問題驅動 挖掘本質 落實素養

【摘要】在解題教學中，教師應重視挖掘中考試題的教學價值.本文針對一道代數幾何綜合題，精心設計問題，引導學生多角度思考.通過一題多解，探尋解決問題的通性通法；通過變式探究，充分挖掘問題的本質，優化解題路徑；通過師生總結，凝練解決問題的系統結構，落實學生的數學核心素養.

【關鍵詞】問題驅動；通性通法；一題多解；變式探究

在“雙減”大背景和“素養立意”的命題導向下，近幾年的中考壓軸題綜合考查知識、方法、能力，凸顯對數學核心素養評價的關注．中考的代幾綜合題，其命題大都立足方程、函數、三角形、四邊形、相似圖形等核心知識，融入幾何直觀、數形結合、分類討論等基本思想方法，對學生數學運算、邏輯推理、數學建模、直觀想象等素養都提出了很高的要求．破解這樣的問題，廣大一線教師需要全方位思考，挖掘問題的本質，引導學生歸納總結解決問題的通性通法．下面以廣東省2022年中考第23題為例，闡述如何通過問題驅動探求解決問題的路徑，從而尋找問題的自然解決之道．

（廣東省2022年中考第23題）如圖1，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB=4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．

2試題分析

在“雙減”大背景下，中考試題要有一定的區分度，但也要嚴格控制難度．本題的第一個特色是表現形式簡單自然，層次分明，思維難度適中，讓不同學生都有發揮的余地．第（1）問立足于教材，考查二次函數的基礎知識，難度不大．第（2）問高于教材，對學生的思維能力提出較高的要求，難度較大，很多學生在這一問陷入了困境．教師引導學生多研究此類題目，有利于學生夯實基礎，為后續學習作好鋪墊．

堅持素養立意也是《義務教育數學課程標準（2022年版）》對學業水平考試提出的命題原則．本題的第二個特色是立意于幾何直觀、運算能力、推理能力和模型觀念的考查．因為第（2）問需要先構造二次函數模型，再求二次函數的最大值，所以如何建立數學模型是關鍵．由于所求三角形的三個頂點有兩個動點和一個定點，所以求三角形的面積有很多種構造的方法．選擇的自變量不同，則構造的二次函數不同；選擇的方法不同，則計算的復雜度也不同．

3教學功能

利用二次函數解決問題是歷年中考的重難點所在，此類問題題型多變，可以與較多知識點綜合考查．為了體現中考的選拔功能，中考命題時，二次函數只作為背景，與最值問題、模型問題、動點問題等綜合命題，而動點問題常常以壓軸題出現．此題作為代幾綜合題的壓軸題，難度適中，思維全面，涵蓋二次函數、一次函數、三角形相似的判定和性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、鉛垂法求三角形的面積等知識，非常適合作為第二輪復習的典型例題進行講授，真正能起到“解一題，學一法，通一類”的深度學習的目的．

第二輪復習既要兼顧基礎，又要在強化基礎的前提下提升能力，關注學生綜合能力的發展．在選題時不能盲目拔高，選題、講題、練習都要注重基礎性，從基礎出發，逐步提升．第（1）問考查二次函數解析式的求法，學生可以用代入法求解，也可以用交點式快速得解．通過此問總結歸納求二次函數解析式的方法和技巧，促進學生對二次函數教學內容的整體理解與把握，培養學生的運算能力和推理能力．

第（2）問以拋物線作為背景，涉及動點問題的考查，只要學生認真分析，基礎好的學生都能解決，但存在的普遍問題是學生不能將動態問題靜態化和模型化．此問以三角形的面積最大值為紐帶，重點考查學生分析問題和解決問題的能力，學生要分析圖形的結構，挖掘圖形的本質，尋找有效的解決路徑．在解決問題的過程中，教師引導學生對不同的解法進行對比和反思，讓學生能夠更深刻、更全面地理解數學，促使學生的能力拾級而上，步步提高．

4教學實施

4.1基礎設問，回顧舊知

第（1）問是對二次函數解析式的考查，知識簡單，學生只需把點A，B代入求值即可．這一問還可以利用交點式直接寫出二次函數的解析式，方法更加便捷，尤其是對于二次項系數比較復雜的二次函數，這種方法的優勢愈加明顯．

問題1除了直接把兩個點代入二次函數的解析式，還有其它的方法嗎？

問題2如果把拋物線的解析式變為y=38x2+bx+c，用哪一種方法求解更簡潔呢？

解因為拋物線與x軸的交點是A（1，0），B（-3，0），可得y=38（x+3）（x-1）=38x2+34x-338.

