程都是一致的，分別對應“為什么要研究方程”“如何定義方程”“如何求解方程”“如何應用方程解決實際問題”等本原性問題，從而體現了用本原性問題系統架構方程模塊知識體系的過程。

3.明確本原性問題的核心價值

在復習課中，基于一般觀念提煉本原性問題，深入思考對應的中觀層面和微觀層面的問題，以此整體架構知識體系的建構路徑，其核心價值是：（1）知識體系的建構是有序的、進階式的認知重構，在梳理知識的相互聯系中深化對知識的理解，優化認知結構，建立層次分明、聯系廣泛的數學知識體系；（2）在分析知識的形成和發展過程中突出一般觀念，讓學生體會用相同方法學習不同的核心知識，從而為知識體系的建構方法提供可遷移的經驗；（3）從知識到觀念最后提煉成本原性問題體系，使復習活動變為有效學習的“問題化學習”活動，這對學生的自主復習、主動建構等學習方式的變革有突破性意義。

四、本原性問題的設計策略

在設計思路明確的前提下，本原性問題的設計要關注三個方面，即知識內容、學生認知和教師教學。教師要綜合均衡這三個方面，設計進階型本原性問題鏈，從而體現數學學科的整體性和一致性，培養學生運用所學知識解決實際問題的關鍵能力，提升其核心素養。

1.開放性問題：引導知識的有序回顧

復習課是對已有知識的再認識過程，回顧與提取相關知識是復習課的基礎，學生的認知線索是關鍵。所謂認知線索，是指激活學生記憶、導向學生信息信息提取、啟發學生思考的心理參照。在復習課中，結合學生認知線索創設開放性的情境，能夠幫助學生直接指向相關核心知識，為后續知識重組提供框架，啟發學生思考。

代數方程復習課：知識提取環節

問題情境：圖4是2002年在中國北京召開的國際數學家大會的會標，是中國古代著名的“趙爽弦圖”。四邊形ABCD是正方形，它由4個全等的直角三角形拼成，中間的四邊形EFGH也是正方形。如果正方形ABCD的面積為13，正方形EFGH的面積為1，求圖中直角三角形的兩條直角邊長。

問題1：這個圖形由哪些線段組成？它們之間有怎樣的數量關系？

問題2：根據未知量的不同設法，你能列出哪些方程或方程組來解決這個問題？

以“代數方程”的復習課為例，創設如下情境：這個問題中直角三角形的兩條直角邊之間有三個等量關系：（1）它們的差為1；（2）它們的積為6；（3）它們的平方和為13?？梢岳闷渲腥我庖粋€等量關系將未知量符號化，利用另一個等量關系將等量關系方程化，列出方程；也可以利用其中任意兩個等量關系，分別列出方程，再聯立得方程組即可。

通過問題1引導學生抽象數量關系，引入符號表達，采取不同方式設元，建立多種方程或方程組來解決問題，從而將方程知識的回顧孕育在問題解決過程中，為后續理解方程及各類方程之間的關系做好鋪墊。

2.策略性問題：引導知識結構層次化的重組

在知識回顧之后就要將學生思維引向知識重組。知識重組是拓展認知結構、優化知識體系、建立知識聯系、導向深度理解的重要認知活動。這需要在復習課中基于知識關聯處設計策略性問題，引導學生在整理、歸納、反思過程中對知識進行有序的重組，才能促進學生理解數學學科一般觀念，自主建構知識體系，實現思維的進階。

以方程為例，“引入方程—方程的概念—方程的解法—方程的應用”是方程模塊的“條狀知識鏈”，也是“代數方程”復習課的順序。在解決問題2之后，需要對比各類不同的方程，設計如下問題：

代數方程復習課：知識重組環節

問題3：上述這些方程如何進行分類？分類的標準是什么？

問題4：每一類方程是如何進行定義的？對此你有什么新的發現？

問題5：方程的分類與代數式的分類、數的分類之間有怎樣的聯系？

其中問題3引導學生回顧各類方程的概念，對方程進行有序分類。問題5通過對比每一類方程的定義，理解數學定義方程的方式方法，從而以“如何定義方程？”這一本原性問題聚合“代數方程的概念”這一“塊狀知識”，建立橫向知識聯系。各類方程的概念與代數式的概念緊密聯系，代數式的概念又指向數的概念，因此自然引向問題，引導學生貫通數、代數式、方程三者之間的聯系，從方程的局部知識走向整個代數領域的知識體系，從而凸顯知識背后共同的思維方式，發展思維的關聯性。

解方程的教學是數學高階思維的培育，具體表現在三個方面：首先，解方程的過程體現了數式運算及其運算律在解方程過程中的一致性，體現了代數運算“知算理、明算法”的規則意識，指向了代數推理的能力；其次，解方程的過程就是不斷地化繁為簡的過程，降次和消元是基本策略，體現的是化歸的數學思想方法；第三，解方程的過程蘊含算法思想，即“依據方程形式挖掘信息—定義、公式、法則的準確運用—選擇合理的運算方法—簡化運算”。在新課學習中，每一類方程或方程組的求解是單獨展開的，學生對解方程背后蘊含的數學思想方法理解不深，因此，需要在復習課程中進行歸納?；诖?，我們設計了以下問題：