教學說明先展示學生的解法，然后教師提出兩個問題，引導學生對比不同解法的優缺點．

歸納二次函數的一般式是y=ax2+bx+c（a≠0），當表達式中含有三個參數時，需要代入三個點解方程組；當含有兩個參數時，需要代入兩個點求解；當含有一個參數時，只需要代入一個點即可．當已知二次函數圖象與x軸交于兩點，優先選擇交點式；當已知二次函數的頂點坐標時，優先選擇頂點式．通過以上的分析，教師引導學生在求二次函數解析式時要靈活、恰當地設二次函數解析式，從而化繁為簡，化難為易．

4.2問題驅動，探尋通法

對于求三角形的面積，學生最熟悉的是三角形的三個頂點為“三定”或者“兩定一動”的，這里變為“兩動一定”求最大值的問題，難度加大，但是表示三角形面積的方法是不變的，教師要引導學生對△CPQ的面積進行巧妙地轉化．

思路1利用“現成圖形”割補

問題3設P（m，0），你能用含有m的式子表示哪些線段呢？

問題4你能用含有m的式子表示哪些三角形的面積呢？

教學說明通過問題3，引導學生用含有m的式子表示圖形中的線段，如PB，PO，PA，PQ，AQ，CQ等，為求△PCQ的面積進行定向引導，引導學生有目的地尋找問題的解決策略．通過問題4，引導學生用含有m的式子表示某些三角形的面積．通過計算和思考，學生自然聯想到用現有的圖形進行割補，從而得到解法1，2．

解法1（利用相似的性質求高）如圖2，設P（m，0），則PA=1-m，因為y=x2+2x-3=（x+1）2-4，所以求得C（-1，-4），因為PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以QECF=APAB，從而求出QE=1-m，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，因為a=-12<0，所以當m=-1時，S△CPQ有最大值，且最大值是2，此時點P的坐標是（-1，0）.圖2

解法2（利用相似的性質求面積）如圖2，設P（m，0），因為PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以S△APQS△ABC=APAB2，即S△APQ8=1-m42，從而求出S△APQ=（1-m）22，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，從而得證.

思路2利用“直接法”求面積

當三角形的底和高比較容易求（或表示）出時，經常采用直接法．

問題5你能求出△CPQ的高嗎？

教學說明通過問題5，引導學生用含有m的式子表示△CPQ的高，從而得到解法3，4．

圖3解法3如圖3，過點P作PM⊥AC，垂足為點M．首先利用平行線分線段成比例定理得關系式CQAC=BPAB，求出CQ=5（m+3）2，接下來只須求出高PM即可．在Rt△AMP中，易得PMAP=sin∠BAM=25，求得PM=2（1-m）5，從而求得S△CPQ=12CQ·PM=12·5（m+3）2·2（1-m）5=12（m+3）（1-m），從而得證．圖4

解法4如圖4，利用相似的性質，得PQBC=APAB，即PQ25=1-m4，求得PQ=5（1-m）2．過點C作CM⊥PQ，垂足為M，只須求出CM即可．利用兩平行線間的距離相等，聯想到過點P作PN⊥BC，垂足為N．在Rt△BNP中，易得PNBP=sin∠ABC=25，求出PN=2（m+3）5，從而得證．

解法3，4是利用相似求出三角形的一邊，再求出對應邊上的高，直接求出三角形面積.求三角形的高的方法有等面積法、相似、三角函數、平行線間的距離、勾股定理等.解法3利用∠BAM的正弦函數求高，也可以利用三角形相似的性質求高.解法4利用了平行線間的距離相等和∠ABN的正弦值求高.

思路3利用鉛垂法分割三角形

在二次函數中用鉛垂法求三角形的面積是非常方便、快捷的，也是學生更容易聯想到的方法．在考試中很多學生嘗試用鉛垂法來解決問題，但陷入了困局，歸其原因是沒有真正掌握鉛垂法的本質．

問題6你能用鉛垂法求出△CPQ的面積嗎？

教學說明通過問題6，引導學生用不變的方法來解決變化中的三角形的面積，進而讓學生對“鉛垂法”求面積有更深刻地理解．

解法5如圖5，過點P作PM⊥x軸，交直線AC于點M．容易求得直線AC的解析式是y=2x-2，可設M（m，2m-2），所以PM=2-2m.過點Q和C分別作QE⊥PM，CF⊥PM，垂足分別為E，F．S△CPQ=12PM（xQ-xC）=12（2-2m）（xQ+1），所以只須求出xQ即可.因為直線BC的解析式為y=-2x-6，所以可設PQ的解析式為y=-2x+n，把點P（m，0）代入可求出解析式為y=-2x+2m，聯立直線AC和PQ的解析式y=2x-2，y=-2x+2m，解得x=m+12，從而得到xQ=m+12.

解法6（根據Q所處三角形的特點考慮）如圖6，根據拋物線的對稱性可得AC=BC，所以∠ABC=∠BAC，根據PQ∥BC，可得∠APQ=∠ABC，所以∠APQ=∠BAC，可以得到△APQ是等腰三角形，過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，則E為AP的中點，所以可以求得E1+m2，0，從而得證.

解法7（借助相似或三角函數）如圖6，先利用△APQ∽△ABC，所以AQAC=APAB，從而求出AQ=5（1-m）2，過Q作QE⊥x軸，垂足為E，利用三角函數可以求出AE=1-m2，所以xE=xQ=1-1-m2=1+m2，從而得證.圖7

解法8（過點C作鉛垂高）如圖7，過點C作CM⊥x軸，交直線PQ于點M．容易求得直線BC的解析式是y=-2x-6，從而求得直線PQ的解析式是y=-2x+2m，則M（-1，2m+2），所以CM=2m+6．

那么如何求xQ-xP？過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，由解法6可知，△APQ是等腰三角形，則E為AP的中點，所以PE=12AP=1-m2，S△CPQ=12CM（xQ-xP）=12CM·PE=12（2m+6）·1-m2，從而得證.

解法9（過點Q作鉛垂高）如圖8，9，設P（m，0），過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，交直線PC于點M.

（1）當m≠-1時，求得直線PC的直線解析式是y=4m+1x+4m+1-4，由解法6，7，8可知xE=xQ=xM=1+m2，從而yM=4m+1-2，所以由tan∠BAQ=EQAE=2，AE=1-1+m2=1-m2，所以EQ=1-m，可得yQ=m-1.所以QM=yQ-yM=m+1-4m+1，xC-xP=m+1，

S△CPQ=12QM·xP-xC=12m+1-4m+1·m+1=12（m+1）2-2=-12（m+1）2+2<2；

（2）當m=-1時（如圖10），S△CPQ=12×4×2=2.

綜上所述，當m=-1時，△CPQ的面積有最大值.

歸納本問旨在讓學生通過不同的方法求△CPQ的面積，拓寬解題思路，積累數學活動經驗，加深對鉛垂法的深刻理解.

4.3變式探究，挖掘本質

問題7請你結合原題，設計一個求三角形面積的題目.

教學說明學生設計的問題有以下幾種：（1）如圖11，設拋物線與y軸交于點M，求△BCM的面積.（2）如圖12，點P為線段BM下方拋物線上的一點，求△PBM的面積最大值.（3）如圖13，點P為線段AB上的一個動點，過點P作PN∥AC交BC于點N，求△PCN的面積的最大值.（4）如圖14，點P為線段AB上的一個動點，過點P作PQ∥BC交AC于點Q，過點P作PM⊥x軸，交直線BC于點M，求△PMQ的面積最大值……教師對學生發現和提出的問題進行梳理，幫助學生透過題目表象發現數學本質，尋找解決問題的最佳路徑.問題（1）是一個“三定點”的三角形，學生可以利用鉛垂法、直接法、補圖作差法等方法解決；問題（2）是“兩定一動”求最大值的問題，鉛垂法、補圖作差法、等積轉換法是常用的方法；問題（3）與原題第（2）問類似，可以用來檢驗學生對例題的掌握情況；問題（4）是“三動點”問題，可以利用“直接法”求三角形的面積，對學生的能力要求較高.通過這個環節，學生經歷了畫圖、猜想、計算、驗證等活動，設計出不同類型的變式，以此提高學生發現問題和解決問題的能力.