問題6：如何求解上述方程？

問題7：這些方程求解過程分別運用了哪些數學知識？蘊含了怎樣的數學思想方法？

問題8：這些方程的求解過程蘊含了哪些基本步驟？

通過這三個問題，幫助學生從整體上建立代數方程解法之間的聯系，體會背后的數學思想方法，并進一步強化解方程的運算與數、代數式的運算之間的聯系，為將來學習更復雜的方程解法積累經驗。

3.歸納式問題：引導知識運用策略的概括與遷移

數學思想方法是數學的靈魂。在新課學習中，學生已經體會各種數學思想方法，但對于數學思想方法作用于問題解決的一般步驟以及如何歸納解釋還缺乏經驗，這就需要在復習課中，基于數學思想方法的抽象設計歸納式問題，引導學生對知識運用策略的一般過程進行概括與歸納，并通過情境變式遷移以幫助學生形成數學思想方法體系。

方程模塊最重要的數學思想方法是運用方程解決實際問題。教師在“代數方程”復習課中設計了歸納式問題鏈。

代數方程復習課：數學思想方法概括環節

問題9：對于這個問題情境，為什么想到用方程求解？用方程解決實際問題的一般步驟是什么？

問題10：用方程解決實際問題的過程中有哪些核心要點？

問題11：比較列方程的過程與列代數式的過程，二者有哪些聯系與區別？

教師通過這三個問題，逐步引導學生總結出列方程解決問題的一般步驟：“審、設、列、解、驗、答”，并歸納出方程解決問題的一般思路，即將實際問題轉化為方程問題，通過解方程解決實際問題（見圖5），進而總結出方程建模的作用、步驟和要點。

4.反思性問題：引導知識體系建構過程的應用與創新

知識體系的建構過程逐步螺旋式上升，在經歷了知識提取、知識重組、知識運用等活動后，通過反思性問題引導學生進行回顧與總結，幫助學生從單一維度的知識關聯走向橫縱貫通的知識體系建構，并且通過問題設計將視野從單元整體結構拓展到課程視野下整個數學體系，引導學生建立更廣泛的知識聯系，從而將“問題引導知識建構的建立”轉向“運用結構自主學習”，實現學習方式的改變。

代數方程復習課：課堂小結環節

問題12：按照什么樣的順序來研究方程？

問題13：怎樣引入方程？如何定義方程？如何求解方程？又是如何應用方程于實際生活中去解決實際問題？

問題14：你覺得用方程的這些研究方法還可以研究哪些數學知識？

問題12、14呼應了用本原性問題整體架構方程知識體系的建構，以問題情境形式能有效激發學生主觀能動性，讓學生自主建構知識體系。問題指向體系建立的核心價值之一，即在課程視野下尋找與方程研究思路、方法相類似的知識進行類比遷移。值得一提的是，課堂上學生都提出了用研究方程的方法研究不等式，從而建立如下學習方式類比途徑（見圖6）。

數學是思維的體操，培養高階思維是初中數學的重要目標。在教學中設計本原性問題為統領的基本問題鏈驅動課堂教學，是促進高階思維發展的有效手段。這種教學設計是從注重問題解決向注重問題驅動的轉變，是從知識傳遞向體驗生成的轉變，從注重形式向注重實質的教學設計轉變。在這種任務驅動式教學樣態中，“預設的驅動性情境和問題”“學生問題解決中產生的問題”“教師的引導性問題”，以及“解決問題的學習環境”構成了高階思維視角下本原性問題驅動學習的基本要素。

對于一線教師來說，要真正實施本原性問題驅動教學，需要專家和廣大理論研究者一起提煉并形成可操作性的學科統領性觀點，將其作為參照。這樣教師更能接受這種教學方式，才能在有效的本原性問題基礎上，把重點放在課堂進程中，給予學生的認知解惑、啟發與點撥，最終促進知識的有意義理解與自主建構。

Design of Fundamental Questions in Middle School Mathematics Teaching

FU Zhao

（Shanghai World Foreign Language Academy，Shanghai，200233）

Abstract： Fundamental questions are those that highlight the essence of the subject and focus on cognitive laws at the connection point between studentscognitive foundation and subject concepts，featuring inspiration，primacy，and leadership. Mathematics teaching in junior middle schools should take review classes as a carrier and explore the design strategy of fundamental questions based on knowledge sorting，knowledge recombination，and knowledge application. It should construct a question-based learning classroom centering on“fundamental questions”to promote knowledge connection and transfer，offer a guide for deep learning and understanding，and develop studentshigher-order thinking.

Key words： fundamental questions，question design，review class，higher-order thinking