4.4小結提升，凝練結構

師生共同完成本節課的思維導圖，見圖15.

5教學啟示

5.1重視一題多解，探尋通性通法

專題復習課教學中，教師要充分挖掘教材或中考題的資源，實現和發揮試題的價值和功能.本題作為中考題的壓軸題，很多一線教師對此頗有看法，故在備考中大部分教師簡單練隨意評，然后再找同一類型的題目進行反復訓練，這樣做就喪失了它應有的價值，學生的能力也沒有得到提升.教師應通過“一題多解”引導學生尋找解決問題的通性通法，凝煉解題的數學思想和方法，讓學生達到心中有“法”，但無定“法”的境界.如本題第（2）問求三角形的面積可以選擇不同的“割補”方法，其中解法5，6，7是鉛垂法的變式，這是教師在教學中常忽略的方法.當用鉛垂法求面積時需要考慮過哪一個點作鉛垂高，這是問題解決的關鍵所在.當動點P位于兩個定點之間時，顯然直接過點P作鉛垂高即可求出，但是如果過點C作鉛垂高，學生會陷入了困局，因為鉛垂高與一條動直線相交，需要用到求含參的函數解析式.如果學生不會求含參的函數解析式，用鉛垂法求三角形的面積難道就無法解決了嗎？此時在△CPQ中，只有C是定點，我們可以選擇過點P或Q作鉛垂高，可以發現過點P作鉛垂高是比較可取的.教師要引導學生發現鉛垂法求三角形面積的本質：過一動點作x軸的垂線，交另外兩點所確定的直線（定直線）于一點，從而確定鉛垂高，這也是解決斜三角形面積最大值問題的通法.只有這樣，教師才能引導學生探尋問題的本質，從而更好地培養學生思考問題和研究問題的能力.

5.2凸顯主體地位，發展核心素養

章建躍博士提出，“理解數學，理解學生，理解教學，理解技術”是提高課堂教學效能的奠基工程[1].在這“四個理解”中，只有理解學生才是提升教學效能的關鍵.本課設計的問題1，2意在喚醒學生對二次函數解析式的回憶和再認識.問題3—6立足學生已有的數學經驗，讓學生經歷尋找最優解法的過程.江蘇特級教師卜以樓倡導教學生學習具有生長力的數學，讓學生發現、讓學生發明、讓學生發展，讓學生把握數學學習、數學認識過程中最具有活力的東西，從而在數學上找到可以傳承的“硬核芯”[2].問題7是一個開放性的問題，學生從已有知識和方法出發，創造出不同類型的變式，通過這個問題促進了學生思維的有序生長，培養了學生的幾何直觀能力、推理能力、運算能力、數學抽象能力和創新意識.教師引導學生盤點本節課的研究內容、研究方法和研究路徑，從而讓學生得到解決這類問題的“一般觀念”，也可以類比得到解決其它幾何圖形的“一般套路”.在復習課上，教師應引導學生構建完備的知識體系，探尋解決問題的策略和方法，讓學生逐步掌握研究幾何的“硬核芯”，進而提升學生的數學核心素養.

參考文獻

[1]章建躍.數學教育隨想錄：上卷[M]．杭州：浙江教育出版社，2017：600.

[2]卜以樓.生長數學教學概論[M]．西安：陜西師范大學出版總社，2022：55-56.

作者簡介王廣鋒（1982—），男，山東濟南人，中學高級教師，廣東省張青云名教師工作室助手，東莞市教學能手;主要研究課堂教學改革探索和中考試題;發表論文10余篇.

基金項目東莞市教育科研“十四五”規劃課題“基于核心素養的初中數學單元整體教學的實踐研究”（2023GH084）.